高三数学函数与导数的综合应用

2010届高考数学二轮复习系列课件09《函数与导数的综合应用》函数的综合应用•要点·疑点·考点•课前热身•能力·思维·方法•延伸·拓展•误解分析要点·疑点·考点1.函数思想就是要用运动和变化的观点，分析和研究具体问题中的数量关系，通过函数的形式，把这种数量关系表示出来并加以研究，从而使问题获得解决.函数思想是对函数概念的本质认识.用于指导解题就是善于利用函数知识或函数观点观察处理问题.2.方程思想就是在解决数学问题时，先设定一些未知数，然后把它们当成已知数，根据题设各量之间的制约关系，列出方程，求得未知数；或如果变量间的数量关系是用解析式的形式(函数形式)表示出来的，那么可把解析式看作是一个方程，通过解方程或对方程的研究，使问题得到解决，这便是方程的思想.方程思想是对方程概念的本质认识，用于指导解题就是善于利用方程知识或方程观点观察处理问题.函数思想与方程思想是密切相关的.如函数问题(例如：求反函数；求函数的值域等)可以转化为方程问题来解决；方程问题也可以转化为函数问题加以解决.如解方程f(x)＝0，就是求函数y＝f(x)的零点；解不等式f(x)＞0(或f(x)＜0)，就是求函数y＝f(x)的正负区间.3.解答数学应用题的关键有两点：一是认真读题，缜密审题，确切理解题意，明确问题的实际背景，然后进行科学的抽象、概括，将实际问题归纳为相应的数学问题；二是要合理选取参变数，设定变元后，就要寻找它们之间的内在联系，选用恰当的代数式表示问题中的关系，建立相应的函数、方程、不等式等数学模型；最终求解数学模型使实际问题获解.一般的解题程序是：读题建模求解反馈(文字语言)(数学语言)(数学应用)(检验作答)与函数有关的应用题，经常涉及物价、路程、产值、环保等实际问题，也可涉及角度、面积、体积、造价的最优化问题.解答这类问题的关键是确切建立相关函数解析式，然后应用函数、方程和不等式的有关知识加以综合解答.常见的函数模型有一次函数，二次函数，y＝ax+bx型，指数函数模型等等.返回课前热身2500m2C，，1010101.有一批材料可以建成200m的围墙，如果用此材料在一边靠墙的地方围成一块矩形场地，中间用同样的材料隔成三个面积相等的矩形(如图所示)，则围成的矩形最大面积为_______(围墙厚度不计).2.偶函数f(x)在(-∞,0)内是减函数，若f(-1)＜f(lgx)，则实数x的取值范围是_________________________.3.在区间上函数f(x)＝x2+px+q与g(x)＝x2-2x在同一点取得最小值，f(x)min＝3，那么f(x)在区间上最大值是()(A)54(B)134(C)4(D)8221，221，4．若log(2/a)x1＝logax2＝log(a+1)x3＞0(0＜a＜1)，则x1，x2，x3的大小关系是()(A)x3＜x2＜x1(B)x2＜x1＜x3(C)x2＜x3＜x1(D)x1＜x3＜x25.某学生离家去学校，为了锻炼身体，一开始跑步前进，跑累了再走余下的路程，下图中，纵轴表示离学校的距离，横轴表示出发后的时间，则下列四个图形中较符合该学生的走法的是()CD返回能力·思维·方法【解题回顾】看似繁杂的文字题，其背景不过是两个一次函数，当然因x∈N*，故实际上是两个等差数列.1.一家庭(父亲、母亲、孩子)去某地旅游，有两个旅行社同时发出邀请，且有各自的优惠政策，甲旅行社承诺：如果父亲买一张全票，则其家庭成员(母亲与孩子，不论孩子多少与大)均可享受半价；乙旅行社承诺：家庭旅行算团体票，按原价的23计算，这两家旅行社的原价是一样的，若家庭中孩子数不同(至少一个)，试分别列出两家旅行社优惠政策实施后的孩子个数为变量的收费表达式，比较选择哪一家旅行社更优惠?2.已知函数(1)当a＝1/2时，求函数f(x)的最小值；(2)若对任意x∈[1，+∞)，f(x)＞0恒成立，试求实数a的取值范围.