2016年厦门大学数学分析考研试题

厦门大学2016年招收攻读硕士学位研究生入学统一考试试题科目名称：数学分析考生须知：1.本试卷满分为150分，全部考试时间总计180分钟；2.所有答案必须写在答题纸上，写在试题纸上或草稿纸上一律无效。————————————————————————————————————————1.(20分)已知f(x)在[0,+¥)上单调递减,且limx!+¥f(x)=0,证明¥ån=1f(n)收敛的充分必要条件是∫+¥0f(x)dx收敛.2.(20分)设f2C1[0,+¥],f(0)=1,f′(x)=1x2+f2(x).证明:(a)limx!+¥f(x)存在;(b)limx!+¥f(x)1+p2.3.(15分)已知limn!¥ann=0,证明limn!¥maxfa1


,angn=0.4.(20分)已知f(x)有界,且在R上连续.设T0,证明:存在数列fxng,使得limn!¥xn=+¥,limn!¥(f(xn+T)f(xn))=0.5.(20分)设f在[a,b]上二阶可导,且8x2(a,b)有f′′(x)0.证明:8x1,x22(a,b),有f(x1+x22)12[f(x1)+f(x2)].6.(15分)设f在[a,b]上可积,且有∫xaf(t)dt0,∫baf(x)dx=0.证明:∫baxf(x)dx0.7.(20分)设B为单位球x2+y2+z21的区域,¶B为其球面.已知f为k次齐次函数,即f(ax,ay,az)=akf(x,y,z).证明:∫∫¶Bf(x,y,z)dS=∫∫∫B△fdxdydz,其中△f=¶2f¶x2+¶2f¶y2+¶2f¶z2.8.(20分)设有一张长方形纸片,要在上面涂颜色.长方形纸片内部涂颜色的面积为Acm2，边缘有空隙:上下边宽度之和为rcm,左右宽度为hcm.意思是:在长方形纸片上给矩形求:当长方形纸片长(ycm)和宽(xcm)为多少时,长方形纸片面积最小?注：感谢数学人才小基地群(342767800)Veer提供的真题.考试科目：数学分析第1页共1页