高数-无穷级数

第1页共42页第十二章无穷级数教学目的：1．理解常数项级数收敛、发散以及收敛级数的和的概念，掌握级数的基本性质及收敛的必要条件。2．掌握几何级数与P级数的收敛与发散的条件。3．掌握正项级数收敛性的比较判别法和比值判别法，会用根值判别法。4．掌握交错级数的莱布尼茨判别法。5．了解任意项级数绝对收敛与条件收敛的概念，以及绝对收敛与条件收敛的关系。6．了解函数项级数的收敛域及和函数的概念。7．理解幂级数收敛半径的概念，并掌握幂级数的收敛半径、收敛区间及收敛域的求法。8．了解幂级数在其收敛区间内的一些基本性质（和函数的连续性、逐项微分和逐项积分），会求一些幂级数在收敛区间内的和函数，并会由此求出某些常数项级数的和。9．了解函数展开为泰勒级数的充分必要条件。10．掌握,sin,cosxexx，ln(1)x和(1)a的麦克劳林展开式，会用它们将一些简单函数间接展开成幂级数。11.了解傅里叶级数的概念和函数展开为傅里叶级数的狄利克雷定理，会将定义在[-l，l]上的函数展开为傅里叶级数，会将定义在[0，l]上的函数展开为正弦级数与余弦级数，会写出傅里叶级数的和的表达式。教学重点：1、级数的基本性质及收敛的必要条件。2、正项级数收敛性的比较判别法、比值判别法和根值判别；3、交错级数的莱布尼茨判别法；第2页共42页4、幂级数的收敛半径、收敛区间及收敛域；5、,sin,cosxexx，ln(1)x和(1)a的麦克劳林展开式；6、傅里叶级数。教学难点：1、比较判别法的极限形式；2、莱布尼茨判别法；3、任意项级数的绝对收敛与条件收敛；4、函数项级数的收敛域及和函数；5、泰勒级数；6、傅里叶级数的狄利克雷定理。§121常数项级数的概念和性质一、常数项级数的概念常数项级数给定一个数列u1u2u3un则由这数列构成的表达式u1u2u3un叫做(常数项)无穷级数简称(常数项)级数记为1nnu即3211nnnuuuuu其中第n项un叫做级数的一般项级数的部分和作级数1nnu的前n项和第3页共42页nniinuuuuus3211称为级数1nnu的部分和级数敛散性定义如果级数1nnu的部分和数列}{ns有极限s即ssnnlim则称无穷级数1nnu收敛这时极限s叫做这级数的和并写成3211nnnuuuuus如果}{ns没有极限则称无穷级数1nnu发散余项当级数1nnu收敛时其部分和sn是级数1nnu的和s的近似值它们之间的差值rnssnun1un2叫做级数1nnu的余项例1讨论等比级数(几何级数)20nnnaqaqaqaaq的敛散性其中a0q叫做级数的公比解如果q1则部分和qaqqaqaqaaqaqaqasnnnn11112当|q|1时因为qasnn1lim所以此时级数nnaq0收敛其和为qa1第4页共42页当|q|1时因为nnslim所以此时级数nnaq0发散如果|q|1则当q1时snna因此级数nnaq0发散当q1时级数nnaq0成为aaaa当|q|1时因为sn随着n为奇数或偶数而等于a或零所以sn的极限不存在从而这时级数nnaq0也发散综上所述如果|q|1则级数nnaq0收敛其和为qa1如果|q|1则级数nnaq0发散仅当|q|1时几何级数nnaq0a0)收敛其和为qa1例2证明级数123n是发散的证此级数的部分和为2)1(321nnnsn显然nnslim因此所给级数是发散的例3判别无穷级数)1(1431321211nn的收敛性解由于111)1(1nnnnun因此)1(1431321211nnsn第5页共42页111)111()3121()211(nnn从而1)111(limlimnsnnn所以这级数收敛它的和是1二、收敛级数的基本性质性质1如果级数1nnu收敛于和s则它的各项同乘以一个常数k所得的级数1nnku也收敛且其和为ks(如果级数1nnu收敛于和s则级数1nnku也收敛且其和为ks)这是因为设1nnu与1nnku的部分和分别为sn与n则)(limlim21nnnnkukukuksskuuuknnnnlim)(lim21这表明级数1nnku收敛且和为ks性质2如果级数1nnu、1nnv分别收敛于和s、则级数)(1nnnvu也收敛且其和为s这是因为如果1nnu、1nnv、)(1nnnvu的部分和分别为sn、n、n则)]()()[(limlim2211nnnnnvuvuvu)]()[(lim2121nnnvvvuuussnnn)(lim性质3在级数中去掉、加上或改变有限项不会改变级数的收敛性比如级数)1(1431321211nn是收敛的第6页共42页级数)1(143132121110000