，，122xxaxxxf【解题回顾】本题可借助于导数来判断函数的最小值或单调性.211xx3.设计一幅宣传画，要求画面面积为4840cm2，画面的宽与高的比为λ(λ＜1)，画面的上、下各留8cm空白，左、右各留5cm空白.怎样确定画面的高与宽尺寸，能使宣传画所用纸张面积最小?【解题回顾】应用基本不等式求函数最值时，一定要注意等式成立的充要条件.另外本题也可借用导数来求最值.211xx问每周应生产空调器、彩电、冰箱各多少台，才能使产值最高?最高产值是多少?(以千元为单位)4.某家电生产企业根据市场调查分析，决定调整产品生产方案，准备每周(按120个工时计算)生产空调器、彩电、冰箱共360台，且冰箱至少生产60台.已知生产家电产品每台所需工时和每台产值如下表：家电名称空调器彩电冰箱工时1/21/31/4产值(千元)432【解题回顾】解答本题的思路是：列出关于x、y、z的两个等式(①和②)，将y和z用x表示后代入s，使s成为x的一次函数s=-x+1080，讨论s在x≥30条件下的最大值.返回延伸·拓展【解题回顾】本题(2)的证明采用分析法，而分析法的本质是寻结论的充分条件，但未必是充要条件.5.已知函数的反函数为f-1(x)(1)求f-1(x)的解析式及定义域；(2)设，当时，求证：对任何正整数n，均有222log1anfnp131a233nnnp102log2aaxxxfa且返回误解分析2.在引入自变量建立目标函数解决实际问题时，一是要注意自变量的取值范围，二是要检验结果，看是否符合实际问题要求.1.用基本不等式求最值时，必须是可以取等号.返回导数的综合应用导数的应用举例1解:(1)由已知f(x)=3x2-x-2,(2)命题等价于f(x)在[-1,2]上的最大值小于m.单调递增区间是(-∞,-)和(1,+∞).23设f(x)=x3-x2-2x+5.(1)求函数f(x)的单调递增、递减区间;(2)当x[-1,2]时,f(x)m恒成立,求实数m的取值范围.12令f(x)0得-x1;23令f(x)0得x-或x1.23∴y=f(x)的单调递减区间是(-,1);2323令f(x)=0得x=-或1.12f(1)=3,f(2)=7,∵f(-1)=5,12f(-)=5,232722∴f(x)在[-1,2]上的最大值为7.∴7m.故实数m的取值范围是(7,+∞).导数的应用举例2解:(1)函数f(x)的定义域为(-1,+∞).∴当a0时,f(x)0,f(x)在(-1,+∞)上为增函数;设f(x)=x+1-aln(x+1),aR,且a0,取e=2.7.(1)求f(x)的单调区间;(2)比较x+1与ln(x+1)的大小,并加以证明.2(x+1)x+1-2a=.又f(x)=-2x+11x+1a当a0时,令f(x)0得-1x4a2-1;令f(x)0得x4a2-1.∴当a0时,f(x)在(-1,4a2-1)上为减函数,在(4a2-1,+∞)上为增函数.综上所述,当a0时,f(x)的单调递增区间为(-1,+∞);当a0时,f(x)的单调递减区间为(-1,4a2-1),单调递增区间为(4a2-1,+∞).导数的应用举例2由(1)知g(x)在(-1,3)上为减函数,设f(x)=x+1-aln(x+1),aR,且a0,取e=2.7.(1)求f(x)的单调区间;(2)比较x+1与ln(x+1)的大小,并加以证明.解:(2)x+1ln(x+1),证明如下:=2-ln40.∴g(x)≥g(3)0.即x+1ln(x+1).设g(x)=x+1-ln(x+1),又g(3)=3+1-ln(3+1)在(3,+∞)上为增函数,导数的应用举例3设函数f(x)=-x3+2ax2-3a2x+b,0a1.