高数 不定积分换元法

4.3.2第二类换元法4.3.1第一类换元法4.3换元法第四章不定积分目录后退主页退出本节预备知识本节目的与要求本节重点与难点本节复习指导4.3.1第一类换元积分法一、预备知识1.复合函数的求导法则dxdududydxdy2.微分的形式不变性duufudf)()(第三节换元积分法目录后退主页退出本节预备知识本节目的与要求本节重点与难点本节复习指导问题xdx2cos,2sinCx解决方法利用复合函数，设置中间变量.过程令xu2,21dudxxdx2cosuducos21Cusin21.2sin21Cx二、第一类换元积分法第三节换元积分法目录后退主页退出本节预备知识本节目的与要求本节重点与难点本节复习指导在一般情况下：设),()(ufuF则.)()(CuFduuf如果)(xu（可微）)()]([)()]([xdxfdxxxfduuFdxxxf)(')()]([由此可得换元法定理duuFduuf)(')(cxfCuF)]([)(第三节换元积分法目录后退主页退出本节预备知识本节目的与要求本节重点与难点本节复习指导dxxxf)()]([上述求积分的方法称为第一类换元积分法（凑微分法）。)(xu具有连续定理1设)()(ufuF为的一个原函数，即CuFduuf)()(导数，则有CuF)()()]([xdxfduuf)(ux)(回代CxF)]([第三节换元积分法目录后退主页退出本节预备知识本节目的与要求本节重点与难点本节复习指导基本思路:1.在被积函数中找出复合函数,确定中间变量;2.将被积函数变形为该复合函数与中间变量的导数的乘积;3.与凑成中间变量的微分;4.设中间变量为,求出不定积分;5.用回代.)]([xf)()]([xxfdxx)()]([xd)(xux)()(xu例1求.2sinxdx解xdx2sin;2cos21Cxdxx)22(sin21第三节换元积分法目录后退主页退出本节预备知识本节目的与要求本节重点与难点本节复习指导)2(2sin21xxduduuxsin212令Cucos21例2求.)14(20dxx解duu2041Cu21841dxx20)14(Cx21)14(84114xu令回代dxx4)14(4120第三节换元积分法目录后退主页退出本节预备知识本节目的与要求本节重点与难点本节复习指导)14()14(4120xdx例3求.)ln1(1dxxx解dxxx)ln1(1xuln1duu1Culn.ln1lnCx回代)(lnln11xdx)ln1(ln11xdx第三节换元积分法目录后退主页退出本节预备知识本节目的与要求本节重点与难点本节复习指导dxxx1ln11常用的几种凑微分形式:xbxafd)()1()(dbxaa1xxxfnnd)()2(1nxdn1xxxfnd1)()3(nxdn1nx1万能凑幂法xxxfdcos)(sin)4(xsindxxxfdsin)(cos)5(xcosd机动目录上页下页返回结束xxxfdsec)(tan)6(2xtandxeefxxd)()7(xedxxxfd1)(ln)8(xlnd机动目录上页下页返回结束例4求xdxtanxdxtan解dxxxcossincxcoslnxxdcos)(cosxdxcotcxsinln同理第三节换元积分法目录后退主页退出本节预备知识本节目的与要求本节重点与难点本节复习指导例5求.122dxxa解dxxa221dxaxa222111.arctan1Caxa)()(1112axdaxa第三节换元积分法目录后退主页退出本节预备知识本节目的与要求本节重点与难点本节复习指导例6求.25812dxxx解dxxx25812dxx9)4(12dxx13413122341341312xdx.34arctan31Cx第三节换元积分法目录后退主页退出本节预备知识本节目的与要求本节重点与难点本节复习指导例7求.)1(3dxxx解dxxx3)1(dxxx3)1(11)1(])1(1)1(1[32xdxx.)1(21112Cxx第三节换元积分法目录后退主页退出本节预备知识本节目的与要求本节重点与难点本节复习指导.sin.12;ln32.1149.10;1cos1.9;sin.8;1.7;53.6;.532cos.4;14.3;211.2;231.122623222dxeedxxxxdxdxxxdxxxdxxxdxxxdtedttxdxdxxdxxxxt补充：求下列不定积分：Cxxdxdxxx34223232)53(81)53(536153.6Cxxdxdxxx332362arctan31)()(11311.7第三节换元积分法目录后退主页退出本节预备知识本节目的与要求本节重点与难点本节复习指导CeededxeeCxxdxdxxxcxxdxdxxdxxCxxdxdxxxCxxdxdxxxxxxxxcos)(sinsin.12)ln32(61)ln32()ln32(31ln32.1132arctan61)32(321161321191491.101sin)1(1cos1cos1.9cos2)(sin2sin.822222习题解答例8求dxax221