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1第一章空间图形的基本性质.....................................................................................................1一、预备知识.........................................................................................................................11.1空间图形的定义....................................................................................................11.2平面的基本性质....................................................................................................11.3移动与不变量........................................................................................................2解题示例.................................................................................................................4二、直线和直线的位置关系...............................................................................................121.4直线和直线的相关位置......................................................................................121.5平行直线..............................................................................................................131.6相交直线..............................................................................................................131.7异面直线..............................................................................................................141.8直线对的参数......................................................................................................15解题示例...............................................................................................................16三、直线和平面的位置关系...............................................................................................241.9直线和平面的相关位置......................................................................................241.10平行的直线和平面............................................................................................241.11直线和平面平行的几个基本问题.....................................................................251第一章空间图形的基本性质一、预备知识1.1空间图形的定义平面几何的研究对象是在一个平面上的平面图形。而立体几何的研究对象是空间内立体图形，这种图形也叫做空间图形。因此立体几何也叫做空间几何。平面几何是立体几何的一部分。什么是空间图形呢？在几何里对所有研究对象只能在给出它的定义之后才能讨论。因此在研究立体几何开始，必须首先给出空间图形的定义。作为定义基础的不加定义的原始概念，叫做基本概念。在立体几何里，作为基本概念常采用点、直线、平面，这三种基本概念也叫做基本对象。这些基本对象之间有某种关系，常叙述为“在……上”、“通过”、“相交”等等，这些关系不加以定义，看作基本概念，叫做基本关系。一般数学概念“集合”，也就是任意个对象的总体，也是基本概念。有了上述一些基本概念就可给出空间图形的定义。空间里具有某种基本关系的点、直线、平面或其部分的集合，叫做空间图形。由于点、直线、平面都是不加以定义的，所以空间图形也是实际物体的一种非常抽象的形式，因而使立体几何的研究内容更为丰富。立体几何已成为在生产实践、科学试验中应用最为广泛的一种基础理论学科。1.2平面的基本性质研究空间图形的性质，同平面几何一样，也是依据几何公理作为基础的。研究空间图形的性质，又必须充分应用平面图形的性质。因此，在立体几何里首先要讨论关于平面基本性质的四条公理。