第 3 章(II)多自由度系统的振动

第3章多自由度系统的振动李映辉西南交通大学2015.092020年3月29日《振动力学》22020年3月29日中国力学学会学术大会‘2005’22020年3月29日2声明•本课件可供教师教学和学生学习中免费使用。•不可用于任何商业目的。•本课件的部分内容参阅了上海交通大学陈国平教授和太原科技大学杨建伟教授的课件，作者在此向二位教授表示衷心感谢。如该课件无意中损害了二位教授利益，作者在此致歉。•本课件以高淑英、沈火明编著的《振动力学》（中国铁道出版社，2011年）的前四章为基础编写。•感谢研究生蒋宝坤、王金梅在文字录入方面的工作2020年3月29日《振动力学》3教学内容多自由度系统的振动2020年3月29日《振动力学》3教学内容两自由度系统的振动多自由度系统的振动多自由度系统固有特性的近似解法2020年3月29日《振动力学》4教学内容多自由度系统的振动/多自由度系统固有特性的近似解法2020年3月29日《振动力学》4多自由度系统固有特性的近似解法邓柯莱法（Dunkerley）瑞雷法（Rayleigh)李兹法（Ritz)传递矩阵法矩阵迭代法2020年3月29日《振动力学》5多自由度系统的振动/多自由度系统固有特性的近似解法/邓柯莱法1邓柯莱法（Dunkerley）该方法由邓柯莱在用实验确定多圆盘轴横向振动频率时提出，作为系统基频估算公式。设n自由度系统质量阵、柔度阵为自由振动方程为112200nnmmMm111212122212nnnnnn0Mxx2020年3月29日《振动力学》6多自由度系统的振动/多自由度系统固有特性的近似解法/邓柯莱法特征方程为式中λ=1/ω2。展开设上式根λ1=1/ω12，λ2=1/ω22，…,λn=1/ωn2,则（3.101）可表为21111122212121222221120(3.100)nnnnnnnnnnmnnnnmmmmmmmm111112222(...)...0(3.101)nnnnnnmmm12()()...()0(3.102)n2020年3月29日《振动力学》7多自由度系统的振动/多自由度系统固有特性的近似解法/邓柯莱法展开得比较（3.101）和（3.103）得即因ω1ω2、ω3、…、ωn,1/ω2、1/ω3、…、1/ωn较小，得式中δii=1/kii，则112(...)...0(3.103)nnn1211112222......nnnnnmmm1111222222212111......(3.104)nnnnnmmm111122222111...(3.105)nnnnniiiiimmmm211/()(3.106)iiiiiiiiiiiiiimkmkm2020年3月29日《振动力学》8多自由度系统的振动/多自由度系统固有特性的近似解法/邓柯莱法故上式即为邓柯莱公式，ωii是系统在质量mii单独作用下（其他质量为零）系统的固有频率。因（3.105）左边舍去了一些正项，由（3.105）计算的1/ω12值比实际大，ω12实际值小。2222211112211111...(3.107)ninnii2020年3月29日《振动力学》9多自由度系统的振动/多自由度系统固有特性的近似解法/邓柯莱法【例3.10】图3.15为等截面简支梁。其有3集中质量是m1、m2、m3，梁弯曲刚度为EI，质量不计。用邓柯莱法计算系统第一阶固有频率的近似值。已知：m1=m3=m,m2=2m。【解】由材料力学知，简支梁在单位下的挠曲线公式为a、b分别为力作用点到左右端的距离。2020年3月29日《振动力学》10多自由度系统的振动/多自由度系统固有特性的近似解法/邓柯莱法求得柔度影响系数为由（3.107）得求得的ω1值比精确值小2.5%。2020年3月29日《振动力学》112020年3月29日《振动力学》11教学内容多自由度系统的振动/多自由度系统固有特性的近似解法/瑞雷法2020年3月29日《振动力学》11多自由度系统固有特性的近似解法邓柯莱法（Dunkerley）瑞雷法（Rayleigh)李兹法（Ritz)传递矩阵法矩阵迭代法2020年3月29日《振动力学》12多自由度系统的振动/多自由度系统固有特性的近似解法/瑞雷法2瑞雷法（Rayleigh)多自由度系统的动能T与势能U的表达式为系统作某一阶主振动时代入（3.108）和(3.109)得系统在作第i阶主振动时，最大动能Tmax与最大势能Umax1(3.108)21(3.109)2TTTxMxUxKx()sin()(3.110)iiixAt2()()max()()max1(3.113)21(3.114)2iTiiiTiTAMAUAKA2020年3月29日《振动力学》13多自由度系统的振动/多自由度系统固有特性的近似解法/瑞雷法由机械能守恒定律，Tmax=Umax得在（3.115）中A(i)代入假设振型A，结果以R1表示，则称为瑞雷商。这种计算系统固有频率的方法称为瑞雷法.因很难选A(i)接近高阶主振型，通常不用瑞雷法求高阶固有频率，只用它求低阶固有频率。2()()()()1122iTiiTiiAMAAKA()()2()()(3.115)iTiiiTiAKAAMA1(3.116)TTAKARAMA2020年3月29日《振动力学》14多自由度系统的振动/多自由度系统固有特性的近似解法/瑞雷法取接近一阶主振型的假设振型A代入（3.115），则瑞雷商为一阶固有频率平方近似值。证明如下：如假设振型A不是主振型，将其用正则振型线性表示有瑞雷商为(1)(2)()()111...