几何辅助线之手拉手模型(初三)

手拉手模型教学目标:1：理解手拉手模型的概念，并掌握其特点2：掌握手拉手模型的应用知识梳理：1、等边三角形条件：△OAB，△OCD均为等边三角形结论：；；导角核心：2、等腰直角三角形条件：△OAB，△OCD均为等腰直角三角形结论：；；导角核心：3、任意等腰三角形条件：△OAB，△OCD均为等腰三角形，且∠AOB=∠COD结论：；；核心图形：核心条件：；；典型例题：例1:在直线ABC的同一侧作两个等边三角形△ABD和△BCE，连接AE与CD，证明：（1）△ABE≌△DBC；（2）AE=DC；（3）AE与DC的夹角为60°；（4）△AGB≌△DFB；（5）△EGB≌△CFB；（6）BH平分∠AHC；GF∥ACHFGEDABC例2：如果两个等边三角形△ABD和△BCE，连接AE与CD，证明：（1）△ABE≌△DBC；（2）AE=DC；（3）AE与DC的夹角为60°；（4）AE与DC的交点设为H,BH平分∠AHCEBDAC例3：如果两个等边三角形△ABD和△BCE，连接AE与CD，证明：（1）△ABE≌△DBC；（2）AE=DC；（3）AE与DC的夹角为60°；（4）AE与DC的交点设为H,BH平分∠AHCHEBDAC例4：如图，两个正方形ABCD和DEFG，连接AG与CE，二者相交于H问：（1）△ADG≌△CDE是否成立？（2）AG是否与CE相等？（3）AG与CE之间的夹角为多少度？（4）HD是否平分∠AHE？HEFADBCG例5：如图两个等腰直角三角形ADC与EDG，连接AG,CE,二者相交于H.问（1）△ADG≌△CDE是否成立？（2）AG是否与CE相等？（3）AG与CE之间的夹角为多少度？（4）HD是否平分∠AHE？HGADCE例6：两个等腰三角形ABD与BCE，其中AB=BD,CB=EB,∠ABD=∠CBE，连接AE与CD.问（1）△ABE≌△DBC是否成立？（2）AE是否与CD相等？（3）AE与CD之间的夹角为多少度？（4）HB是否平分∠AHC？HDABCE例7：如图，分别以△ABC的边AB、AC同时向外作等腰直角三角形，其中AB=AE，AC=AD，∠BAE=∠CAD=90°，点G为BC中点，点F为BE中点，点H为CD中点。探索GF与GH的位置及数量关系并说明理由。例8：如图1，已知∠DAC=90°，△ABC是等边三角形，点P为射线AD任意一点（P与A不重合），连结CP，将线段CP绕点C顺时针旋转60°得到线段CQ，连结QB并延长交直线AD于点E.（1）如图1，猜想∠QEP=_______°；（2）如图2，3，若当∠DAC是锐角或钝角时，其它条件不变，猜想∠QEP的度数，选取一种情况加以证明；（3）如图3，若∠DAC=135°，∠ACP=15°，且AC=4，求BQ的长．例9：在△ABC中，ABAC，点D是射线CB上的一动点（不与点B、C重合），以AD为一边在AD的右侧作△ADE，使ADAE，DAEBAC，连接CE．1）如图1，当点D在线段CB上，且90BAC时，那么DCE_______度；（2）设BAC，DCE．①如图2，当点D在线段CB上，90BAC时，请你探究与之间的数量关系，并证明你的结论；②如图3，当点D在线段CB的延长线上，90BAC时，请将图3补充完整，并直接写出此时与之间的数量关系．（3）结论：与之间的数量关系是____________．例10：在ABC中，2ABBC，90ABC，BD为斜边AC上的中线，将ABD绕点D顺时针旋转(0180)得到EFD，其中点A的对应点为点E，点B的对应点为点F，BE与FC相交于点H.（1）如图1，直接写出BE与FC的数量关系：____________;（2）如图2，M、N分别为EF、BC的中点.求证：MN__________;（3）连接BF，CE，如图3，直接写出在此旋转过程中，线段BF、CE与AC之间的数量关系：.当堂练习：1：在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，点D在射线BC上（与B、C两点不重合），以AD为边作正方形ADEF，使点E与点B在直线AD的异侧，射线BA与射线CF相交于点G．