专题一三角函数与解三角形

1专题一三角函数与解三角形该专题是高考重点考查的部分，从最近几年考查的情况看，主要考查三角函数的图象和性质、三角函数式的化简与求值、正余弦定理解三角形、三角形中的三角恒等变换、平面向量的线性运算、平面向量的数量积、平面向量的平行与垂直，以及三角函数、解三角形和平面向量在立体几何、解析几何等问题中的应用．该部分在试卷中一般是2～3个选择题或者填空题，一个解答题，选择题在于有针对性地考查本专题的重要知识点(如三角函数性质、平面向量的数量积等)，解答题一般有三个命题方向，一是以考查三角函数的图象和性质为主，二是把解三角形与三角函数的性质、三角恒等变换交汇，三是考查解三角形或者解三角形在实际问题中的应用．由于该专题是高中数学的基础知识和工具性知识，在试题的难度上不大，一般都是中等难度或者较为容易的试题。2第1讲三角恒等变换与三角函数一、牢记概念与公式1．同角三角函数的基本关系(1)商数关系：sinαcosα＝tanαα≠kπ＋π2，k∈Z；(2)平方关系：sin2α＋cos2α＝1(α∈R)．2．三角函数的诱导公式诱导公式的记忆口诀：奇变偶不变，符号看象限．其中，“奇、偶”是指“k·π2±α(k∈Z)”中k的奇偶性；“符号”是把任意角α看作锐角时，原函数值的符号．3.三种函数的性质4．三角恒等变换的主要公式sin(α±β)＝sinαcosβ±cosαsinβ；cos(α±β)＝cosαcosβ∓sinαsinβ；tan(α±β)＝tanα±tanβ1∓tanαtanβ；aaaaaaaa2222sin211cos2sincos2cos;cossin22sinaaaaa2tan1tan22cos2sin2tan函数y＝sinxy＝cosxy＝tanx图象单调性在－π2＋2kπ，π2＋2kπ(k∈Z)上单调递增；在π2＋2kπ，3π2＋2kπ(k∈Z)上单调递减在[－π＋2kπ，2kπ](k∈Z)上单调递增；在[2kπ，π＋2kπ](k∈Z)上单调递减在－π2＋kπ，π2＋kπ(k∈Z)上单调递增对称性对称中心：(kπ，0)(k∈Z)；对称轴：x＝π2＋kπ(k∈Z)对称中心：π2＋kπ，0(k∈Z)；对称轴：x＝kπ(k∈Z)对称中心：kπ2，0(k∈Z)3二、活用定理与结论1．三角函数的两种常见变换2．正、余弦定理(1)正弦定理①a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC；②sinA＝a2R，sinB＝b2R，sinC＝c2R；③a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC.注：R是三角形的外接圆半径．(2)余弦定理①cosA＝b2＋c2－a22bc，cosB＝a2＋c2－b22ac，cosC＝a2＋b2－c22ab.②b2＋c2－a2＝2bccosA，a2＋c2－b2＝2accosB，a2＋b2－c2＝2abcosC.43．面积公式已知在△ABC中，a，b，c分别为内角A、B、C的对边，则(1)三角形的面积等于底乘以高的12；(2)S＝12absinC＝12bcsinA＝12acsinB＝abc4R(其中R为该三角形外接圆的半径)；(3)若三角形内切圆的半径是r，则三角形的面积S＝12(a＋b＋c)r；(4)若p＝a＋b＋c2，则三角形的面积S＝pp－ap－bp－c.4．航海和测量中常涉及如仰角、俯角、方位角等术语[易错易混想一想]1．注意角的集合的表示形式不是唯一的，如终边在y轴的负半轴上的角的集合可以表示为x＝2kπ－π2，k∈Z，也可以表示为x＝2kπ＋3π2，k∈Z.2．三角函数值是比值，是一个实数，这个实数的大小和点P(x，y)在终边上的位置无关，只由角α的终边位置决定．3．在解决三角问题时，应明确正切函数的定义域，正弦函数、余弦函数的有界性．4．求y＝Asin(ωx＋φ)的单调区间时，要注意ω，A的符号．ω0时，应先利用诱导公式将x的系数转化为正数后再求解；在书写单调区间时，不能弧度和角度混用，需加2kπ时，不要忘掉k∈Z，所求区间一般为闭区间．5．对三角函数的给值求角问题，应选择该角所在范围内是单调函数，这样，由三角函数值才可以唯一确定角，若角的范围是0，π2，选正、余弦皆可；若角的范围是(0，π)，选余弦较好；若角的范围是－π2，π2，选正弦较好．6．利用正弦定理解三角形时，注意解的个数讨论，可能有一解、两解或无解．在△ABC中，AB⇔sinAsinB.7．