解dxaxax))((1dxaxaxa)11(21.]ln[ln21Caxaxadxax221])()([21axaxdaxaxdaCaxaxaln21第三节换元积分法目录后退主页退出本节预备知识本节目的与要求本节重点与难点本节复习指导例9求解dxxcos1dxxx2coscosCxxsin1sin1ln21.tanseclnCxxxdxsecxdxsec)(sinsin112xdx利用例8的结果xdxcsc.cotcsclnCxx同理第三节换元积分法目录后退主页退出本节预备知识本节目的与要求本节重点与难点本节复习指导例10求dxx2sinxdx2sin解dxx)2cos1(21)2cos(21xdxdxCxx2sin4121例11求dxx3cosdxx3cos解)(sin)sin1(2xdxCxx3sin31sin第三节换元积分法目录后退主页退出本节预备知识本节目的与要求本节重点与难点本节复习指导例12求解.cos3cosxdxxxdxxcos3cos.4sin812sin41Cxxdxxx)4cos2(cos21利用公式)]cos()[cos(21coscosBABABA)4(4cos81)2(2cos41xxdxxd第三节换元积分法目录后退主页退出本节预备知识本节目的与要求本节重点与难点本节复习指导)]sin()[sin(21cossinBABABA积化和差公式：)]cos()[cos(21sinsinBABABA)]cos()[cos(21coscosBABABA)]sin()[sin(21sincosBABABA.sin2.6;3sin13cos.5;cossin.4;2cos.3;sincos.2;sincos.1cos222333xdxxxxdxxdxxdxxxxdxxx补充练习：CxxxdxdxxCxxxddxxxCxxdxxdxx2sin612sin21)2(sin)2sin1(212cos.3sin21sin)(sinsincos2cos41)(coscossincos.1323233433习题解答CxdxdxCxxdxdxxxCxxdxxxdxdxxxxxx2ln2)(cos2sin2.6)3arctan(sin31)3(sin3sin11313sin13cos.5)4sin41(81)4cos1(812sin41cossin.4coscoscos222224.3.2第二类积分换元法一、预备知识1.三角函数及反函数的概念2.反三角函数的有关公式第三节换元积分法目录后退主页退出本节预备知识本节目的与要求本节重点与难点本节复习指导问题?11dxx解决方法改变中间变量的设置方法.过程tdtdx2dttt11)1(2（应用“凑微分”即可求出结果）)0(2ttx令dxx11dttt12二、第二类积分换元法第三节换元积分法目录后退主页退出本节预备知识本节目的与要求本节重点与难点本节复习指导定理2设)(tx是单调且有连续导数的函数，)()]([,0ttft）（且有原函数),(tF则有dxxf)(dtttf)()]([CtF)(CxF)]([1)(tx)(1xt上述求积分的方法称为第二类换元积分法。第三节换元积分法目录后退主页退出本节预备知识本节目的与要求本节重点与难点本节复习指导例13求解).0(22adxxatdtadxcosdtta22cosdxxa22cos12tax22xaCtta)2sin21(222,2ttaxsin令dxxa22Cxaxaxa2222arcsin2第三节换元积分法目录后退主页退出本节预备知识本节目的与要求本节重点与难点本节复习指导例14求解).0(122adxax令taxtantdtadx2secdxax221tdtata2secsec1tdtsec1tanseclnCtttax22ax122lnCaaxax2,2t第三节换元积分法目录后退主页退出本节预备知识本节目的与要求本节重点与难点本节复习指导Caxx22ln说明(1)以上几例所使用的均为三角代换.三角代换的目的是化掉根式.一般规律如下：当被积函数中含有22)1(xa可令;sintax22)2(xa可令;tantax22)3(ax可令.sectax第三节换元积分法目录后退主页退出本节预备知识本节目的与要求本节重点与难点本节复习指导dxaxadxxa2221111Caxaxdaxarcsin)(112例15求解.11dxexxet1令,12tex,122dtttdxdxex11dtt122dttt1111Ctt11ln.11ln2Cxex,1ln2tx第三节换元积分法目录后退主页退出本节预备知识本节目的与要求本节重点与难点本节复习指导例16求解dxxx31dttdx56令)0(6ttxdxxx31dtttt2356dttt11163dtttt)111(62Ctttt1ln66213123Cxxxx6631ln662131第三节换元积分法目录后退主页退出本节预备知识本节目的与要求本节重点与难点本节复习指导dttt163.21.8;16.7;)1(.6;9.5;1.4;)1(.3;21.2;3.12232233x