几何证明题集-R9

183第四章立体几何轨迹.........................................................................................1834.1基本轨迹命题........................................................................................1834.2较复杂的轨迹命题................................................................................185解题示例................................................................................................187183第四章立体几何轨迹在生产过程中，为了保证规格，经常要先找到空心的圆盘或圆柱形工件的中心线，使其与机器主轴的中心线重合。一般使用划针或千分表，转动工件，观察划针与工件表面的接触情况或千分表指针的摆动情况，以判断这时的旋转轴是否重合于工作自身的中心线。这时，我们运用了轨迹的原理。现在，让我们来对立体几何轨迹作系统的介绍。和平面几何里的轨迹一样，我们把满足给定条件C的一切点所构成的图形F，称为由条件C所规定的点的轨迹。在此必须特别注意轨迹命题两面证法的必要性，这是由定义所规定的。首先，构成图形F的点，必须满足条件C，即是说，不满足C的点就不在F上。这样，轨迹上的点便不会滥竽充数，这叫做轨迹的纯粹性。其次，满足条件C的点都要在F上，即是说，不在F上的点就不满足C，因为定义中明白要求：F是满足C的一切点所构成的。这样，轨迹上的点便不会有遗漏，这叫做轨迹的完备性。解决轨迹问题时，倘若C和F都已经告诉了我们，问题就比较简单，我们只要证明在F上的点合于条件C（或证明它的等效命题：不合于C的点不在F上），并且合于条件C的点在F上（或证明它的等效命题：不在F上的点不合于C）。倘若只告诉了条件C，要我们求F，那末就要首先分析F应有的性质从而确定之，然后加以证明。必要时还要加以讨论。当然，一望而知的问题，可以略去一些步骤。4.1基本轨迹命题下面所介绍的轨迹命题应用甚广。它们的正确性或者是显然的，或者是平面几何轨迹在空间的推广。轨迹1与一定点O有定距离r的点的轨迹是一球面()Or。轨迹2距两定点等远的点的轨迹是一平面，在该两点联线段的中点垂直于此线，称为线段的中垂面或垂直平分面。证明：设AB、月为两定点，P为空间动点满足条件PAPB。从P作AB的垂线PM，M为垂足（图4-1）。那末直角三角形PMA和PMB有斜边及一腰对应相等，因而合同，AMBM。即是说，凡满足条件PAPB的点在通过AB的中点M而与AB垂直的平面上。图4-1184反之，在AB中垂面上的任一点P满足条件PAPB：因直角三角形PMA和PMB有两腰对应相等因而合同。PAPB。因此所求轨迹是平面。轨迹3与定直线有定距离r的点的轨迹是一个圆柱面，以为其轴面以r为其半径。轨迹4与一定平面有定距离d的点的轨迹是两个平行于的平面，各在的一侧。轨迹5距两相交平面等远的点的轨迹是两个互相垂直的平面，各平分两已知平面所成的二面角。证明：设P为空间任一点，到两相交平面、的距离PAPB、满足条件PAPB（图4-2）。相交直线PA和PB决定一平面，垂直于和，因而也垂直于和的交线l。以C表示和l的交点，那么，在平面上，在P距两相交线CA和CB等远，于是CP是二面角(，)的平面角ACB的平分线。以表示点P和直线l所决定的平面，那末()()、、(因为它们的平面角相等)，即是合于条件的点在平分和夹角的一个平面上。