第五章 应力张量 应变张量与应力应变关系

第五章应力张量应变张量与应力-应变关系本章拟进一步讨论应力、应变的性质及线性弹性应力与应变关系的一般规律，它将有助于对问题的深入认识。§5-1应力分量的坐标变换应力张量§5-2主应力应力张量不变量§5-3最大剪应力§5-4笛卡尔张量基础§5-5物体内无限邻近两点位置的变化转动张量§5-6应变的坐标变换应变张量§5-7主应变应变张量不变量§5-8广义Hooke定律的一般形式§5-9弹性体变形过程中的能量§5-10应变能和应变余能§5-11各向异性弹性体的应力-应变关系§5-12各向同性弹性体应力-应变关系§5-13各向同性弹性体各弹性常数间的关系§5-1应力分量的坐标变换应力张量在给定载荷作用下，物体内过一点的任意斜截面上应力的大小和方向都是确定的，即一点的应力状态是确定的。它不随所取坐标系而变化。但描述一点应力状态的应力分量又是在确定的坐标系下确定的，它随坐标系的不同而不同。我们通常习惯的右手坐标系，下面首先考察旋转变换的情形:考察物体内任一点o。设oxyz为旧坐标系下o点处的局部标架（图5-1（a）），单位基矢量为321eee、、，相应的应力分量为:zzyzxyzyyxxzxyxijzyxo设为新坐标系下o点处的局部标架，单位基矢量为321eee、、，相应的应力分量:zyzxzzyyxyzxyxxji新、旧坐标系下坐标轴间的方向余弦为x111l211m311ny122l222m322nz133l233m333nxyz作斜面abc垂直于轴，作用于该微面上的应力矢量为xT21TT、3T。用旧系下沿坐标轴的三个分量和，及Cauchy公式（（2-4）式）可将T表为332211eeeTTTTijijiinTee在新系下，沿坐标轴的三个分量即为新系下该面上的三个应力分量、和。Txyxzx将向、和xyzT轴方向投影，并注意到这里jjn1及剪应力互等关系jiij得11eeeTijijxnijji1122eeeTijijyxnjiijijji1212ijji2133eeeTijijzxnjiijijji1313ijji31三个式子合起来，可简写为：ijjjij11同理，取微斜面abc分别垂直于、，可以得到新系下的其余六个应力分量与旧系下九个应力分量间的类似关系：yzijjjij22ijjjij33（3）（4）（2）（2）～（4）式可以统一写为ijjjiiji（5-1）这就是应力转轴公式，式中或称为转换系数。ii'jj'在数学上，将坐标变换符合式（5-1）的一组量称为二阶张量。按此定义，决定一点应力状态的九个应力分量就是一个二阶张量，称为应力张量。在式（5-1）中作指标置换，并利用的对称性得ijjiijjiijjiijijjiijjjii应力张量在经坐标变换后，其对称性仍然保持不变。在平面问题中，建立二维的新、旧坐标系如图5-2，新、旧坐标轴的方向余弦为221sinlcos222msin211mcos111lyxxy与前面推导类似ijjjiiji指标的取值为2,1,ji2,1,ji当取新系为正交曲线坐标系，其中转换系数ii'jj'为点o处坐标曲线切线方向单位基矢量在旧系下的方向余弦。xyr方向方向取ijrjriryxrxryxyryrxyryryxrxrxxyyxcossin2sincos222sinsincos22xyyx同理ijji2sincossin22xyyxijjrir)sin(coscossin)(22xyxyrr这就是极坐标下的应力分量与直角坐标下应力分量的转换公式。反过来，取直角坐标系为新坐标系，极坐标系旧坐标系，根据（5-2）式，用极坐标应力分量表示直角坐标应力分量的关系为：rrrrrryrxryxryxryrxrxyrrryyryyryryryrrrxxrxxrxrxrxa)sin(cos)(cossinsin)sin(coscos)sin(sincoscossin2cossin2cossin2sincos22222222§5-2主应力应力张量不变量Cauchy公式（2-4）给出了过一点任意斜截面上的应力矢量的计算关系，写成矢量的形式有ijijiinTeeT斜面上的应力矢量不仅与该点的应力状态有关，而且与斜面的方向有关。T为该截面的正应力)(，而剪应力为零。（5-4）这个问题的数学描述是，求某个法线方向),,(nmlν，使满足方程：νT（5-5）将（5-4）式代入（5-5）式得：iiijijnnee故ijijnn整理合并后得0)(jijijnzyx图5-3T将上式展开0)(0)(0)(nmlnmlnmlzzyzxyzyyxxzxyx我们把只有正应力，而没有剪应力的平面称为主平面；主平面上的正应力称为主应力；主平面的法线方向，即主应力方向称为主方向。