高数-第一章-函数-习题详解

1第一章函数习题1.11．用区间表示下列点集：(1)0xx；(2)45xx；(3)10xx；(4)2560xxx．解(1)由于实数全体为),(，因此0(,0)(0,)xx．(2)由54x，有91x，因此45(1,9)xx．(3)由01x，有1x或1x，因此10(,1)(1,)xx．(4)由0652xx，有32x，因此2560(3,2)xxx．2．求下列函数的定义域：(1)211yxx；(2)2231arcsin12ln()2xxxyx；(3),11,1xxyxx．解(1)要使函数有定义,必须0102xx，即[1,0)(0,1]x，所以函数的定义域为[1,0)(0,1]x．(2)使得函数有意义的数集满足以下不等式组：22201021123112xxxxx，解之，得121212113xxxx，即1132112xx，所以函数的定义域为111,,1322．(3)分段函数的定义域为各段函数定义域的并，所以函数的定义域为[1,)．3．设1,01()2,12xfxx，求下列函数的定义域：(1)(3)fx；(2)(2)fx．解函数()fx的定义域为02x，所以(1)(3)fx的定义域为032x，即31x．(2)(2)fx的定义域为022x，即01x．4．求下列函数的值：(1)1()2fxx，求()()(2),(2),fxhfxffhh，其中h为常数且0,4h；(2)1,1()23,1xxfxxx，求(0),(1.5),(1)fffh，其中h为常数．3解(1)当2x时，11(2)224f；当2xh时，11(2)224fhhh；11()()122(2)(2)fxhfxxhxhhxhx．(2)当0x时，(0)011f；当1.5x时，(1.5)21.536f；当11xh，即0h时，(1)2fhh；当11xh，即0h时，(1)25fhh．5．下列各题的两个函数是否相同?为什么?(1)yx与yx；(2)1cos2yx与2cosyx；(3)343yxx与31yxx；(4)1y与22cossinyxx．解(1)不相同，因为对应法则不同，所以不是同一函数．(2)不相同，因为21cos22cos2cosyxxx，它们对应法则不同，所以不是同一函数．(3)相同，因为343yxx和31yxx的定义域都是一切实数，且对应法则相同，所以是相同函数．(4)相同，因为对于任意),(x，都有22cossin1xx，所以是相同函数．6．判断下列函数的单调性：(1)21yx；(2)lnyxx．解(1)因为2yx在(,0)上是减函数，而在(0,)上是增函数，所以21yx在(,0)上是增函数，而在(0,)上是减函数．(2)因为函数()lnyfxxx的定义域为(0,)，任取12,(0,)xx，且21xx，则121122()()lnlnfxfxxxxx41122ln0xxxx，即12()()fxfx，故lnyxx在(0,)上是单增函数．7．证明函数21()25fxxx在其定义域内是有界的．证因为2225(1)44xxx，所以2110254xx，故函数21()25fxxx在其定义域内是有界的．8．下列函数中哪些是偶函数，哪些是奇函数，哪些既非偶函数又非奇函数？(1)233yxx；(2)(1)(1)yxxx；(3)sincos1yxx；(4)2xxaay．解(1)23()3yfxxx，其定义域为(,)，是对称区间，又因为2323()3()()3fxxxxx，()()fxfx，且()()fxfx，所以()fx既非偶函数又非奇函数．(2)()(1)(1)yfxxxx，其定义域为(,)，是对称区间，因为()([()1][()1]fxxxx(1)(1)()xxxfx，所以()fx为奇函数．(3)()sincos1yfxxx，其定义域为(,)，是对称区间，因为()sin()cos()1sincos1fxxxxx，()()fxfx，且()()fxfx，所以()fx既非偶函数又非奇函数．5(4)()2xxaayfx，其定义域为(,)，是对称区间，因为()()2xxaafxfx，所以()fx为偶函数．9．下列函数中哪些是周期函数？对于周期函数，指出其周期：(1)cos(2)yx；(2)1sinyx；(3)2sinyxx；(4)cos3yx．解(1)是周期函数，周期为2．(2)是周期函数，周期为2．(3)不是周期函数．(4)是周期函数，周期为3．10．当k为何值时，函数2()22xkfxkxkx的定义域是(,)？解当0k时，()2xfx，此时函数的定义域为(,)；当0k时，只要2220kxkx，即2(2)420kk，也就是当02k时，函数的定义域为(,)；故当02k时，函数2()22xkfxkxkx的定义域为(,)．习题1.21．已知()1xfxx，求(())ffx，((()))fffx．解11(())(1,)12211xxxffxxxxxx；(())1112((()))(1,,)1(())1323112xffxxxfffxxxxxffxxx．