多维区域中非线性偏微分方程的修正Laguerre谱与拟谱方法

，郭本瑜21同济大学数学系，上海(200092)2上海师范大学数学系，上海(200234)E-mail：[e-mail]摘要：本文研究多维区域中非线性偏微分方程的谱与拟谱方法。我们建立了修正的Laguerre正交逼近与插值结果，这些结果对于建立和分析无界区域中的数值方法起着重要的作用。作为本文结果的一个应用，我们研究了两维无界区域中的Logistic方程的修正Laguerre谱格式，证明了它的稳定性和收敛性。关键词：多维区域修正Laguerre插值与正交逼近，非线性偏微分方程的谱与拟谱方法中图分类号：41A10，65M70，65M121．引言在过去的半个世纪，无界区域中的谱与拟谱方法得到了迅速发展。Maday,Pernaud-Thomas和Vandeven[2],Funaro[3],郭本瑜和沈杰[7],郭本瑜，王立联和王中庆[8],郭本瑜和张小勇[9],郭本瑜和徐承龙[11],Mastroanni和Monegate[13],沈杰[14],徐承龙和郭本瑜[16]给出了加权Sobolev空间中Laguerre正交逼近与插值的结果，同时给出了数值求解半无限区间上微分方程定解问题的例子。与此同时，Funaro和Kavian[4],郭本瑜[6],以及郭本瑜和徐承龙[10]研究了Hermite正交逼近和插值问题，给出了直线上微分方程数值解的应用例子。众所周知，许多问题是定义在多维无穷区域上的，为此徐承龙和郭本瑜[18]建立了多维无穷区域上定解问题的Hermite谱与拟谱方法。然而，到目前为止，更有实用价值的多维无穷区域Laguerre谱与拟谱方法的文献几乎没有.。我们将在本文中研究多维区域上的Laguerre正交逼近和插值问题，以及它们在数值求解非线性微分方程定解问题中的应用。在实际计算中，我们将带两个参数的Laguerre多项式作为基函数。通过调整这些参数，我们可以得到优化的数值结果。本文的工作受到了数值求解外部问题的启发。例如，我们考虑求解区域为正方形0D外部的定解问题。首先将外部区域20RDΩ=5分为图1中的八个子区域18jDj,≤≤,然后在每个子区域上14DD−，用文献[11,17]给出的Legendre-Laguerre混合谱方法逼近给定的问题，并用多维区域上的Laguerre谱方法处理其余子区域58DD−上的求解问题。1本课题得到国家自然科学基金（编号：N.10471095），上海市自然科学基金（编号：N.04JC14062），国家教育部基金（编号：N.20040270002），上海市重点学科计划（编号：N.T0401），以及上海高校计算科学E—研究院基金（编号：N.E03004）的资助。区域分解本文安排如下：下一节我们将建立多维区域的修正Laguerre正交逼近和插值的结果，它们是研究无界区域谱与拟谱方法的数学基础。第三节我们将二维区域中的Logistic方程的定解问题作为模型问题，讨论怎样建立合适的谱格式。同时证明了相应谱格式的稳定性与收敛性。第四节将讨论相应问题的拟谱格式，与谱格式相比较，拟谱格式在实际处理非线性项时更简单。在昀后一节中将给出一些结论性的评注。2.多维区域中的Laguerre正交逼近本节,我们将讨论多维区域的Laguerre正交逼近问题.设向量12()nxxxx=,,...,，1nqqxx=||=||∑。无穷区间{0}1qqqxxqnΛ=|∞,≤≤,多维无穷区域12nΛ=Λ×Λ××ΛL。设0qβ，向量12()nββββ=,,...,。记1minqqnββ≤≤=,1maxqqnββ≤≤=，1nqqqxxββ=⋅=∑。权函数()()exxββω−⋅=。对任意的1p≤≤∞，在通常意义下定义加权空间()()pLβωΛ以及相应的模()||||pLvβω。特别，我们分别用()()uvβω,和()||||vβω表示空间()2()LβωΛ的内积和模。记12()nkkkk=,,...，1nqqkk=||=∑，其中qk表示任意非负整数。为简单起见，记()()qxqvvxxx∂∂=∂，1212()()nnkkkkxxxxvxvx∂=∂∂∂L。对任意整数0m≥，我们在通常意义下定义加权Sobolev空间()()mHβωΛ，它们的内积、半范和范数分别定义如下：1122()()()()()()2()()(||)||||()||kkkxxxmmmmkmkmuvuvvvvvvββββββωωωωωω,,,,||≤||=,=∂,∂,||=∂,=,∑∑。对任意实数0r,空间()()rHβωΛ以及它的模()||||rvβω,可用文献[1]中的插值方法定义。昀后定义空间()()110(){()HvvHββωω,Λ=|∈Λ，在Λ的边界上满足()0}vx=。另外，||||Lv∞表示()||||Lv∞Λ。本文将用到下面的嵌入不等式。引理2.1.存在一个与任意函数以及β无关的常数0c，使得对于任意的函数()()10()()nvHHββωω,∈Λ∩Λ，111122222()()01||e||()(1)||||||||nxnLnvcvvβββωωβββ∞−−⋅,≤+,L(2.1)()()2||||1qxqvvqnββωωβ≤||∂||,≤≤.(2.2)证明：我们首先对情形11qqnβ=,≤≤证明(2.1)式。设()xxeω−||=。则对于任意的10()()nuHHωω,∈Λ∩Λ，ksn||+||≤，利用Sobolev空间插值结果(例如见文献[1])，111||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||kkssnnnnksksnnksxxksnnnnuuuucuuuucuuucuuωωωωωωωωωωωωω||||||||||+||||+||−−||,||,,,−,,∂∂≤≤=≤.