高数 高等数学 A 上 复习 资料

1高等数学A上册资料第一、二章函数、极限与连续第三章导数与微分第四章微分中值定理与导数应用第五章不定积分第六章定积分第七章无穷级数第一、二章函数、极限与连续第一讲函数教学目的和要求：深刻理解一元函数的概念，熟悉函数的几种特性、运算，能熟练作出基本初等函数的图形。知识点：一元函数的定义、函数的特性、函数的运算、基本初等函数、分段函数。重点：一元函数的定义（着重要强调自变量与因变量之间的单值对应关系），函数的几种特性，基本初等函数。难点：复合函数、反函数、分段函数教学方式：多媒体，讲授教学思路：本讲实际上是复习中学有关一元函数的内容，通过这一次课，让学生对一元函数y=f(x)有一个统一、准确的认识，尤其要深刻理解其中x与y之间的单值对应关系，熟悉函数的特性、运算、图形、强调对分段函数的讲解，为以后讲函数的连续、求导做准备。教学过程：一、函数的概念定义1设A、B是两个实数集，称映射f:A→B为一元函数，简称函数，记作:|(),fxyfxxA其中x称为自变量，y称为因变量，f(x)表示函数f在x处的函数值，A为f的定义域，记作D(f)、f(A)={y|y=f(x)、x∈A}称为f的值域，记作R（f）。2注意：函数的两个基本要素：定义域和对应法则，x与y之间必须是单值对应关系。函数常用的表示方法：列表法、图示法、公式法。例1求函数2141yxx的定义域。解：必须满足条件：24010xx即||21xx得12x∴函数的定义域为：（1,2）。例2求函数22672arcsin1xyxxx的定义域。解：x必须满足条件267201211,121xxxxx由12672(32)(21)0xxxx，解之得21(,)[,)32x由2，当1x，即10x时，2变为(1)21xxx，无解。当1x，即10x时，2变为(1)21xxx，解之得：1[,1]3x∴函数的定义域为：1[,1]3x分段函数：在定义域的不同子集上用不同的表达式来表示对应法则的函数。例3符号函数10sgn0=010xyxxx例4取整函数[],(),[]yxxRx表示不超过x的最大整数。如：[3.2]=4[3.55]=3[3]1[]3[]12[]04例50||0xxyxxx例6|1||2|yxx即3211122-32xxyxxx3例7设210()sin12(1),(0)0(),(),(5)2xxxfxxxffexfff求解：略通过分段函数的学习，进一步理解函数的概念，扩大学生认识函数的范围，为以后讲解函数的连续性创造条件。二、函数的图形定义2称集合{(,)|(),()}xyyfxxDf为函数f的图形，记为G(f)。函数f的图形是坐标平面上一些特定点（x,y）的集合。注意：与x轴垂直的直线与函数曲线最多只能有一个交点。三、函数的几种特性1．函数的有界性设函数()yfx的定义域为D，数集XD，如果存在正数M，使对于任意xX都有|()|fxM则称函数()yfx在集X上有界，否则称()fx在X上无界。2．函数的单调性设函数()yfx的定义域为D，区间ID，若对于任意的12,xxI，当12xx时，有12()()fxfx，或12()()fxfx，则分别称()fx是区间I上的单调增加函数或单调减少函数。单调增加或单调减少的函数统称为单调函数。3．函数的奇偶性设函数()yfx的定义域D关于原点对称，如果对于任意xD，都有()()fxfx，则称()fx为奇函数；如果对于任意xD都有()()fxfx，则称()fx为偶函数。奇函数的图形关于原点对称，因为(,())xfx也在图形上。同理可以说明偶函数的图形关于y轴对称。4．函数的周期性设函数()yfx的定义域为D，如果存在一个不为零的数T，使得对于任意xD，有()xTD，且()()fxTfx则称()fx为周期函数，T称为周期。若T是()fx的周期，则()nTnN也是()fx的周期，周期中的最小正值称为最小正周期，通常周期均指最小正周期，如sinyx，2T。例8证明下列函数在所示区间内有界41）()lg/fxxx1[,1]22）()lg/fxxx[1,+)证明1）只要证明lg()xfxx在1[,1]2上是单调的，则有界。设2112xx，则122112121212lglglglg()()xxxxxxfxfxxxxx而122lglg,0xxx，有2122lglgxxxx于是2121212()lg()()xxxfxfxxx由于211220,0,lg0xxxxx所以2121212()lg()()0xxxfxfxxx即lg()xfxx在1[,1]2上是单调的或|()|2lg2fx因而有界。2）因1x，则lg0xx设[1,)x，则10xx，故lg1xx。所以0()1fx或|()|1(1)[1,),()fxmxfx有界例9讨论函数2()ln(1)fxxx的奇偶性。解：函数()fx的定义域(,)因221()ln(1)ln()1fxxxxx2ln(1)()xxfx所以，()fx是(,)上的奇函数。例10试证230()00230xxfxxxx是奇函数证明：设[,0)x，则(0,]x，由于()23fxx()2()3(23),()()fxxxfxfx设(0,)x，则[,0)x，由于()23fxx5()2()3(23)()()fxxxfxfx又(0)0f，于是对于任何[,]x，都有()()fxfx，从而()fx是奇函数。例11函数()[]fxxx是否为周期函数，如果是确定其最小正周期。