几何证明题集-R3

65第二章多面体...........................................................................................................................66一、三面角与多面角...........................................................................................................662.1三角面的概念及其性质......................................................................................662.2多面角的概念及凸多面角的性质.......................................................................70解题事例...............................................................................................................7165使与l成已知角。题设：一平面及其上一点A和一直线l，角。求作：直线a，使a过A且a和a与l成角。作图：设l与夹角为（可能是0，即l）（1）作l在上的射影l；（2）在平面上过A作直线a，使cosarccoscosal。则直线a就是所求。证明：设lO，过O作直线aa，在l取一点P（非O），作PBa于B，PC于C（显然C在l上）。PBa，PC，CBa（三重线逆定理知），coscoscosPOCCOBPOB，即coscoscosPOB。cosarccoscos，coscoscos。故coscosPOB，因此POB，也就是说a与l夹角为。aa，a与l夹角为。又aA且a，直线a合于所求。讨论：（1）当coscos时，则无解；（2）当coscos时，若①，=90，则有一个解；②90，则有无限多解。（3）当coscos时，则有二个解。1.105设给定一个平面，及其外三点A、B、C，在上求一点M，使AM、BM、CM与所成的角相等。题设：平面及其三点A、B、C。求作：点M，使AM、BM、CM与所夹角相等。分析：假定图形已作出，作AA于A，BB于B，CC于C。BMCMAM、、与所夹角相等，BMBCMCAMA，故BBCCAAMBMCMA。题图1-104题图1-10566MBMABBAA（定值），MCMACCAA（定值）。此时便知：在平面上，M在“至BA、两定点距离之比为BBAA的轨迹2k上”，M也在“至CA、两定点距离成定比CCAA的轨迹1k上”，由此可见，M由1R与2R相交可得。作图：（1）作AA于A，BB于B，CC于C；（2）在上作“至CA、两定点的距离成定比CCAA的轨迹1R①”（3）在上作“至BA、两定点的距离成定比BBAA的轨迹2R”，设2R交1R于M。则M就是所要求作的点。证明：MCMACCAA，MBMABBAA，AACCMAMC，AABBMAMB，因此AABBCCMAMBMC。故AMABMBCMC，即MAMBMC、、与成等角，故点M合于所求。讨论：（1）当A、B、C共线l时，若①l，则无解；②l，则有一解（M就是l）。（2）当A、B、C不共线l时，若①ABC中有一边垂直平面，则无解；②ABC中任一边不垂直平面，则1R，2R均是存在也可作出的（是圆或直线）。因此，1R与2R无公共点，就无解；1R与2R有一公共点，就有一解；1R与2R有二公点，就有二解。第二章多面体一、三面角与多面角在上一节的最后，主要讨论了两个相交平面的位置关系以及它们的性质，引出了二面角的概念。这里将研究三个或三个以上的平面相交于一点的图形的位置关系和性质。2.1三角面的概念及其性质有公共始点的三条射线以及相邻两条射线间的平面部分所组成的图形，叫做三面角。所有射线的公共点叫做三面角的顶点，射线叫做它的棱，两棱间的平面部分叫做它的面，①至12PP、两定点的距离成定比的轨迹R的作法：①若1，R就是12PP中垂线。②若1，R就是12PP关于定比的阿波罗尼圆。67相邻两个面间的二面角叫做它的二面角，两棱组成的角叫做它的面角，三面角表示为S-ABC（图2-1）。如果一个三面角的三个棱分别垂直于另一个三面角的三个面，这个三面角就叫做后一个三面角的补三面角。这两个三面角的顶点可以分开也可以重合（图2-2）。首先注意，如果一个三面角，S-111ABC（或S-000ABC）是三面角S-ABC的补三面角，则后一个也是前一个的补三面角。事实上，如果SB（或0SB）垂直于面SAC，则11SB（或0SB）SA，同理11SC（或0SC）SA，因此，SA垂直于面111SBC（或000SBC）。同样SB，SC分别垂直于面111SAC（或00SAC）、111SAB（或00SAB）。其次注意，如果两个三面角S-ABC与1111SABC（或00SABC）互补，则其中一个三面角的面角分别与另一个三面角的对应二面角的平面角互补。事实上，1111ABSACSd，则1112BACBSCd。