几何证明题集-R10-2

2171kAA、。又作一平面2，使它们相距2kAA①。（1）完备性：在探求已知：111POkAA，222KOkAA1122,PP。（2）纯粹性：在平面1上任取一点1P，连1APD，1BPC。AB，ABCD作AA于A，11PO于1O，则11PO1RAA。又111:POAAkDC()DCAB，:()()DCDCABDCDCAB，因而DCDC。由此可见，1P合条件即平面1上任一点合条件。同理可证得平面2上任一点2P合条件。由（1）、（2）所证得：1P点的轨迹是一平面1，2P点的轨迹是平面2。讨论：若ABCD，则2P点无轨迹。在理论上，2在无穷远处。注：若是ABCD，则题解中1P与2P性质应互换。4.45设形状和大小固定的三角形的顶点在一平面上变动，底边在另一给定平行平面上变动，求重心的轨迹。探求：平面平面，A，A点到平面的距离AA一定（就是与的距离）。设AGBCM（G为重心）则:1:3MGMA，因此G点到平面的距离GG13AA（定长）。由此可见，G点的轨迹很可能是一平行平面、的平面，平面与的距离等于平面、间的距离13。证明：在平面、之间，作一平面且距离为3d，d是与的距离。（1）完备性：AA作于A，GGG于。:1:3MGMA，:1:3GGAA。因此33AAdGG，G平面。（2）纯粹性：设BCa，CAb，ABc。①若2k是负值，则表示2P与A在的异则。题图4-45218在平面上任取一点G，过G在平面上任一线段BC，使13GBGCa。在平面上求一点A，使23BAC，23CAb。连AGM，ABB，ACC，则BMC、、共线，BCBC。13BGGCa，12BMMCa。又::1:3MGMAGGAA，G为ABC的重心。再2BCBMa，32CAACb，32ABABc，G是合条件的ABC的重心。因此平面，上任取一点符合条件。综合（1）、（2）得：G点的轨迹就是一平面。讨论：设ABC的BC边上高为h，与相距d，（1）若h≥d，则轨迹是一平面；（2）hd，则无轨迹。注：假若题中不限定哪一边为底，则G的轨迹一般可能是三个平面。4.46求形状和大小固定的三角形的顶点的轨迹，已知它的底在一定平面上变动，重心在与之平行的另一定平面上变动。题设：点G是形状和大小固定的ABC的重心，平面、是两定平行平面，BC在上变动，G在上变动。探求：连AGBCI，作AAA于，GGG于。设平面、相距为d，则GGd（定长）。::1:3GGAAIGIA，33AAGGd（定长）。由此可见，A点的轨迹可能是与在同一侧且平行于的一平面，在相距为3d。证明：（1）完备性：在探求中已知A平面。（2）纯粹性：在平面上任取一点0A，作0()AAB与的交线B，球0()AAC与的交线C，又作一线段00BC，使00BCBC且0BB，0CC。000ABC则≌ABC，又易得00AB0C的重心0G在平面上，由此题图4-46219可见，平面上任取一点0A符合条件。根据（1）、（2）知，A点的轨迹是平面讨论：设G到BC的距离为h。（1）若h≥d，则轨迹是一平面；（2）若hd，则无轨迹。注：如题中不限定哪一边为底，则A点的轨迹一般可能是三个平行平面。4.47由直径为d的定球面上的定点A任引一弦AP，并在其延长线上取点M使APAMd，求点M的轨迹。探求：设定球为()2dO，连()2dAOOB球，则ABd。2:APAMAB，因此AP::ABABAM。PABBAM，PABBAM∽。因而90MBABPA。MBBA。由此可知：M点的轨迹也许就是垂直AB于B的一平面。证明：（1）完备性：在探求中，已见M平面。（2）纯粹性：在平面上任取一点M，连MA交球()2dO于P，又连BPBM、，则ABBM（AB，AM得），90APB。在PAB和BAM中有90MBABPA，PABBAM。因此PABBAM∽。::APABABAM故22APAMABd，因知M点满足条件。由（1）、（2）得，M点的轨迹就是平面。4.48在已知平面上求动点的轨迹，使该点到平面外两定点的连线与这平面成等角。题设：AB、是平面外两定点，AAa于A，BB于B，P是上的动点且满足APABPB。求：P点的轨迹。探求：APABPB，AAP90BBP，题图4-48题图4-47220AAPBBP∽。因此::PAPBAABBk常数。此时由平面几何轨迹定理可知：P的轨迹很可能就是在平面上至两定点AB距离成定比k的动点轨迹u。证明：（1）完备性：在探求中已知：:PAPBk。Pu。（2）纯粹性：在u上任取一点P，连PAPAPBPB、、、，则:PAPBR，即::PAPBAABB。90AAPBBP又，AAPBBP∽，因而APABPB。P点符合条件。由（1）、（2）知，P点的轨迹是u。讨论：（1）当AB时，轨迹是u；（2）当AB时，轨迹是一点。注：u的作法：（1）若AABB则u就是以AB的定比内外分点连线为直径的阿氏圆。（2）若AABB，则u就是AB，的中垂线。4.49在空间给定两点AB、及正数r，试求满足下列条件之一的点M的轨迹：（1）MArMB；（2）MArMB。探求：我们分三种情形来分析：1r和1r。①当1r时1MArMB时，M点的轨迹是AB的中垂面，当1MArMMB，点的轨迹就是平面的A所以的一侧。当1MArMB，M点的轨迹就是平面的B所以的一侧。证明：（略）②当1r时首先看一下，MArMB时，M点的轨迹是什么。