相似三角形经典题(含答案)

初三（下）相似三角形第1页共6页相似三角形经典习题例1从下面这些三角形中，选出相似的三角形．例2已知：如图，ABCD中，2:1:EBAE，求AEF与CDF的周长的比，如果2cm6AEFS，求CDFS．例3如图，已知ABD∽ACE，求证：ABC∽ADE．例4下列命题中哪些是正确的，哪些是错误的？（1）所有的直角三角形都相似．（2）所有的等腰三角形都相似．（3）所有的等腰直角三角形都相似．（4）所有的等边三角形都相似．例5如图，D点是ABC的边AC上的一点，过D点画线段DE，使点E在ABC的边上，并且点D、点E和ABC的一个顶点组成的小三角形与ABC相似．尽可能多地画出满足条件的图形，并说明线段DE的画法．例6如图，一人拿着一支刻有厘米分画的小尺，站在距电线杆约30米的地方，把手臂向前伸直，小尺竖直，看到尺上约12个分画恰好遮住电线杆，已知手臂长约60厘米，求电线杆的高．初三（下）相似三角形第2页共6页例7如图，小明为了测量一高楼MN的高，在离N点20m的A处放了一个平面镜，小明沿NA后退到C点，正好从镜中看到楼顶M点，若5.1ACm，小明的眼睛离地面的高度为1.6m，请你帮助小明计算一下楼房的高度（精确到0.1m）．例8格点图中的两个三角形是否是相似三角形，说明理由．例9根据下列各组条件，判定ABC和CBA是否相似，并说明理由：（1）,cm4,cm5.2,cm5.3CABCABcm28,cm5.17,cm5.24ACCBBA．（2）35,44,104,35ACBA．（3）48,3.1,5.1,48,6.2,3BCBBABBCAB．例10如图，下列每个图形中，存不存在相似的三角形，如果存在，把它们用字母表示出来，并简要说明识别的根据．例11已知：如图，在ABC中，BDAACAB,36,是角平分线，试利用三角形相似的关系说明ACDCAD2．初三（下）相似三角形第3页共6页例12已知ABC的三边长分别为5、12、13，与其相似的CBA的最大边长为26，求CBA的面积S．例13在一次数学活动课上，老师让同学们到操场上测量旗杆的高度，然后回来交流各自的测量方法．小芳的测量方法是：拿一根高3.5米的竹竿直立在离旗杆27米的C处（如图），然后沿BC方向走到D处，这时目测旗杆顶部A与竹竿顶部E恰好在同一直线上，又测得C、D两点的距离为3米，小芳的目高为1.5米，这样便可知道旗杆的高．你认为这种测量方法是否可行？请说明理由．例14．如图，为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定一个目标作为点A，再在河的这一边选点B和C，使BCAB，然后再选点E，使BCEC，确定BC与AE的交点为D，测得120BD米，60DC米，50EC米，你能求出两岸之间AB的大致距离吗？例15．如图，为了求出海岛上的山峰AB的高度，在D和F处树立标杆DC和FE，标杆的高都是3丈，相隔1000步（1步等于5尺），并且AB、CD和EF在同一平面内，从标杆DC退后123步的G处，可看到山峰A和标杆顶端C在一直线上，从标杆FE退后127步的H处，可看到山峰A和标杆顶端E在一直线上．求山峰的高度AB及它和标杆CD的水平距离BD各是多少？（古代问题）例16如图，已知△ABC的边AB＝32，AC＝2，BC边上的高AD＝3．（1）求BC的长；（2）如果有一个正方形的边在AB上，另外两个顶点分别在AC，BC上，求这个正方形的面积．初三（下）相似三角形第4页共6页相似三角形经典习题答案例1．解①、⑤、⑥相似，②、⑦相似，③、④、⑧相似例2．解ABCD是平行四边形，∴CDABCDAB,//，∴AEF∽CDF，又2:1:EBAE，∴3:1:CDAE，∴AEF与CDF的周长的比是1：3．又)cm(6,)31(22AEFCDFAEFSSS，∴)cm(542CDFS．例3分析由于ABD∽ACE，则CAEBAD，因此DAEBAC，如果再进一步证明AECAADBA，则问题得证．证明∵ABD∽ACE，∴CAEBAD．又DACBADBAC，∴CAEDACDAE，∴DAEBAC．∵ABD∽ACE，∴AEACADAB．在ABC和ADE中，∵AEACADABADEBAC,，∴ABC∽ADE例4．分析（1）不正确，因为在直角三角形中，两个锐角的大小不确定，因此直角三角形的形状不同．（2）也不正确，等腰三角形的顶角大小不确定，因此等腰三角形的形状也不同．（3）正确．设有等腰直角三角形ABC和CBA，其中90CC，则45,45BBAA，设ABC的三边为a、b、c，CBA的边为cba、、，则acbaacba2,,2,，∴aaccbbaa,，∴ABC∽CBA．（4）也正确，如ABC与CBA都是等边三角形，对应角相等，对应边都成比例，因此ABC∽CBA．答：（1）、（2）不正确．（3）、（4）正确．例5．解：画法略．例6．分析本题所叙述的内容可以画出如下图那样的几何图形，即60DF厘米6.0米，12GF厘米12.0米，30CE米，求BC．由于ADF∽ACAFECDFAEC,，又ACF∽ABC，∴BCGFECDF，从而可以求出BC的长．