又111ABSACSd，因此，1112BACBSCd，同理其它面角与对应二面角的平面角互补（图2-3）。如果1S与S重合，同样可得出上列结果。证明由读者补出。如果三个面角都是直角的三面角，它的三个二面角也都是直二面角，这种三面角叫做直三面角。显然，直三面角与另一个直三面角互补。三面角有以下性质：定理三面角的任意两个面角的和大于第三个面角。证明：设已知三面角为S-ABC，如果三个面角相等，则定理显然成立。现设三个面角中至少有两个不相等，ASCASB，在面SAC上作SD使ASDASB，过点D引与棱相交的平面ABC，使SBSD。这时ASBASD≌。因此，AB=AD，但在ABC中，ABBCAC，由此得到BCCD。又在BSC、DSC中，有两边相等，所以BSCDSC。因此，ASBBSCASC。图2-1图2-2图2-3图2-４68从这个定理可以直接得到下面推论：推论三面角的任意两个面角的差，小于第三个面角。定理三面角各面角之和小于四直角。证明：设已知三面角为S-ABC，延长一棱AS得SA，在三面角SABC中，BSC2CSAASBdCSA2dASB，移项，得：4BSCCSAASBd定理三面角的三个二面角之和大于二直角。证明：以000SABC表示SABC的补三面角，则0000000004BSCCSAASBd。2224dBSACdCSBAdASCBd移项得：2BSACCSBAASCBd关于两个三面角相等有下面定理：定理如果两个三面角有下列条件之一则相等。1．两个面角和它们之间的二面角对应相等；2．两个二面角和它们之间的面角对应相等；3．三个面角对应相等；4．三个二面角对应相等。证明：条件l、2是显然的：条件3可归结为条件1；条件4可应用补三面角性质，还应注意，定理中所说的两个三面角相等，当然包括普通相等和镜像相等。逆定理如果两个三面角相等，那么它们的对应面角，对应二面相等。从以上定理我们注意到，三面角的性质并不与二面角类似，而与三角形类似，三面角的面角与三角形的边对应，二面角与角对应。因而证明三面角的问题，可归结为证明三角形的问题。这也可从参数的观点看，三面角与三角形都有三个参数，而二面角只有一个参数。定理三面角中，若两个面角相等，则它们所对的二面角也相等。证明：设在三面角S-ABC中，ASCBSC。过SC棱作平面CSD平分二面角之ASCB交平面ASB于SD。在两个三面角SACD，SBCD中，ASCBSC，ASCDBSCD，CSDCSD。因此这两个三面角相等。ASBCBSAC。定理在三面角中，每棱与其对面所成的角的和大于其图2-５图2-６图2-７69面角的和的一半而小于其和。证明：三面角S-ABC中，设BCS，CSA，ASB。作直线AO垂直BSC面，令ASOx，则x，同理若BS与CS棱与其对面所成的角为y与z，则y，z，则是xyz。令1CSO且2x。由是2x（1）同理可得：2y（2）2z（3）（1）+（2）+（3）得12xyz问题：在一三面角中，各二面角为606090、、。求证含直二面角的棱与其对面成45角。证明：在三面角S-ABC内，作AOBSC，ODSB，OESC。则由三垂线定理ADSB，AESC，60ADOAEO。易求出ADAE，ODOE。DEOS于F，且EFFD。作FKAS，则平面EKDAS。90DKE。设KFa，ODOEb，则EFFDa，22OFba2222ODbOSOFba；2DKa；2ADb；3AOb；22222222baFSOSOFbababa；22abDSOSFSba；42222222433bbbaASbbaba。在ASD中有KDASDSAD2222224322bbaababbaba化简得63ab.图2-8图2-970由是222346bOSbbb；在直角三角形AOS内3AOOSb，45ASO。2.2多面角的概念及凸多面角的性质类似三面角可以定义多面角概念：有公共始点的若干射线以及相邻两条射线间的平面部分所组成的图形，叫做多面角。所有射线的公共点叫做多面角的顶点，射线叫做它的棱，相邻两棱间的平面部分叫做它的面，相邻两个面组成的二面角叫做它的二面角，相邻两棱间的角叫做它的面角，多面角表示为SABCDE（图2-10）。一个多面角的棱数、面角棱、二面角数是相等的，显然，面数最少的是三面角，此外还有四面角、五面角等。如果多面角完全在它的任意一个所在平面的同一侧，这样的多面角叫做凸面角。三面角是最简单的凸多面角，对于凸多面角，常可选取平面和它的所有棱相交，交线一定是凸多边形（图2-10）。对于一般的多面角，可能是凹多边形（图2-11）。所有面角相等，所有二面角也相等的多面角，叫做正多面角，正多面角是凸多面角。多面角中主要的是凸多面角，凸多面角具有下面性质：定理凸多面角的面角和小于四直角。证明：已知n面角SABC……，用平面截它的所有棱，得到凸n边形ABC……（图2-12）。对以A、B、C……为顶点的三面角，有下面关系：EABSAESAB，ABCSBASBC，BCDSCBSCD，……用表示多面角的面角和ASBBSC……将上面各不等式两边分别相加，左边等于22dn。右边是各三角形ASBBSC、，……的内角和减去多面角的各面角和。因此，2(2)2dnnd。移项得4d。图2-10图2-11图2-1271定理凸n面角的二面角的和大于24n直角，而小于2n直角。证明：设已知凸n面角SABC……的二面角和为，为了证明，考虑它的补n面角SABC……