(1)求函数f(x)的单调区间、极值;(2)若当x[a+1,a+2]时,恒有|f(x)|≤a,试确定a的取值范围.13解:(1)由已知f(x)=-x2+4ax-3a2,∵0a1,∴a3a.令f(x)=0得x=a或x=3a.当x变化时,f(x),f(x)的变化情况如下表:x(-∞,a)a(a,3a)3a(3a,+∞)f(x)-0+0-f(x)极小值极大值由上表可知,f(x)的单调递增区间是(a,3a),单调递减区间是(-∞,a)和(3a,+∞).当x=a时,f(x)取极小值f(a)=-a3+b;43当x=3a时,f(x)取极大值f(3a)=b.导数的应用举例3设函数f(x)=-x3+2ax2-3a2x+b,0a1.(1)求函数f(x)的单调区间、极值;(2)若当x[a+1,a+2]时,恒有|f(x)|≤a,试确定a的取值范围.13解:(2)∵0a1,∴2aa+1.∴f(x)max=f(a+1)=2a-1,∴f(x)=-x2+4ax-3a2在[a+1,a+2]上为减函数.f(x)min=f(a+2)=4a-4.∵当x[a+1,a+2]时,恒有|f(x)|≤a,即-a≤f(x)≤a恒成立.∴4a-4≥-a且2a-1≤a.解得≤a≤1.45又0a1,故a的取值范围是[,1).45已知函数f(x)=ax3+bx2+cx+d在x=0处取得极值,曲线y=f(x)过原点和点P(-1,2).若曲线f(x)在点P处的切线与直线y=2x的夹角为45,且倾角为钝角.(1)求f(x)的解析式;(2)若f(x)在区间[2m-1,m+1]递增,求m的取值范围.导数的应用举例4解:(1)∵曲线y=f(x)=ax3+bx2+cx+d过原点,∴f(0)=0d=0.∴f(x)=ax3+bx2+cx,f(x)=3ax2+2bx+c.∵函数f(x)=ax3+bx2+cx在x=0处取得极值,∴f(0)=0c=0.∵过点P(-1,2)的切线斜率为f(-1)=3a-2b,而曲线f(x)在点P的切线与直线y=2x的夹角为45,且倾角为钝角,解得f(-1)=-3.又f(-1)=2,∴||=1且f(-1)0.2-f(-1)1+2f(-1)∴3a-2b=-3且-a+b=2.解得a=1,b=3.∴f(x)=x3+3x2.已知函数f(x)=ax3+bx2+cx+d在x=0处取得极值,曲线y=f(x)过原点和点P(-1,2).若曲线f(x)在点P处的切线与直线y=2x的夹角为45,且倾角为钝角.(1)求f(x)的解析式;(2)若f(x)在区间[2m-1,m+1]递增,求m的取值范围.导数的应用举例4解:(2)由(1)知f(x)=3x2+6x.又由f(x)0x-2或x0,∴f(x)的单调递增区间为(-∞,-2]和[0,+∞).∵函数f(x)在区间[2m-1,m+1]递增,∴2m-1m+1≤-2或m+12m-1≥0.∴[2m-1,m+1](-∞,-2]或[2m-1,m+1][0,+∞).解得m≤-3或≤m2.12即m的取值范围是(-∞,-3]∪[,2).12导数的应用举例5已知函数f(x)=x3-ax2-3x.(1)若f(x)在区间[1,+∞)上是增函数,求实数a的取值范围;(2)若x=-是f(x)的极值点,求f(x)在[1,a]上的最大值;(3)在(2)的条件下,是否存在实数b,使得函数g(x)=bx的图象与函数f(x)的图象恰有三个交点,若存在,求出实数b的取值范围;若不存在,请说明理由.13解:(1)由已知f(x)=3x2-2ax-3.∵f(x)在区间[1,+∞)上是增函数,∴在[1,+∞)上恒有f(x)≥0,即3x2-2ax-3≥0在[1,+∞)上恒成立.则必有≤1且f(1)=-2a≥0.a3解得a≤0.故实数a的取值范围是(-∞,0].由于f(0)=-30,∴f(x)=3x2-8x-3.在[1,4]上,当x变化时,f(x),f(x)的变化情况如下表:∴f(x)在[1,4]上的最大值是f(1)