由平面几何中间波罗尼斯轨迹定理知：M在过AB的任一平面上的轨迹是以AB的比为r的内外分点CD、连线为直径的圆()OR，由此可想见M点的轨迹应该是球()OR。题图4-49-1221现在我们已经知道当MArMB时，M点的轨迹是球()OK。当MArMB时，容易得知：M点的轨迹就是球()OR将空间分成内外两部分中的A所在的这一部分。当MArMB时，容易得知M点的轨迹就是球面将空间分成内外两部分中的B所在的这一部分。证明：（1）当MArMB时，（题图4-49-3和题图4-49-4）。①完备性：在AB上求两点C、D使CAMACBMB，DAMADBMB，则由阿波罗尼斯轨迹可知：M在以CD，为直径的球O()R上，MArMB，CADACBDB，CACACBCB，DADADBDB。因此，C在线段AC内，D在BD延长线（若1r或1r）。CD与A在线段DC内或CD与A在CD线段外因而球'O(R)与A在球()OR内或外（1r或1r）。又M球()OR，故M与A在球()OR内或外（11rr或）。②纯粹性：为了证明的方便，改设1r，如果1r时能证得，那么仿此可证得1r时也成立。在球()OR内任取一点M。连MAMB、，显然MArMB；假若MAMBr，则可得M在球题图4-49-2题图4-49-3题图4-49-4222()OR外。故只有MArMB，因此得球()OR内任一点M是符合条件。同理可证得当1r时，球()OR外任一点。符合条件。总结①、②两步证明，得M点的轨迹是球面()OR将空间分成的内、外两部分中A所在的这一部分。（2）当MArMB时（题图4－49－1和题图4－49－2）仿（1）可证得M的轨迹是球面()OR将空间分成的内外两部分中，B所在的这一部分。4.50试求所设两个或三个球成相等视角的点的轨迹。题设：P是一动点，它对所设二球1122()()OROR、或三球1O12233()()()ROROR、、视角相等。求：P点的轨迹。探求：我们先分析对二个球视角相等的点的情形。设11APB22APB，112222APBAPB。因此1122sinsin22APBAPB，故1212RRPOPO。1212::POPORR。此时可看到，若12RR，则P点的轨迹是12OO的中垂面1；若12RR，则P点的轨迹是以12OO的比为12:RR。的内外分点MN、连线为直径的球1212()OR。这时我们不难知道与三球成相等视角的P点的轨迹是两平面或一平面与一球（作已知球）或二球（非已知球的交线）。证明：（1）P对二球112()ORO、、2()R有相等的视角。当12RR时的情形比较简单，如题图4-50-1，在此就不论述了。下面只就12RR的情形论证。作12OO的比为12:RR的内外分点M、N，设1212()OR以MN为直径的球。①完备性：在探求中已知12:POPO12:RR（由图4-50-2，12RR的情形）。由阿波罗尼斯轨迹定理可得：P球1212()OR。②纯粹性：在球1212()OR上任取一点P，连1PO、2PO，则由阿波罗尼斯轨迹定理可得：1212::POPORR，因此1212RRPOPO。题图4-50-1223设P对球1122()()OROR、、视角为12、，，则111sin2RPO，2sin222RPO。12sinsin22。1902，2902，1222，因而12，故P点符合条件。由①、②知，P点的轨迹是球1212()OR。（2）P对三球11()OR、22()OR、33()OR有相等的视角。设对球1O122()()ROR、成相等角的点的轨迹是12U；对球2233()()OROR、成相等角的点的轨迹是23U；又设1223Unuu。①完备性：P12u，23Pu，Pu②纯粹性：在u上任取一点P，1223uuu，1223,PuPu。因此户对球11()OR，22()OR有相等的视角，P对球22()OR、3O3()R的视角也相等。故P对球11()OR、22()OR、33()OR视角均相等。因而，P点符合条件。由①②知P点的轨迹是u。讨论：在（1）中若；①1O与2O重合，无解；②1O与2O不重合且：1）12RR，则轨迹是一平面；2）12RR，则轨迹是一球。在（2）中，若：①12u与23u无交点，则无解；题图4-50-2题图4-50-3224②12u与23u有一交点，则轨迹是一点；③12u与23u有一交线，则轨迹是一直线或一圆；④12u与23u重合，则轨迹是一球。有了“一”的证明，23u同12u一样是可知的，因而1223uu也是可知的。4.51一直线上顺次有四点ABCD、、、，求一点的轨迹使线段ABBCCD、、在这点的视角相等。题设：ABCD、、、是直线l上顺次四点。P是一动点，它满足条件APBBPCCPD求：P点的轨迹。探求：现在我们放弃“BPCCPD”这个条件，看一看P点的轨迹是什么。APBBPC，PB为APC的内角平分线。·由平面几何定理得：1::PAPCBABCk（定值）。由此可见，若:1BABC，则户点的轨迹是AC的中垂面1。若:1BABC，则P点的轨迹是以AC的同比内外分点BB、连线为直径的球11()OR。这表明了当P满足条件APBBPC时的轨迹1u可求出［11u或球11()OR］。同理可求出，当P满足条件BPCCPD时，P的轨迹2u。此时可知，满足APBBPCCPD时的P的轨迹u可求出12()uuu。证明：设12uu。（1）完备性：APBBPCPu，。又BPCCPD，2Pu。故12Puu，即Pu