几何证明选讲--复习课

几何选讲—复习课一、基础知识回顾：1.平行线等分线段定理:如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等,那么在其他直线上截得的线段_____.推论1:经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必__.推论2:经过梯形一腰的中点，且与底边平行的直线________________.平分另一腰2.平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的____________成比例.对应线段推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线）所得的对应线段____________.成比例也相等平分第三边3.相似三角形的性质定理：相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于_______；相似三角形周长的比、外接圆的直径比、外接圆的周长比都等于________；相似三角形面积的比、外接圆的面积比都等于_____________.4.直角三角形的射影定理：直角三角形斜边上的高是______________________的比例中项；两直角边分别是它们在斜边上_____与_____的比例中项.相似比相似比相似比的平方两直角边在斜边上射影射影斜边5.圆周角定理：圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的______的一半.圆心角定理：圆心角的度数等于的度数.推论1：同弧或等弧所对的圆周角_________；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧_______.推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是______；90的圆周角所对的弦是______.o弦切角定理：弦切角等于它所夹的弧所对的________.圆心角它所对弧相等也相等直角直径圆周角6.圆内接四边形的性质定理与判定定理：性质定理:⑴圆的内接四边形的对角_______；⑵圆内接四边形的外角等于它的内角的______.判定定理：如果一个四边形的对角互补，那么这个四边形的四个顶点______；推论:如果四边形的一个外角等于它的内角的对角，那么这个四边形的四个顶点______.互补对角共圆共圆7.圆的切线的性质及判定定理：切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的.推论1：经过圆心且垂直于切线的直线必经过____；推论2：经过切点且垂直于切线的直线必经过_____.切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的_____.半径切点圆心切线8.相交弦定理：圆内两条相交弦，_______________的积相等.割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，______________________的两条线段长的积相等.切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是_________________________的比例中项.切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长_____;圆心和这点的连线平分________的夹角.被交点分成的两条线段长这一点到每条割线与圆的交点这点到割线与圆交点的两条线段长相等两条切线1.如右图，D、E分别是△ABC的边AB、AC上的点，DE∥BC，且ADDB＝2，那么△ADE与四边形DBCE的面积比是________．解析∵ADDB＝2，∴ADAB＝23，∴S△ADES△ABC＝49，∴S△ADES四边形DBCE＝45.45二、双基自测2.(2010·广东)如图，在直角梯形ABCD中，DC∥AB，CB⊥AB，AB＝AD＝a，CD＝a2，点E，F分别为线段AB，AD的中点，则EF＝________.解析连接DE，由于E是AB的中点，故BE＝a2.又CD＝a2，AB∥DC，CB⊥AB，∴四边形EBCD是矩形．在Rt△ADE中，AD＝a，F是AD的中点，故EF＝a2.a23.如图所示，圆O上一点C在直径AB上的射影为D，CD＝4，BD＝8，则圆O的半径等于________．解析由直角三角形的射影定理：CD2＝AD·DB，从而AD＝2.