反之，设P为和夹角的一个平分面上任一点，作APPB，。我们很容易倒回来证明PAPB。由于和有两个互补的夹角，所以有两个互相垂直的平分面作为所求的轨迹。轨迹6距两平行平面等远的点的轨迹是与它们平行的一个平面。轨迹7距两相交直线等远的点的轨迹是两个互相垂直的平面。事实上，容易证明，若一点M距平面上两相交直线ab、等远，则M在上的射影也距ab、等远，反之亦真。所求轨迹是通过ab、夹角的平分线所作垂直于的两个平面。轨迹8距两平行线等远的点的轨迹是这两直线公垂线段的中垂面。轨迹9一点到两已知点的联线段互相垂直，这点的轨迹是一个球面，以两已知点的联线段为直径。在平面几何里我们知道，若一点M到两定点AB、的距离成定比，即(1)MAMBr，则其轨迹为一圆周；若CD、两点内分、外分线段AB成定比r，即CACBrDADB，则点M满足MCMD，从而轨迹就是以CD做直径的圆周。如果通过AB作一群共轴面，在每一面上运用这个平面几何命题，就得到下面的推广：图4-2185轨迹10到两定点AB、的距离成定比(1)r的点的轨迹是一个中心在AB线上的球面。若CD、仍旧代表上述意义，这就是以CD做直径的球面。当1r时，轨迹是AB的中垂面。因此，倘若把平面看作半径趋于无穷大的球面，就可以把轨迹2看作轨迹10的特殊情形。在平面几何中，给定两点AB、，若点M满足条件222MAMBk（k为一给定线段)，则点M的轨迹是一个圆周，以AB的中点为圆心，以22122kAB为半径，有解的条件是22kAB。推广到空间便得：轨迹11到两定点距离之平方和为常量的点的轨迹（倘若存在）是一个球面（可能退缩为一点）。在平面几何中，设AB、为定点，若点M满足条件222MAMBk，则点M的轨迹是垂直于AB的一条直线。推广到空间便得：轨迹12到两定点距离之平方差为常量的点的轨迹是垂直于该两点联线的一个平面。在平面几何中，对于两个不同心的定圆有等幂轴的点的轨迹，是一条称为等幂的直线，垂直于两圆心的联线。在空间便有：轨迹13对于两个不同心的定球有等幂的点的轨迹是一个平面，垂直于两球的联心线。这平面称为两球的等幂面，倘若两球相交，等幂面就是相交点所组成的圆周所在的平面，每一交点对于两球的幂同等于零。倘若两球相切，等幂面就是它们在这切点的公切面。当两球同心时，在有限空间轨迹不存在，因为2222'drdr就必然导致'rr；我们有时候也说轨迹是无穷远面，这样的概念最好利用解析几何将坐标齐次化才能解释清楚。4.2较复杂的轨迹命题在平面上，两个轨迹交截，通常可以得出有限个点，应用轨迹交截法解作图问题，就是根据这个道理。在空间，两个轨迹交截，在多数情况下带来新的轨迹。我们举几个例。轨迹14与三角形三顶点等距离的点的轨迹是一条直线，垂直于三角形所在的平面并且通过三角形的外心。证明：设ABC为已知三角形，距AB、两顶点等远的点的轨迹是线段AB的中垂面186（轨迹2），这平面垂直于AB因而垂直于平面ABC。同理，距两顶点AC、等远的点的轨迹是线段AC的中垂面，也垂直于平面ABC。这两平面都通过ABC的外接圆心O（因为O距AB、等远，O也距AC、等远），所以它们相交于通过O的一直线l，并且l垂直于平面ABC。所以距ABC、、等远的点必在通过ABC的外心O面与平面ABC垂直的直线l上。反之，显然l上任一点距三顶点ABC、、等远。所以命题证明了。这轨迹还可用另一法得到。假定一点M距三顶点ABC、、等远，则M在平面ABC上的射影O亦必距ABC、、等远，而且反过来也成立。O就是ABC的外心，于是所求轨迹是垂直平面ABC于点O的直线。轨迹15与三角形三顶点距离之比等于三已知线段之比的点的轨迹（倘若存在），是一圆周（可能退缩为一点）或一直线。证明：这是上题的推广。设ABC是已知三角形，而abc、、是三已知线段，要求满足条件MAMBMCabc的点M的轨迹。