nn也是收敛的级数)1(1541431nn也是收敛的性质4如果级数1nnu收敛则对这级数的项任意加括号后所成的级数仍收敛且其和不变应注意的问题如果加括号后所成的级数收敛则不能断定去括号后原来的级数也收敛例如级数(11)+(11)+收敛于零但级数1111却是发散的推论如果加括号后所成的级数发散则原来级数也发散级数收敛的必要条件性质5如果1nnu收敛则它的一般项un趋于零即0lim0nnu（性质5的等价命题：若0lim0nnu，则级数1nnu发散）证设级数1nnu的部分和为sn且ssnnlim则0limlim)(limlim110ssssssunnnnnnnnn应注意的问题级数的一般项趋于零并不是级数收敛的充分条件例4证明调和级数13121111nnn是发散的证假若级数11nn收敛且其和为ssn是它的部分和显然有ssnnlim及ssnn2lim于是0)(lim2nnnss但另一方面第7页共42页212121212121112nnnnnnssnn故0)(lim2nnnss矛盾这矛盾说明级数11nn必定发散§122常数项级数的审敛法一、正项级数及其审敛法正项级数各项都是正数或零的级数称为正项级数定理1正项级数1nnu收敛的充分必要条件它的部分和数列{sn}有界定理2(比较审敛法)设1nnu和1nnv都是正项级数且unvn(n12)若级数1nnv收敛则级数1nnu收敛反之若级数1nnu发散则级数1nnv发散证设级数1nnv收敛于和则级数1nnu的部分和snu1u2unv1v2vn(n1,2,)即部分和数列{sn}有界由定理1知级数1nnu收敛反之设级数1nnu发散则级数1nnv必发散因为若级数1nnv收敛由上已证明的结论将有级数1nnu也收敛与假设矛盾第8页共42页推论设1nnu和1nnv都是正项级数如果级数1nnv收敛且存在自然数N使当nN时有unkvn(k0)成立则级数1nnu收敛如果级数1nnv发散且当nN时有unkvn(k0)成立则级数1nnu发散例1讨论p级数1413121111pppppnnn的收敛性其中常数p0解设p1这时nnp11而调和级数11nn发散由比较审敛法知当p1时级数pnn11发散设p1此时有]1)1(1[111111111ppnnpnnppnnpdxxdxnn(n2,3,)对于级数]1)1(1[112ppnnn其部分和111111)1(11])1(11[]3121[]211[ppppppnnnns因为1])1(11[limlim1pnnnns所以级数]1)1(1[112ppnnn收敛从而根据比较审敛法的推论1可知级数pnn11当p1时收敛综上所述p级数pnn11当p1时收敛当p1时发散第9页共42页例2证明级数1)1(1nnn是发散的证因为11)1(1)1(12nnnn而级数113121111nnn是发散的根据比较审敛法可知所给级数也是发散的定理3(比较审敛法的极限形式)设1nnu和1nnv都是正项级数(1)如果lvunnnlim(0l)且级数1nnv收敛则级数1nnu收敛(2)如果nnnnnnvulvulim0lim或且级数1nnv发散则级数1nnu发散例3判别级数11sinnn的收敛性解因为111sinlimnnn而级数11nn发散根据比较审敛法的极限形式级数11sinnn发散例4判别级数12)11ln(nn的收敛性解因为11)11ln(lim22nnn而级数211nn收敛根据比较审敛法的极限形式级数12)11ln(nn收敛第10页共42页定理4(比值审敛法达朗贝尔判别法)设1nnu为正项级数如果nnnuu1lim则当1时级数收敛当1(或nnnuu1lim)时级数发散当1时级数可能收敛也可能发散例5证明级数)1(32113211211111n是收敛的解因为101lim321)1(321limlim1nnnuunnnnn根据比值审敛法可知所给级数收敛例6判别级数10!10321102110132nn的收敛性解因为101lim!1010)!1(limlim11nnnuunnnnnnn根据比值审敛法可知所给级数发散例7判别级数nnn2)12(1的收敛性解1)22()12(2)12(limlim1nnnnuunnnn这时1比值审敛法失效必须用其它方法来判别级数的收敛性因为212)12(1nnn而级数211nn收敛因此由比较审敛法可知所给级数收敛定理5(根值审敛法柯西判别法)设1nnu是正项级数如果它的一般项un的n次根的极限等于第11页共42页nnnulim则当1时级数收敛当1(或nnnulim)时级数发散当1时级数可能收敛也可能发散例8证明级数13121132