解：对任何x，存在整数n，使1,[]nxnxn，则()()[][][][]fxTfxxTxTxxTxTx。当T为整数时，由于1nTxTnT，故[][]xTnTxT，于是有()()0()fxTfxTZ()[]fxxx是周期函数，最小正周期为1。四、函数的运算1．函数的四则运算设f,g是定义域分别为(),()DfDg的函数，定义f,g的和、差、积、商如下：()()()()()()fgxfxgxxDfDg()()()()()()fgxfxgxxDfDg()()()()()()ffxxxDfDgggx且()0gx特别地()()(),(),fxfxxDfR，f称为f与的数。2．复合函数定义3设有两个函数()ux和()yfu，如果函数()ux将集合D映入()D，函数()yfu将集合fD映入()ffD，若()fDD，则得到了一个从D到()ffD的一个新的函数，也称为由函数()ux和()yfu复合而成的复合函数，记作[()]yfx，u称为中间变量。例12设ux，()sinfxu，求复合函数[()]fx。解：由于()[0,)(,)fDD可构成复合函数[()]sin,[0,)fxxx，反之可否构成[()]fx，(,)[0,)fDD不可定义4设函数()yfx的定义域为D，值域为f(D)，则对于任一0()yfD，必有唯一的0xD使00()fxy，从而确定了一个新的函数，这个函数称为函数()yfx的反函数，记作1()xfy它的定义域是f(D)，值域是D。注意：()yfx是单值对应的，但其反对应关系不一定是单值的，从而不一定能构成单值函数。6如：2,(,),sin,(,)yxxyxx，函数()yfx与1()xfy的定义域与值域是互换的，因而在xoy面上图形相同，习惯上用1()yfx表示()yfx的反函数，若点P（a,b）在()yfx的图形上，则Q（b,a）就在其反函数1()yfx的图形上，反之亦然。而P（a,b）与Q（b,a）是关于直线y=x对称的，从而y=f(x)与其反函数1()yfx的图形是关于直线y=x对称的。五、基本初等函数常数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数这六类函数统称为基本初等函数。1．见教材即可注意：对这些函数的定义式、定义域、值域、图形及相关的性质要了如指掌。六、初等函数定义5由基本初等函数经过有限次的四则运算与有限次复合步骤所构成并可用一个式子表示的函数，称为初等函数。注意：一般地、分段函数不是初等函数但：20||x0xxyxxx是初等函数我们所讨论的函数一般都是初等函数，如：2sin23,ln(sin2),xarcxyxxyxyxe，lnxxxyxe等双曲函数：见教材反双曲函数：见教材小结：抽象地讲，一元函数()yfx就是讨论两个变量x与y之间的一种动态关系，不过要求x与y的对应关系是单值的，与其相关的有界性、单调性、奇偶性、周期性都会在这一动态过程中得到体现。推而广之，世界上的万事万物如果可以量化的话，不都可看成以时间为自变量的函数吗？因为它们都是随时间的变化而变化的。第二讲极限（一）教学目的和要求：深刻理解数列极限的定义，掌握数列极限的性质，深刻理解x无限增大时函数极限的定义。知识点：数列极限的定义，数列极限的性质，x无限增大时函数极限的定义。重点：两个定义及数列极限的性质难点：x无限增大时函数极限的定义教学方式：多媒体，讲授教学思路：通过数列的实例的变化趋势引入数列极限的定义，着重解释如何用精确的数学语言来表达对“无限增大”，“无限接近”这些直观的描述，再由数列极限的定义推广到x7无限增大时函数的极限教学过程：一、数列极限的概念以自然数为自变量的函数()nxfn的函数值按自然数的顺序排列起来，就构成一个数列。12,,,,nxxx，简记为nx，xn为通项。例如1）{}:1,2,3,,,nn2）1111{}:1,,,,,23nn3）123{}:,,,,,12341nnnn4）11(1)14(1){}:2,,,,,23nnnnnn5）11{(1)}:1,1,1,1,,(1),nn将这些数列的若干项表示在数轴上，当n时，观察它们的变化规律，会发现{}n无限增大，1{}n无限接近于0，{}1nn、1(1){}nnn无限接近于1，1{(1)}n变化趋势不确定。1．{}n2．1{}n3．{}1nn4．1(1){}nnn如果当n无限增大时，xn无限接近某个确定的常数a，则称{xn}以a为极限，或称{xn}收敛于a，记为：111(1)lim0,lim1,lim1nnnnnnnnn以（3）为例，当n时，1{}nn的各项无限接近于1，也就是说，随着n的增大，数列各项1nn与1之差的绝对值11nn（即点1nn与1的距离）就可以越来越小，任意小，要多小有多小，可以小于任意给定的正数。就是说，对于任意给定的正数，不论它有多么小，只要n足够大，都可以使11nn，换句话说，只要存在正整数N，对于nN的所有项都满足不等式11nn就行了。8如：取0.01，要使110.01nn，即1||0.01n，得100n，取N=100，当nN时，就一定有110.01nn。也就是说该数列从第101项开始，后面所有的各项与1的距离都小于0.01。再取0.001,定义1设有数列{}nx，若存在一个常数a，对于任意给定的正数（不论它多么小），总存在正整数N，使得当nN时，有||nxa