62．已知1,0()0,01,0xfxxx，求2(1)(1)fxfx，．解1,10(1)0,101,10xfxxx，即1,1(1)0,11,1xfxxx；22221,10(1)0,101,10xfxxx，即21,1(1)0,11,1xfxxx．3．设2(21)fxx，求()fx．解令21tx，则1(1)2xt，于是21()(1)4ftt，即21()(1)4fxx．4．设()fx满足2()(1)xfxfxe，求()fx．解令1tx，则1xt，代入原方程得12(1)()tftfte，即12(1)()xfxfxe．该方程与原方程联立，解得12()3xxeefx．5．下列函数是哪些函数复合而成的？(1)sin2yx；(2)32arctancosxye；(3)23(1ln)yx；(4)2sinxya．7解(1)sin,2yuux．(2)3,arctan,cos,,2tyuuvvwwetx．(3)32,1,lnyuuvvx．(4)2,,sinuyauvvx．6．设1,1()0,11,1xfxxx，()xgxe，求(())fgx和(())gfx．解将()fx直接代入()xgxe，有()1,1(())1,1,1fxexgfxexex，将()xgxe直接代入()fx，有1,1(())0,11,1xxxefgxee．即1,0(())0,01,0xfgxxx．7．求下列函数的反函数：(1)11xyx；(2)2sin3yx；(3)xxxxeeyee；(4)2,1,142,4xxxyxxx；8(5)21(1),0121(2),123xxyxx．解(1)由11xyx，解出11yxy，得反函数11xyx(1)x．(2)由2sin3yx，解出)22(2arcsin31yyx，得反函数)22(2arcsin31xxy．(3)由xxxxeeyee，解出11ln21yxy，得反函数11ln(1,1)21xyxx．(4)由2,1,142,4xxxyxxx，解出2,1,116log,16yyxyyyy，得反函数2,1,116log,16xxyxxxx．(5)当01x时，21(1)2yx的值域为112y，此时21xy；当12x时，1(2)3yx的值域为413y，此时32xy．于是121,12432,13yyxyy，故反函数为121,12432,13xxyxx．8．指出下列函数是由哪些基本初等函数复合或四则运算而成：(1)arcsin4(1)xye；(2)2cosxyxe；(3)2()1xyx；(4)tanxye．9解(1)4,1,arcsinvyuuevx．(2)2,cos,,wyxuuvvewx．(3)2,1xyuux．(4),tan,xyuuvve．9．下列函数中哪些是初等函数？(1)cos2sin1yxx；(2)ln(3)yx；(3)21,12cossin,24xxyxxx；(4)sinln2yxx．解(3)这个分段函数不能用基本初等函数复合或四则运算得到，因此它不是初等函数．而(1)，(2)，(4)均可由基本初等函数经复合或四则运算得到，因此是初等函数．10．设函数3()fxxx，()sin2xx，求(())12f，(((1)))fff．解33113(())()()()()121212228f；(((1)))((0))(0)0ffffff．习题1.31．火车站行李收费规定如下：当行李不超过50千克时，按每千克0.15元收费，当超出50千克时，超重部分按每千克0.25元收费，试建立行李收费()fx(元)与行李重量x(千克)之间的函数关系．解依题意，函数关系为0.15,050()0.15500.25(50),50xxfxxx，则0.15,050()7.50.25(50),50xxfxxx．2．某商品的总成本函数为2161009CQQ，产品销售价格P与产量Q的关系为1463PQ，10试将产品全部销售出去后获得的总利润表示为产量Q的函数．解商品总收益函数为211()()(46)4633RRQQPQQQQQ．由于总成本函数为2161009CQQ，将产品全部销售出去后获得的总利润函数为()()()QRQCQ221146(6100)39QQQQ24401009QQ．由于销售价格0P，即14603Q，解得0138Q．故利润函数的定义域为0138Q．3．某商品的定价为5元/件，每月可销售出1000件，若每件售价降低0.01元，则可多售出10件，试求线性需求函数()QP，并求收益R与多售出件数x的函数关系式．解设商品价格为P，QabP，由题意知1000510104.99abab，即60001000ab．故60001000QP．因为销售量Q与多售出件数x的关系是1000Qx，所以600010001000Px，解得50.001Px，从而收益R与多售出件数x的函数关系式为2(50.001)(1000)50