几何辅助线之中点模型讲义

几何辅助线之中点模型一、核心知识点梳理考点一：线段中点的概念考点二：三角形中线的概念三角形中，连接一个顶点和它所对边的中点的线段叫做三角形的中线。1△ABD和△ADC面积相等2-三条中线交点叫重心（交点分中线2:1）考点三：三角形的中位线的概念和定理定义：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线．考点四：中点辅助线的做法（2）当给出两个或多个中点时，考虑三角形的中位线方法与技巧：1当已知条件中出现中线或类中线时，可以尝试倍长中线，构造“8”字形全等解决问题2当求线段的取值范围或判断线段的大小关系时，通常利用全等将线段转移到一个三角形中，在利用三角形三边关系解决问题3当问线段之间的数量关系时，常常是考察“截长补短”的方法（如AB=CD+EF）例一例二变式1、已知在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上一点，且AC=BE，延长BE交AC于点F，AF与EF相等吗？为什么？.2、已知在△ABC中，AD交BC于点D,点E是BC中点，EF∥AD交CA的延长线于点F,交AB于点G,若AD为△ABC的角平分线，求证：BG=CF例三3、已知M为△ABC中BC边上的中点，∠AMB、∠AMC的平分线分别交AB、AC于点E、F,连接EF.求证：BE﹢CF﹥EF4、在△ABC中，D是BC的中点，DM⊥DN,如果BM﹢CN=DM+DN，求证：2221)4(ADABAC5、如图所示，在△ABC中，AC＞AB，M为BC的中点，AD是∠BAC的平分线，若CF⊥AD且交AD的延长线于F，求证：MF＝12(AC－AB)。例四例五例六例七6、如图所示，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，M是BC的中点，ME⊥AD且交AC的延长线于E，CD＝2CE，求证：∠ACB＝2∠B。例八配套练习小试10已知：如图所示，在四边形ABCD中，E、F分别为AB、CD的中点。求证：()EFACBD12。小试11在ABC中，ACAB，D点在AC上，AB＝CD，E、F分别是BC、AD的中点，连结EF并延长，与BA的延长线交于点G，若EFC60，连结GD，判断AGD的形状并证明。小试12如图，在四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，AC=BD，E、F分别是AB、CD的中点，连结EF，分别交AC、BD于点M、N，判断OMN的形状小试13如图所示，在ABC中，D、G分别为AB、AC上的点，且BD＝CG，M、N分别是BG、CD的中点，过MN的直线交AB于点P，交AC于点Q，求证：AP＝AQ。(2008)25．请阅读下列材料：问题：如图1，在菱形ABCD和菱形BEFG中，点ABE，，在同一条直线上，P是线段DF的中点，连结PGPC，．若60ABCBEF，探究PG与PC的位置关系及PGPC的值．小聪同学的思路是：延长GP交DC于点H，构造全等三角形，经过推理使问题得到解决．请你参考小聪同学的思路，探究并解决下列问题：（1）写出上面问题中线段PG与PC的位置关系及PGPC的值；（2）将图1中的菱形BEFG绕点B顺时针旋转，使菱形BEFG的对角线BF恰好与菱形ABCD的边AB在同一条直线上，原问题中的其他条件不变（如图2）．你在（1）中得到的两个结论是否发生变化？写出你的猜想并加以证明．（3）若图1中2(090)ABCBEF，将菱形BEFG绕点B顺时针旋转任意角度，原问题中的其他条件不变，请你直接写出PGPC的值（用含的式子表示）．解：（1）线段PG与PC的位置关系是；PGPC．25．解：（1）线段PG与PC的位置关系是PGPC；PGPC3．（2）猜想：（1）中的结论没有发生变化．证明：如图，延长GP交AD于点H，连结CHCG，．P是线段DF的中点，FPDP．由题意可知ADFG∥．GFPHDP．GPFHPD，GFPHDP△≌△．GPHP，GFHD．四边形ABCD是菱形，CDCB，60HDCABC．由60ABCBEF，且菱形BEFG的对角线BF恰好与菱形ABCD的边AB在同一条直线上，可得60GBC．HDCGBC．四边形BEFG是菱形，GFGB．HDGB．HDCGBC△≌△．CHCG，DCHBCG．120DCHHCBBCGHCB．即120HCG．CHCG，PHPG，PGPC，60GCPHCP．3PGPC（3）PGPCtan(90)．DABEFCPG图1DCGPABEF图2DCGPABEFH