因此，对任意的x∈Λ，()11221200e()e()||||||||||||||||nnxxxyxynksxxnksnuxuydydydycuucuuωωωω−||−||,||+||≤=∂∂≤∂∂≤.∫∫∑LLL(2.3)我们现在对任意的()()10()()nvHHββωω,∈Λ∩Λ用尺度变换方法证明(2.1)式.为此取qqxqyβ=，1212()()()nnxxxuxvyvβββ==,,⋅,。直接计算得22eexyLLuvβ∞∞−||−⋅||||=||||,(2.4)()222211||||(())e(())e||||xynnuuxdxvydyvββωωββββ−||−⋅ΛΛ===,∫∫LL(2.5)12()()21222200124210120||||(())e()e(1)||||nnnnnxykknxykkskssksnnnnssnsuuxdxvdyvcvβββωωωββββββββββ−||−⋅,ΛΛ=||==||=−,,==∂=∂≤||≤+.∑∑∑∑∫∫∑LLLL(2.6)结合(2.3)-(2.6)式便得(2.1)式。下面我们证明(2.2)式。对任意的x∈Λ，()111111221110e()e()qqqqqqnnqxxxyqxxxyqqqnqvxvxxyxxdyββββββ−−+−−−−−+−−−⋅−+=∂,,,,,,∫LLLL从而1111111111111111112211110112111100e()e()2e()()1e2qqqqqqnnqqqqqnnqqxxxyqxxxqqqqnxxxyqxxnyqqqnxxxqvxvxxyxxdyvyxxvxxyxxdyββββββββββββββββ−−+−−+−−−−−−−+−−−⋅−+−−−−−+−−−+−−−−+,,,,,,=,,,∂,,,,,,≤∫∫∫LLLLLLLLLL()111111111211112111110()2e()qqqnnqqqqqnnyqxxqqqnxxxyqxxyqqqnqvxxyxxdydyvxxyxxββββββββ+−−+−+−−−+−−−−−+−−−+,,,,,,+.∂,,,,,,∫LLLLLLL→∞，再在区域111{()0111}qqnjxxxxxjqqn−+,,,,|∞,=,,−,+,,LLLL中积分，便得(2.2)式。设ql为任意非负整数，1()nlll=,...,，1nqqll=||=∑。如果对于任意的1qn≤≤，qqkl≤，我们称kl≤。下面我们将定义多维修正Laguerre多项式。设()()qlqLxβ为一维ql阶修正的Laguerre正交多项式(例如见文献[9])，()1()ee1qqqqqqqqqxllxlqxqqLxxqnlβββ⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠−=∂,≤≤!则n-维l阶修正的Laguerre正交多项式定义为：12()()121121()()eqnqnlllxlxllqxnqnLxLxxxxlllββββ⋅⎛−⋅⎞⎜⎟⎝⎠===∂.!!!∏L它们构成()2()LβωΛ空间的一个完备正交系。进一步，设qk为任意的非负整数，12()nkkkk=,,,L，11nnkkkxxxxx=L。可以验证对于任意的kl≤,1()()()1()()()()qnkqkkkxlxmqlmqqqlLxLxxxdxlkβββωβδ−,Λ=!∂∂=−!∏∫(2.7)其中lmδ,为n-维Kronecker符号。因此，对于任意的()2()vLβω∈Λ,，()()()()()011()()()()()ˆˆlllllnvxLxvxLxxdxvvβββββωββ∞Λ||==,=.∑∫L(2.8)本文中，我们用N表示任何非负整数，NP表示每个变量次数不超过N的代数多项式在区域Λ上限制的集合。()010()NNPPHβω,=∩Λ。用c表示与N,β及任何函数无关的适当的正常数。下面的逆不等式可用与文献[2]中类似的方法证明.引理2.2.对任何的整数0r≥及NPϕ∈，()()||||()||||qrrxqcNββωωϕβϕ∂≤.(2.9)并且对任何0kr||=≥，()()||||()||||krxcNββωωϕβϕ∂≤.(2.10)我们现在考虑几个正交投影算子的逼近问题，它们在多维无界区域中微分方程的谱与拟谱格式的建立和分析时起经常用到。()2()LβωΛ上的正交投影算子()()2()NNPLPββω:Λ→定义为；()()()0NNPvvPββωϕϕ−,=,∀∈.为了提供较精确的误差估计式，我们对任何非负整数r，定义空间()()rAHβω,Λ。它的半范数及范数定义为1122()()()2()0((())())()rkkxrArAAkrvvxxxdxvvββββωωσωσω,,,,,,Λ||==||=∂,||||=||.∑∑∫我们有下列基本逼近结果。定理2.1.对于任何整数0rµ≤≤及()()rAvHβω,∈Λ，()()()22()rNArAPvvcNvβββµµωωβ−,,,,|−|≤||.证明：利用(2.8)式,直接计算得111()()()10()()()ˆqqqnnlNlqllNlNllPvxvxLxvβββ−+∞=,,≤,,=−=−.∑∑∑∑LL再结合(2.7)式，我们便得对任意krNµ||=≤≤,()2()1((()()))()()nkkxNNqqPvxvxxxdxDvβββω,,Λ=∂−=∑∫(2.11)其中11111112()1()()ˆ()()qqqqqnnkqklNqqklNklNlNllknqqqlłDvvlklkσβσβσσσσσββ−−+−−,,≤≤,,≤≤,,≥≤≤,≠!!=.−!−!∑∑∑∏LL下面设12111()qqqqnkkkkkrkkkµ∗−++=,,,,+−,,,,LL。显然kr∗||=，11111112()2()11((