高数-数学极限总结

2函数极限总结一．极限的产生极限理论是研究关于极限的严格定义、基本性质和判别准则等问题的基础理论。极限思想的萌芽可以追溯到古希腊时期和中国战国时期，但极限概念真正意义上的首次出现于沃利斯的《无穷算数》中，牛顿在其《自然哲学的数学原理》一书中明确使用了极限这个词并作了阐述。但迟至18世纪下半叶，达朗贝尔等人才认识到，把微积分建立在极限概念的基础之上，微积分才是完善的，柯西最先给出了极限的描述性定义，之后，魏尔斯特拉斯给出了极限的严格定义（ε-δ和ε-N定义）。从此，各种极限问题才有了切实可行的判别准则，使极限理论成为了微积分的工具和基础。[1]二．极限知识点总结1.极限定义函数极限：设函数f(x)在点的x0某一去心邻域内有定义，如果存在常数A，对于任意给定的正数ε（无论它多么小），总存在正数，使得当x满足不等式时，对应的函数值都满足不等式：那么常数A就叫做函数f(x)当x→x0时的极限，记作。[2]单侧极限：.左极限：或.右极限：或定理：函数当时极限存在的充分必要条件是左、右极限各自存在且相等即。2.极限概念函数极限可以分成以的极限为例，f(x)在点x0以A为极限的定义是：对于任意给定的正数ε（无论它多么小），总存在正数δ，使得当x满足不等式时，对应的函数值f(x)都满足不|x-x|00|)(|AxfAxfxx)(lim0Axfxx)(lim)()(左xAxfAxfxx)(lim)()(右xAxfAxfxfAxfxx)()()(lim0)()()()()(0000lim0xfxfxfxfxfxx)(xf0xx)()()(lim000xfxfxfxx0,,,xxxxx0xx3等式：|f(x)-A|ε，那么常数A就叫做函数f(x)当x→x。时的极限。函数极限具有唯一性、局部有限性、局部保号性[2]3.存在准则有些函数的极限很难或难以直接运用极限运算法则求得，需要先判定。下面介绍几个常用的判定数列极限的定理。准则Ⅰ.如果数列，及满足以下条件：（1）从某项起，即，当时，有；（2）；，那么数列的极限存在，且准则Ⅰ＇如果（1）当（或）时，（2），，那么存在，且等于。夹逼定理：（1）当时，有成立（2）,那么，极限存在，且等于A【准则Ⅰ，准则Ⅰ´合称夹逼定理】准则Ⅱ：单调有界数列必有极限准则Ⅱ＇：设函数在点的某个左(右)邻域内单调并且有界，则在的左(右)极限必定存在[3]单调有界准则：单调增加（减少）有上（下）界的数列必定收敛。柯西准则：数列收敛的充分必要条件是任给o,存在)(N,使得当Nn,Nm时，有||mnxx成立。[2]极限运算相关法则、定理及推论（1）.设α、β为同一极限过程下的无穷小（无穷小）（2）.穷小之积为无穷小（无穷小）nxnynzNn00nnnnnzxyaynxlimaznxlimnxaxnxlim),(0rxUxMx||)()()(xhxfxgAxgxxx)(lim)(0Axhxxxo)(lim)()(lim)(0xfxxxA),(x0rxU0xf)(xf0x)(xf0x)(xfxf004推论：.常数与无穷小之积为无穷小.有限个无穷小之积为无穷小（3）.有界函数与无穷小之积为无穷小（4）.函数极限运算法则定理：设，则若，则推论1.如果存在，而c为常数那么推论2.则定理（复合函数求极限法则）设函数是由函数与函数复合而成，在点的某去心邻域内有定义，若，且存在，当时，有，则。两个重要极限：..即若，则常用等价无穷小：当时，，，，计算极限方法总结（1）直接带入求极限0u0)(limxfBxg)(limBAxgxf)(lim)(limg(x)f(x)limBAxgxfxgxf)(lim)(lim)()(lim0BBAxgxfxgxf)(lim)(lim)()(lim)(limxf)(lim)(limxfcxcfAxf)(Nnnnxfxf)(lim)(lim)(yxgf)(uxg)(yuf)(xgf0x0)(lim0uxgxxAxxlim000),(x00xU0)(guxAufxgfuuxxlimlim00)(1sinlim0xxxexxx)11(lim)0)((0)(limxfxfexfxf)(1))(1(lim0x)1ln(arctanarctantansinxxxxxxnxxn1xex12xcosx-12abxxb）（a1）（1,0ln1aaaxax5例1.【解】（2）约零因子求极限例2.求极限【说明】x→1表明x与1无限接近，但。所以x-1这一零因子可以约去。【解】（3）分子分母同除求极限（公式法）例3.求极限【说明】型且分子分母都以多项式给出的极限，可通过分子分母同除来求。