满足MAMBab的点M的轨迹当ab时是一球面（轨迹10），而当ab时，则是一个平面（轨迹2）。同理，满足条MAMCac的点M的轨迹也是一个球面或平面。所求轨迹是球面与球面，或球面与平面，或平面与平面的交线。所以倘若轨迹存在，就是一圆周或一直线。轨迹16与三角形三边等距离的点的轨迹是通过三角形的内心和傍心并垂直于其所在平面的四条直线。证明：设点M距ABC的三边等远，以'M表示M在平面ABC上的射影，则'M也距三边等远，因而'M只能是ABC的内切圆心或傍切圆心，即M只能在所说四直线之一上。反之，这四直线上的任一点到三边有等距离。证明时要用三垂线定理或其逆定理。所以命题证明了。注意这四直线中任一条都不是所求轨迹，因为到三边有等距离的点并不都在其中某一直线上。这四直线合在一起才是所求轨迹。轨迹17与共点而不共轴的三平面等距离的点的轨迹是通过这点的四直线。证明：设、、三平面相交于点O，点及等距离的点的轨迹是两个互相垂直的平面'、（即、夹角的两个平分面）；与及等距离的点的轨迹也是两个互相垂直平面'、。距三平面等远的点便应该在或'上，并且也在或'上，因之只能在与，或与'，或'与，或'与'的交线上。反过来，这四线上任一点到三已知平面有等距离。187轨迹18与共点面不共面的三直线等距离的点的轨迹是通过这点的四条直线。这命题留给读者自证（应用轨迹7）。轨迹19给定互相垂直的两条不共面直线，一定长线段两端在此两线上移动，求其中点的轨迹。解：AB是互相垂直的两条异面直线的公垂线，O为其中点，动线段PQ的长为定值k，则PQ中点轨迹是⊙221()2OkAB，证略。解题示例4.1求作定直线与定球面的交点①。题设：定球()Or，定直线l。求作：l与()Or的交点。作图：（1）作平面Ol。（2）在平面Ol作⊙()Or，设与l相交于A，则A就是所求的点。证明：Al，OAr，()AlOr球讨论：设O到l的距离为d，若：（1）dr，则有两交点；（2）dr，则有一交点；（3）dr，则无交点。4.2求作定平面与定球面相交的圆周。已知：平面，定球()OR求：平面与()OR相交的圆周⊙()Pr。分析：假若所求的圆已作出。作OP于P，则P为定点。OP为确定。22rROP（定长），⊙()Pr可作出。作图：（1）作OPP；①所谓给定了一个球面，只是说知道了它的中心和半径。题图4-1题图4-2188（2）作一线段22rROP；（3）在平面上，作⊙()Pr。则⊙()Pr就是球()OR与相交的圆周。证明：在⊙()Pr上任取一点A，连OA。OPAP，22OAOPPA22222OPrOPROPR，A在()OR上。又A⊙()Pr，⊙()()PrOR球。讨论：若（1）OPR，有一相交的圆周；（2）=OPR，圆周退缩为一点；（3）OPR，无解。4.3证明与定球相交成半径有定长的圆周的一切平面，切于该球的一个同心球。题设：定球()OR，一动平面与()OR相交得⊙()Pr，且r长一定。题断：平面与(')OR相切（'R长一定）。证明：作OP平面于P，则易得P为⊙()Pr的圆心，在⊙()Pr任取一点A。OPAP，2222OPOAAPRr。即22'RRr（定长）。动平面到O的距离总是等于22Rr，平面切于球(OR），22RRr。证毕。4.4通过一定直线求作一平面使切于定球。题设：一定球()OR，一直线l。求作：平面，使过l且切于球()OR。分析：假设平面已做成，设切球()OR于A，连OA，过A作ABl于B。OAl，lBA，lAO，因此l平面OAB于B。Ol、确定，因此，平面OAB可确定，随之得B，尔后便得A。题图4-3题图4-4189于是，平面Al平面为可作。作图：（1）过O作平面alB；（2）设()aOR球⊙()OR，在平面上作BA切⊙()OR于A；（3）过Al、作平面；则平面就是所求。证明：OABA，OAl，OA平面Al，即OA。因