(3.117)nniNNnNiNiACACACACA()()2221211()()222222112211()()...()()...nnTiTiiNiNniinnTiTiiNiNnNiiAMACAMCACCCAKACAKCACCC2222221122122212...(3.118)...TnNTnCCCAKARAMACCC2020年3月29日《振动力学》15多自由度系统的振动/多自由度系统固有特性的近似解法/瑞雷法若A接近于一阶主振型A（1），则C2/C11,C3/C11,…,Cn/C11,则由（3.118）有一般以静变形作假设振型，可得相当准确的结果。如选取A有困难，可任选一A。与动力矩阵D(=M)相乘，得B1=DA，然后以B1或与其成比例的B1作A(1)的近似振型，再按（3.116)计算R1，可得ω12好的近似。222222222111122222112222222211222211111...(3.119)1...[1(1)...(1)]nnnnnCCRCCCCCCCC2020年3月29日《振动力学》16多自由度系统的振动/多自由度系统固有特性的近似解法/瑞雷法瑞雷法也可用于以柔度阵δ建立振动方程的情况，这时系统势能U等于外力的功，即在振动过程中，只有惯性力作用，即因x为得1(3.120)2TUPx(3.121)PMx(3.122)xPMx12TUxMMx2020年3月29日《振动力学》17多自由度系统的振动/多自由度系统固有特性的近似解法/瑞雷法势能、动能最大值由Tmax=Umax，得当A为第i阶主振型，由（3.122）得第i阶固有频率的平方值ωi2。在（3.122）中代入假设振型A，结果用R2表示，则有上式称为第二瑞雷商。2(3.123)TTAMAAMMA4max12TUAMMA24max1122TTTAMAAMMA2(3.124)TTAMARAMMA2020年3月29日《振动力学》18多自由度系统的振动/多自由度系统固有特性的近似解法/瑞雷法注意：用（3.115）或（3.123）计算的ω12总比精确值ω12大。因任选一A，即对系统增加了约束，提高了系统刚度，使频率增大。【例3.11】用瑞雷法求例3.10中一阶固有频率的近似值。【解】由例3.10系统质量阵M和柔度阵δ为2020年3月29日《振动力学》19多自由度系统的振动/多自由度系统固有特性的近似解法/瑞雷法三点处静挠度为最大势能为各点最大速度为ωy1、ωy2、ωy3，最大动能为2020年3月29日《振动力学》20多自由度系统的振动/多自由度系统固有特性的近似解法/瑞雷法由（3.124）得此结果比真实值略高，误差为0.02%。2020年3月29日《振动力学》212020年3月29日《振动力学》212020年3月29日《振动力学》212020年3月29日《振动力学》212020年3月29日《振动力学》212020年3月29日《振动力学》212020年3月29日《振动力学》212020年3月29日《振动力学》212020年3月29日《振动力学》21作业•第97页3.19多自由度系统的振动/多自由度系统的振动2020年3月29日《振动力学》222020年3月29日《振动力学》222020年3月29日《振动力学》22教学内容多自由度系统的振动/多自由度系统固有特性的近似解法/李兹法2020年3月29日《振动力学》22多自由度系统固有特性的近似解法邓柯莱法（Dunkerley）瑞雷法（Rayleigh)李兹法（Ritz)传递矩阵法矩阵迭代法2020年3月29日《振动力学》23多自由度系统的振动/多自由度系统固有特性的近似解法/李兹法3李兹法（Ritz)瑞雷法理论上可求系统的各阶固有频率，但实际上难以用于求高阶固有频率。李兹法对瑞雷商进行了改进，采用其极值形式，能找到较精确的低阶和高阶振型，不仅可求出更精确的基频，还可计算高阶频率和振型，故李兹法也称为瑞雷—李兹法。李兹法需先假定若干振型，并进行线性组合，用瑞雷法计算前几阶固有频率。若系统自由度很大，矩阵阶数很高，其存储量大，运算速度慢。2020年3月29日《振动力学》24多自由度系统的振动/多自由度系统固有特性的近似解法/李兹法如希望有s阶频率与振型为准确值，需假设n1个振型(2sn1n)，矩阵阶数大为降低，故李兹法是一种缩减系统自由度的近似解法。介绍如下：任取n1个线性无关的特征向量ψ1、ψ2、…、ψn1，用其线性组合作为新的假设振型A,即式中C1、C2、…、Cn1为待定常数，将（3.125）表为矩阵形式其中11111221...(3.125)nnnjjjACCCC(3.126)AC121121[...],[...]TnnCCCC2020年3月29日《振动力学》25多自由度系统的振动/多自由度系统固有特性的近似解法/李兹法将A=ψC代入（3.116）得由瑞雷商极值性质，可得待定常数Cj，即令将这n1个方程表为矩阵形式其中分别为n1×n1的广义刚度阵和广义质量阵.2(3.127)TTTTTTAKACKCRAMACMC10,1,2,..,(3.128)jRjnC0(3.129)(**)0(3.130)TTKCRMCKRMC*M*MTTKK，2020年3月29日《振动力学》26多自由度系统的振动/多自由度系统固有特性的近似解法/李兹法（3.130）为特征值问题，因阶数n1远小于系统自由度数n，求解简便。由（3.130）得s个特征值R1、R2、…、Rn1为系统最低的n1个固有频率，C(1)、C(2)、…、C(n1)为对应的n1个主振型【例3.12】图示弹簧—质量系统,用李兹法求其前三阶固有频率和主振型。(j)(j)1A=C,1,2,..,(3.131)jn2020年3月