【解】【注】（1）一般分子分母同除x的最高次方（2）(4)分子(分母)有理化求极限例4.求极限【说明】分子分母有理化求极限，是通过有理化去除无理式)138(21limxxx613813813813821121112121limlimlimlimlimlimlimxxxxxxxxxxxxxx1141limxxx1x4)1)(1()1()1)(1)(1(21x21limlimxxxxxxx13223limxxxx311311133323xlimlimxxxxxxmmnmnmbabxbxbaxaxannmmmmnnnnx0011011lim)13(22limxxx6【解】例5.求极限【解】【注】本题除使用分子有理化方法外，及时分离极限式中的非零因子是解题的关键。(5)应用两个重要极限求极限【说明】两个重要极限是和例6.求极限【说明】用第二个重要极限时主要搞清楚步骤：先凑出1，在凑，最后凑指数部分。【解】013213)13)(13()13(2222222222limlimlimxxxxxxxxxxxxx30sin11tanlimxxxx41sintan21sintan1sin1tan11sin1tansintan1sin1tan3030303030limlimlimlimlimxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx1sinlim0xxxexxx)11(limxx1-1limxxx122121x12121111211-x1limlimlimexxxxxxxxx7(6)用等价无穷小两代换求极限【说明】(1）常见的等价无穷小有:当x→0时，x=sinx=tanx=arcsinx=arctanx=ln(1+x）=ex-1，1-cosx=,，，。（2）等价无穷小量代换，只能代换极限式中的因式；（3）此方法在各种求极限的方法中应作为首选。例7.求极限【解】例8.求极限【解】(7)用洛必达法则求极限例9.求极限【说明】和型的极限，可通过洛必达法则来求。【解】【注】有许多变动上限的积分表示的极限，常用洛必达法则求解。2x21abxxb）（a1）（1,0ln1aaaxaxnxxn1xxxxcos-1)1ln(lim0221cos1)1ln(2limlim00xxxxxxxxxxxx30tan)1ln(lim6132131cossintansin220203030limlimlimlimxxxxxxxxxxxxxx220)sin1ln(2coslnlimxxxx003sin112cos222sin2sin12sincos2sin2)sin1ln(2cosln2020220limlimlimxxxxxxxxxxxxxxx8例10.设函数连续，且，求极限【解】由于，于是(8)用对数恒等式求极限例11.求极限【解】【注】对于形势的未定式，也可用公式因为例12.求极限)(fx0f(0)dttxfxxdtttxx)(0))((0xlim0duufxduufxdttxfutx)(0))((0)(0x21)0()0()0()()(00)()(0)(0)()(0)()()(0)(0)()(0)(0)(0)())((0limlimlimlimlim00000fffxfxufxxdtxxxfduufxdttfxxxfduufxxxfxxfdttfxduufxxtdttfxdttfxxdttxfxxtdttxxxxxxx)()(limxgxfxxx20)1ln(1lim21ln121ln12020)1ln(2lim00lim1ln1limlimeeeexxxxxxxxxxxx1)()(limxgxf)(]1)(lim[)(1)(limxgxfxgexf））（）（）（1)((lim)11ln()(limln)(lim)()(limxfxgxfxgxfxgxgeeexf113cos230limxxxx9【解1】原式=【解2】原式=[4]四．参考文献[1]极限理论=aladdin2017.11.24[2]函数极限函数极限/727083?fr=aladdin2017.11.24[3]同济大数学系《高等数学第七版上册》北京高等教育出版社1987年[4]来自QQ空间由大学生笔记墙整理61sincos21212)sin(cos213lncos2ln3cos2ln1limlimlimlimlim00202033cos2ln0xxxxxxxxxxexxxxxxx6131cos31cos1ln3cos2ln120202033cos2ln0limlimlimlimxxxxxxxexxxxxx