公理1如果一条直线上的两点在一个平面上，那么这条直线上的所有点都在这个平面上。公理2如果两个平面相交于一点，那么它们交于通过这个点的一条直线。公理3通过不在同一直线上的三点，存在且只存在一个平面。公理4不在已知平面上，至少有一个点。2上面叙述的四条公理，是讨论空间图形性质的基础。公理1，是描述平面的基本性质，公理2是描述两平面相交的关系，公理3是确定一个平面的根据，公理4指出空间四点不一定在同一平面上。除这些公理外，在立体几何里，对于空间任意平面上的几何图形，平面几何的公理、定义、定理仍然成立。这里着重指出：空间的两条直线，如果在同一平面上，但不相交，现在仍然叫做平行线。平行公理通过直线外一点，只有一条直线和已知直线平行。从以上的公理，可以得出下面推论：推论1通过直线和不在它上面的一点，存在唯一平面。事实上，在直线l上取两点A、B，根据公理2，通过点A、B和不在直线l上的已知点M存在唯一平面，而根据公理1，已知直线l在这个平面上。推论2通过两条相交直线存在唯一平面。事实上，在已知直线l1，l2上分别取点A、B，根据公理3，通过点A、B和两条直线的交点O存在唯一平面，而根据公理l，已知两条直线都在这个平面上。推论3通过两条平行线存在唯一平面。事实上，根据平行线定义，两条平行线必在同一平面上。根据推论1，通过第一直线和第二直线上的任意点A的平面是唯一的。推论4在空间存在不在同一平面上的直线。事实上，取平面和它上面的直线a，在平面外取一点B（公理4），通过平面上直线a外的任意点A和点B的直线b，与直线a不能在同一平面上。因为，如果假定直线a和b在某个平面上，则必通过直线a和点A，将与重合，因而B在上，这是不可能的。因此直线a和b不在同一平面上。1.3移动与不变量“移动”是初等几何中的一个重要概念。任何刚体都可以在空间任意位移改变它的位置而大小和形状不变。在物理和力学里，把物体的这种位移作为随时间变化的进程来研究，也就是当物体从位置P移动位置P，同时要研究在每个时刻的所有中间位置，特别是要研究运动体的每个点所画的轨道，以及由这些轨道图1-1图1-23所确定的位置P和P的点间的一一对应关系（图1-2）。在几何里“移动”的概念是物体运动的抽象形式，由于在几何里不考虑时间，所以“移动”不能作为进程来研究，也就是只研究图形的两个位置。因此在力学里经不同轨道由位置P到位置的P位移，在几何里看做是同一个移动，而且把它抽象地定义如下：如果图形P到P的点作成一一对应，并且对应线段总是相等的，则这种对应叫做图形P到P的移动。图1-2表示一个移动A、A；B、B；…是对应点AB、AB；…是对应线段。如果存在图形P到图形P的某个移动，则叫做图形P等于图P，显然，这时图形P等于图形P。这里应该注意，几何里的移动概念，比力学里的更广泛些，如果只从始终位置的考虑，力学里的位移也就是几何里的位移。反之，几何里的位移，不会是力学里的位移。例如，一个图形到它在平面镜中的映象的移动是就这样。因此，空间图形的相等可以分为两种，一种是普通相等图形，它的对应点摆列顺序相同，这种相等图形位移后可以重合在一起（图1-2），一种是所谓镜象相等图形，对应点摆列顺序相反，镜象相等图形并不能重合在一起（图1-3）。对于移动与图形有关的量，有一些是要改变的，也有一些是不变的，例如，表示车轮在固定的轨道上转动的图形P和P，我们可以看做是图形P到P的一个移动。对于这个移动与图形P有关的量，例如图1-4中线段OO1（P对于定点的距离）角O1CA（轮辐对铅直线CO1的转角）分别变为线段OO2，角2OCA大小有所改变，而线段CA、CB（轮辐）变为线段CA、CB，角ACB变为角ACB，大小就没有改变。图1-3图1-44在移动下，图形的那些保持不变的量，叫做图形移动的不变量。相等图形有相同的移动不变量，它们有相同的形状，只是在空间的位置不同。因此，研究相等图形必须研究它们的移动不变量，这些移动不变量也正是初等几何的主要研究内容，而改变量则是力学的研究对象。如果我们把所有相等的图形都归为同一类，不相等的图形归为不同类，则同一类的图形有相同的不变量。例如，所有相等直角三角形的相同的不变量是三个边、三个角等。在图形的一些不变量里，可将其中几个看做是独立的，由它们可以决定所有其余的不变量，而它们并不能互相决定，也就是说，这几个独立的不变量可以确定整个图形。如在直角三角形的不变量中，两个直角边，或一个锐角与斜边，或一个锐角与直角边，都可以看作独立的不变量。它们能确定这个直角三角形。可确定已知图形的某些独立的不变量，叫做图形的参数。图形的参数必须满足两个条件：1．不能过少。过少就不能完全确定其余的不变量以及整个图形。2．不能过多。过多它们就可以互相表示，因而是多余的。以后对于任何图形，应明确它有几个怎样的参数。关于立体几何作图，与画立体图形的直观图是两码事，与平面几何作图也不同。平面几何作图题用的是圆规和无刻度直尺，作出的图形也就所求的实际图形。立体几何作图题，是指出应以什么方法和步骤作成，以及根据的理由，不必作出实际图形。而至于用什么工具并不强求。甚至找不到什么工具，例如，过不在一直线上的三点，作一平面。解题示例1.1已知：两直线ab。求证：a、b确定唯一平面。证明：由平行线的定义（共面而不相交的两直线称为平行线）知：a、b在同一平面上。（1）∵直线a上至少有两个不相同的点A、B，直线b上至少有一点C，这三点必不共线。∴A、B、C三点决定唯一平面。（2）故从（1）、（2）可得：a、b决定唯一平面。1.2已知：A、B、C、D是不共面的四点。求证：（1）四平面ABC、BCD、DCA、DAB不共点；（2）六直线AB、BC、CD、DA、AC、BD不共面。题图1-15证明：（1）假定四平面ABC、BCD、DCA、DAB共点于P，则P必在平面ACB、ACD上，随之得P在AC上；P必在平面BDA、BDC上，随之得P在BD上。∵A、B、C、D是不共面的四点，∴AC与BD无交点。故在AC上又在BD上的P点不存