故半径r＝8＋22＝5.54．已知PA是圆O(O为圆心)的切线，切点为A，PO交圆O于B、C两点，AC＝3，∠PAB＝30°，则线段PB的长为_____．解析∵PA是⊙O的切线，∠PAB＝30°，∴∠ACB＝30°.∴∠AOB＝2∠ACB＝60°，则△BAO是等边三角形，∴∠P＝∠ABC－∠PAB＝30°.又AC＝3，所以AB＝BO＝1，PO＝2.故PB＝2－1＝1.15.(2010·天津)如图，四边形ABCD是圆O的内接四边形，延长AB和DC相交于点P.若PB＝1，PD＝3，则BCAD的值为_____．解析∵∠P＝∠P，∠A＝∠PCB，∴△PCB∽△PAD.∴PBPD＝BCAD＝13.136.(2010·北京)如图，⊙O的弦ED，CB的延长线交于点A.若BD⊥AE,AB＝4,BC＝2,AD＝3,则DE＝____；CE＝_______.解析由圆的割线定理知：AB·AC＝AD·AE，∴AE＝8，∴DE＝5，连接EB，∵∠EDB＝90°，∴EB为直径，∴∠ECB＝90°.由勾股定理，得EB2＝DB2＋ED2＝AB2－AD2＋ED2＝16－9＋25＝32.在Rt△ECB中，EB2＝BC2＋CE2＝4＋CE2，∴CE2＝28，∴CE＝27.5277.如图，PA切⊙O于点A，割线PBC经过圆心O，OB＝PB＝1，OA绕点O逆时针旋转60°到OD，则PD的长为________．解析连结AB，∵PA切⊙O于点A，B为PO中点，∴AB＝OB＝OA，∴∠AOB＝60°，∴∠POD＝120°.在△POD中，由余弦定理得PD2＝PO2＋DO2－2PO·DO·cos∠POD＝4＋1－4×(－12)＝7.∴PD＝7.方法二过D作DE⊥PC，垂足为E，∴∠POD＝120°，∴∠DOE＝60°，可得OE＝12，DE＝32，在Rt△PED中，PD＝PE2＋DE2＝254＋34＝7.8.如右图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD和过C点的切线互相垂直，垂足为D，∠DAB＝80°，则∠ACO等于_____．解析∵CD是⊙O的切线，∴OC⊥CD.又∵AD⊥CD，∴OC∥AD，由此得∠ACO＝∠CAD.∵OC＝OA，∴∠CAO＝∠ACO，∴∠CAD＝∠CAO，故AC平分∠DAB，∴∠CAO＝40°，又∠ACO＝∠CAO，∴∠ACO＝40°.40°ACOBPD9.如图，从圆O外一点P作圆O的割线PAB、PCD，AB是圆O的直径，若PA=4，PC=5，CD=3，则∠CBD=.30o(2010)1.11.23________ABCDOPBPCBCABDCPPAPDAD　如图，四边形是圆的内接四边形，延长和相交于点若，，则的值为天津卷．三、感悟高考..3266.66236ABCDDABPCBCDAPBCPPBCPDAPBPCBCPDPAADxyPBxPCyyxyBCxxADy因为，，，四点共圆，所以，因为为公共角，所以∽，所以设，，则有，所以解析：答案：2..(2010)1122ABCADEABEADCABCSADAEBAC如图，的角平分线的延长线交它的外接圆于点证明：∽；若的面积，求的辽宁卷大小．　1..2.1sin21sin2sin190..BAECADAEBACBAEBACDABADABEADCAEACABACADAESABACBACSADAEABACBACADAEBACBACABABEADCCCBA证明：由已知条件，可得又因为与是同弧所对的圆周角，所以，故因为∽，所以，即又，且，故，则又为三角形的内角解，所以析：∽3.(2011·辽宁)如图，A，B，C，D四点在同一圆上,AD的延长线与BC的延长线交于E点，且EC＝ED.(1)证明：CD∥AB；(2)延长CD到F，延长DC到G，使得EF＝EG，证明：A，B，G，F四点共圆．证明(1)因为EC＝ED，所以∠EDC＝∠ECD.因为A，B，C，D四点在同一圆上，所以∠EDC＝∠EBA.故∠ECD＝∠EBA.所以CD∥AB.(2)由(1)知，AE＝BE.因为EF＝EG，故∠EFD＝∠EGC，从而∠FED＝∠GEC.连结AF，BG，则△EFA≌△EGB，故∠FAE＝∠GBE.又CD∥AB，∠EDC＝∠ECD，所以∠FAB＝∠GBA.所以∠AFG＋∠GBA＝180°.故A，B，G，F四点共圆．4.(2010·全国)如图，已知圆上的弧AC＝BD，过C点的圆的切线与BA的延长线交于E点，证明：(1)∠ACE＝∠BCD；(2)BC2＝BE×CD.((证明(1)因为AC＝BD，所以∠ABC＝∠BCD.又因为EC与圆相切于点C，故∠ACE＝∠ABC，所以∠ACE＝∠BCD.(2)因为∠ECB＝∠CDB，∠EBC＝∠BCD，所以△BDC∽△ECB，故BCBE＝CDBC，即BC2＝BE×CD.((