解ECDFECAE//,，∴EACDAFAECADF,，∴ADF∽AEC．∴ACAFECDF．又ECBCECGF,，∴ABCAGFACBAFGBCGF,,//，∴AGF∽ABC，∴BCGFACAF，∴BCGFECDF．初三（下）相似三角形第5页共6页又60DF厘米6.0米，12GF厘米12.0米，30EC米，∴6BC米．即电线杆的高为6米．例7．分析根据物理学定律：光线的入射角等于反射角，这样，BCA与MNA的相似关系就明确了．解因为MANBACANMNCABC,,，所以BCA∽MNA．所以ACANBCMN::，即5.1:206.1:MN．所以3.215.1206.1MN（m）．说明这是一个实际应用问题，方法看似简单，其实很巧妙，省却了使用仪器测量的麻烦．例8．分析这两个图如果不是画在格点中，那是无法判断的．实际上格点无形中给图形增添了条件——长度和角度．解在格点中BCABEFDE,，所以90BE，又4,2,2,1ABBCDEEF．所以21BCEFABDE．所以DEF∽ABC．说明遇到格点的题目一定要充分发现其中的各种条件，勿使遗漏．例9．解（1）因为7128cm4cm,7117.5cm2.5cm,7124.5cm3.5cmACCACBBCBAAB，所以ABC∽CBA；（2）因为41180BAC，两个三角形中只有AA，另外两个角都不相等，所以ABC与CBA不相似；（3）因为12,CBBCBAABBB，所以ABC相似于CBA．例10．解（1）ADE∽ABC两角相等；（2）ADE∽ACB两角相等；（3）CDE∽CAB两角相等；（4）EAB∽ECD两边成比例夹角相等；（5）ABD∽ACB两边成比例夹角相等；（6）ABD∽ACB两边成比例夹角相等．例11．分析有一个角是65°的等腰三角形，它的底角是72°，而BD是底角的平分线，∴36CBD，则可推出ABC∽BCD，进而由相似三角形对应边成比例推出线段之间的比例关系．证明ACABA,36，∴72CABC．又BD平分ABC，∴36CBDABD．∴BCBDAD，且ABC∽BCD，∴BCCDABBC::，∴CDABBC2，∴CDACAD2．说明（1）有两个角对应相等，那么这两个三角形相似，这是判断两个三角形相似最常用的方法，并且根据相等的角的位置，可以确定哪些边是对应边．（2）要说明线段的乘积式cdab，或平方式bca2，一般都是证明比例式，bdca，或caab，再根据比例的基本性质推出乘积式或平方式．例12分析由ABC的三边长可以判断出ABC为直角三角形，又因为ABC∽CBA，所以CBA也是直角三角形，那么由CBA的最大边长为26，可以求出相似比，从而求出CBA的两条直角边长，再求得CBA的面积．解设ABC的三边依次为，13,12,5ABACBC，则222ACBCAB，∴90C．又∵ABC∽CBA，∴90CC．212613BAABCAACCBBC，又12,5ACBC，∴24,10CACB．∴12010242121CBCAS．例13．分析判断方法是否可行，应考虑利用这种方法加之我们现有的知识能否求出旗杆的高．按这种测量方法，过F作ABFG于G，交CE于H，可知AGF∽EHF，且GF、HF、EH可求，这样可求得AG，故旗杆AB可求．解这种测量方法可行．理由如下：设旗杆高xAB．过F作ABFG于G，交CE于H（如图）．所以AGF∽EHF．因为3,30327,5.1HFGFFD，所以5.1,25.15.3xAGEH．初三（下）相似三角形第6页共6页由AGF∽EHF，得HFGFEHAG，即33025.1x，所以205.1x，解得5.21x（米）所以旗杆的高为21.5米．说明在具体测量时，方法要现实、切实可行．例14.解：90,ECDABCEDCADB，∴ABD∽ECD，1006050120,CDECBDABCDBDECAB（米），答：两岸间AB大致相距100米．例15.答案：1506AB米，30750BD步，（注意：AKFEFHKEAKCDDGKC,．）例16.分析：要求BC的长，需画图来解，因AB、AC都大于高AD，那么有两种情况存在，即点D在BC上或点D在BC的延长线上，所以求BC的长时要分两种情况讨论．求正方形的面积，关键是求正方形的边长．解：（1）如上图，由AD⊥BC，由勾股定理得BD＝3，DC＝1，所以BC＝BD＋DC＝3＋1＝4．如下图，同理可求BD＝3，DC＝1，所以BC＝BD－CD＝3－1＝2．（2）如下图，由题目中的图知BC＝4，且162)32(2222ACAB，162BC，∴222BCACAB．所以△ABC是直角三角形．由AEGF是正方形，设GF＝x，则FC＝2－x，∵GF∥AB，∴ACFCABGF，即2232xx．∴33x，∴3612)33(2AEGFS正方形．如下图，当BC＝2，AC＝2，△ABC是等腰三角形，作CP⊥AB于P，∴AP＝321AB，在Rt△APC中，由勾股定理得CP＝1，∵GH∥AB，∴△CGH∽△CBA，∵xxx132，32132x∴121348156)32132(2GFEHS正方形因此，正方形的面积为3612或121348156．