代数上，（5-6）式是关于主方向（5-6）),,(nml的线性齐次代数方程，它有非零解的条件是，其系数行列式为零，即0zzyzxyzyyxxzxyx（5-7）展开后得到关于主应力的三次代数方程（5-7），称为应力张量的特征方程：032213IIIzyxI12222zxyzxyxzzyyxIzzxxzxzzyyzyyyxxyx22232xyzzxyyzxzxyzxyzyxIzzyzxyzyyxxzxyx可以证明方程（5-7）有3个实根，它们对应该点的3个主应力，分别用表示。321、、1222nml（5-9）将（5-9）式与方程组（5-6）中的任意两式联立，即可求出与给定主应力对应的主方向。i321、、是方程（5-7）的三个根，所以，也可以将特征方程写成0))()((321展开后有0)()(32113322123213与式（5-7）比较，得321313322123211III对于一个给定的应力状态，其主应力的大小和方向都是确定的，它不随坐标系的变换而变化，故也不会因坐标系的变换而改变。这种不因坐标系变换而改变的量，称为不变量.321III、、分别称为应力张量的第一、第二、第三不变量。321III、、主应力的几个重要性质：（1）主应力为实数（2）主方向的正交性设与主应力321、、对应的主方向为3)(2)(1)(ννν、、如果3210(2)(1)νν0(3)(2)νν0(1)(3)νν则这表明，三个主方向是相互正交的。321如果则0(3)(2)νν0(1)(3)νν表明3的方向同时与和方向垂直；12而(2)(1)νν可为零，也可以不等于零，即12和的方向可取与垂直平面上的任意方向。即与垂直的方向都是主方向。(3)ν(3)ν如果321，则、、(2)(1)νν(3)(2)νν(1)(3)νν三者可以是零，也可以不是零，这说明三个主方向可以相互垂直，也可以不垂直，也就是说，任何方向都是主方向。（3）主应力的极值性命题1：最大（或最小）主应力是相应点处任意截面上正应力的最大（或最小）值。§5-3最大剪应力现在我们来考察物体内一点P的最大剪应力及其作用面。取应力主轴为参考轴（图5-4）。斜面上应力矢量的分量及斜面上的正应力分别为：TlT11mT22nT33232221nmlz12y3x图5-4将（1）、（2）式代入斜面上的剪应力公式（2-7）得222||T)(232221223222221nmlnml利用几何关系：1222nml得23222221222)1(nmnm23222122])1[(nmnm（3）（4）（5）2取极值的点也使，将（4）式代入方程0/2m0/2n得0])()()[(2)(0])()()[(2)(11321221321231132122122122nmnnnmmm下面分三种情况考虑：（1）三个主应力互不相等，即321（6）将（6）式的第一式除以)(12，第二式除以)(13，整理后得0)]}()([2){(0)]}()([2){(1321221313212212nmnnmm方程（7）有三组解：（7）第一组是0,0nm第二组是2/1,0nm第三组是0,2/1nm有了m、n就可以从（4）中求得相应的l，并运用（5）式得到相应的极值剪应力，由（2）式得到极值剪应力面上的正应力。同理可从（3）和（4）中分别消去m和n，按上述方法又可以得到六组解，但其中三组是重复的，独立的解答一共六组，如表5-1所示。表中前三组解答对应于主平面，其上剪应力为零；而后三组解答对应于经过主轴之一而平分其他两主轴夹角的平面，如图5-5示，其上剪应力为)3()2()1(、、称为主剪应力。如果321，则最大剪应力为231max即最大剪应力等于最大主应力与最小主应力差的一半，它作用在过oy轴（2轴）而平分ox轴（1轴）和oz轴（3轴）夹角的微分平面上。（2）两主应力相等为了确定起见，设321则（6）式的第一式已满足，第二式有0)](2)[(13213nn由此可解得0n2/1n第一个解0n表示平面通过oz轴，将0n及21代入（5）式得0即过oz轴的平面都是主平面。第二个解2/1n，将其代入（4）式得2122ml它表示了任一个与圆锥面（图5-6）相切的微分面。对应平面上的最大剪应力231)2(（3）三个主应力相等，即321过该点的任何微分面上都没有剪应力，即任一平面都是主平面，与§5-2的结论也是一致的。z4545yx图5-6§5-4笛卡尔张量基础1.坐标变换考察平面内矢量的坐标变换关系。新、旧坐标系的方向余弦为a212cos222cos121cos111cosxyxy将旧系下的矢量分量21aa、向新系坐标x投影可得矢量a在新坐标系下的分量2221212111coscoscoscosaaaaaa进一步可表为22211222211111aaaaaa2,1,