若点D在线段BC上，①依题意补全图1；②判断BC与CG的数量关系与位置关系，并加以证明；2：已知：如图，点C为线段AB上一点，ACM、CBN是等边三角形．CG、CH分别是ACN、MCB的高．求证：CGCH．3：如图，已知ABC和ADE都是等边三角形，B、C、D在一条直线上，试说明CE与ACCD相等的理由．4：已知，如图，P是正方形ABCD内一点，且::1:2:3PAPBPC，求APB∠的度数．5：如图所示，P是等边ABC中的一点，2PA，23PB，4PC，试求ABC的边长.6：在Rt△ABC中，90ACB，D是AB的中点，DE⊥BC于E，连接CD．（1）如图1，如果30A，那么DE与CE之间的数量关系是___________．（2）如图2，在（1）的条件下，P是线段CB上一点，连接DP，将线段DP绕点D逆时针旋转60°，得到线段DF，连接BF，请猜想DE、BF、BP三者之间的数量关系，并证明你的结论．（3）如图3，如果A（090），P是射线CB上一动点（不与B、C重合），连接DP，将线段DP绕点D逆时针旋转2α，得到线段DF，连接BF，请直接写出DE、BF、BP三者之间的数量关系（不需证明）．DBFEDABEDABCCCPAEDBFEDABEDABCCCPAE课后练习：1：在ABC△中，ABAC，BAC060，将线段BC绕点B逆时针旋转60得到线段BD．（1）如图1，直接写出ABD的大小（用含的式子表示）；（2）如图2，150BCE，60ABE，判断ABE△的形状并加以证明；（3）在（2）的条件下，连结DE，若45DEC，求的值2：如图，△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，边BA绕点B顺时针旋转α角得到线段BP，连结PA，PC，过点P作PD⊥AC于点D．（1）如图1，若α=60°，求∠DPC的度数；（2）如图2，若α=30°，直接写出∠DPC的度数；（3）如图3，若α=150°，依题意补全图，并求∠DPC的度数．3：在△ABC中，ABAC，将线段AC绕着点C逆时针旋转得到线段CD，旋转角为，且0180，连接AD、BD．（1）如图1，当100BAC，60时，CBD的大小为_________；（2）如图2，当100BAC，20时，求CBD的大小；（3）已知∠BAC的大小为60120mm，若CBD的大小与（2）中的结果相同，请直接写出的大小4：如图1，正方形ABCD与正方形AEFG的边ABAEABAE、在一条直线上，正方形AEFG以点A为旋转中心逆时针旋转，设旋转角为，在旋转过程中，两个正方形只有点A重合，其它顶点均不重合，连接BEDG、．（1）当正方形AEFG旋转至如图2所示的位置时，求证：=BEDG；（2）当点C在直线BE上时，连接FC，直接写出FCD的度数；（3）如图3，如果45242ABAE，，，求点G到BE的距离5：将等腰RtABC△和等腰RtADE△按图1方式放置，90A，AD边与AB边重合，2AB，4AD．将ADE△绕点A逆时针方向旋转一个角度α0α180，BD的延长线交直线CE于点P．（1）如图2，BD与CE的数量关系是__________，位置关系是__________；（2）在旋转的过程中，当ADBD时，求出CP的长；（3）在此旋转过程中，求点P运动的路线长．6：△ABC中，45ABC，AH⊥BC于点H，将△AHC绕点H逆时针旋转90°后，点C的对应点为点D，直线BD与直线AC交于点E，连接EH．（1）如图1，当∠BAC为锐角时，①求证：BE⊥AC；②求∠BEH的度数；（2）当∠BAC为钝角时，请依题意用实线补全图2，并用等式表示出线段EC，ED，EH之间的数量关系．7：如图1，在ACB和AED中，ACBC，AEDE，90ACBAED，点E在AB上，F是线段BD的中点，连接CE、FE．（1）请你探究线段CE与FE之间的数量关系（直接写出结果，不需要说明理由）；（2）将图1中的AED绕点A顺时针旋转，使AED的一边AE恰好与ACB的边AC在同一条直线上（如图2），连接BD，取BD的中点F，问（1）中的结论是否仍然成立，并说明理由；（3）将图1中的AED绕点A顺时针旋转任意的角度（如图3），连接BD，取BD的中点F，问（1）中的结论是否仍然成立，并说明理由．