要特别注意零向量带来的问题：0的模是0，方向任意，并不是没有方向；0与任意非零向量平行；λ0＝0(λ∈R)，而不是等于0；0与任意向量的数量积等于0，即0·a＝0；但不说0与任意非零向量垂直．8．当a·b＝0时，不一定得到a⊥b，当a⊥b时，a·b＝0；a·b＝c·b，不能得到a＝c，消去律不成立；(a·b)·c与a·(b·c)不一定相等；(a·b)·c与c共线，而a·(b·c)与a共线．►探究点一简单的三角恒等变换5例1(1)[2011·浙江卷]若0απ2，－π2β0，cos（π4＋α）＝13，cos（π4－β2）＝33，则cos（α＋β2）＝()A.33B．－33C.539D．－69(2)[2011·重庆卷]已知sinα＝12＋cosα，且α∈0，π2，则cos2αsinα－π4的值为________．(1)已知cos2α2sinα＋π4＝52，则tanα＋1tanα的值为()A．－8B．8C．－18D.18(2)若sinα＋2cosα＝0，则1＋cos2αcos2α＋sin2α的值为()A．－23B.25C.23D．－83►探究点二三角函数的图象例2(1)[2011·辽宁卷]已知函数f(x)＝Atan(ωx+φ)ω＞0，|φ|＜π2，y＝f(x)的部分图象如图5－1，则fπ24＝________.6(2)要得到函数y＝cos（2x＋π3）的图象，只需将函数y＝12sin2x＋32cos2x的图象()A．向左平移π8个单位B．向右平移π2个单位C．向右平移π3个单位D．向左平移π4个单位(1)[2011·江苏卷]函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A，ω，φ为常数，A0，ω0)的部分图象如图5－2所示，则f(0)的值是________．图5－2►探究点三三角函数的性质例3[2011·安徽卷]已知函数f(x)＝sin(2x＋φ)，其中φ为实数，若f(x)≤fπ6对x∈R恒成立，且fπ2f(π)，则f(x)的单调递增区间是()A.kπ－π3，kπ＋π6(k∈Z)B.kπ，kπ＋π2(k∈Z)C.kπ＋π6，kπ＋2π3(k∈Z)D.kπ－π2，kπ(k∈Z)7例4设函数f(x)＝sinωx＋sinωx－π2，x∈R.(1)若ω＝12，求f(x)的最大值及相应的x的集合；(2)若x＝π8是f(x)的一个零点，且0ω10，求ω的值和f(x)的最小正周期．【点评】本题是考查三角函数性质为主的三角函数解答题，是高考中三角函数解答题的基本题目类型之一，解题的基本思想是通过三角恒等变换把已知函数化为一个正弦型(或余弦型)函数，通过正弦函数(或余弦函数)的性质得到所求解的函数的性质．在已知三角函数值求角或者三角函数式中的位置参数时，由于三角函数的周期性，其解的个数是无穷的，可以先求出其通解，再根据题目的其他已知确定其具体的数值．[2011·北京卷]已知函数f(x)＝4cosx·sin(x＋π6)－1.(1)求f(x)的最小正周期；(2)求f(x)在区间－π6，π4上的最大值和最小值．规律技巧提炼1．根据三角函数的图象求解函数的解析式时，要注意从图象提供的信息确定三角函数的性质，如最小正周期、最值，首先确定函数解析式中的部分系数，再根据函数图象上的特殊点的坐标适合函数的解析式确定解析式中剩余的字母的值，同时要注意解析式中各个字母的范围．2．进行三角函数的图象变换时，要注意无论进行的什么样的变换都是变换的变量本身，特别在平移变换中，如果这个变量的系数不是1，在进行变换时变量的系数也参与其中，如把函数y＝sin2x＋π4的图象向左平移π12个单位时，得到的是函数y＝sin2x＋π12＋π4＝sin2(x＋5π12)的图象．3．解答三角函数的图象与性质类的试题，变换是其中的核心，把三角函数的解析式通过变换，化为正弦型、余弦型、正切型函数，然后再根据正弦函数、余弦函数和正切函数的性质进行研究．8备选例题例1已知函数f(x)＝3sinωx－π6(ω0)和g(x)＝3cos(2x＋φ)的图象的对称中心完全相同，若x∈0，π2，则f(x)的取值范围是()A.－32，3B．[－3,3]C.－12，32D.0，32例2若将函数y＝Acosx－π6sinωx＋π6(A0，ω0)的图象向左平移π6个单位后得到的图象关于原点对称，则ω的值可能为()A．2B．3C．4D．5例3若f(x)＝2sin(ωx＋φ)＋m对任意实数t都有fπ8＋t＝fπ8－t，且fπ8＝－3，则实数m的值等于()A．－1B．±5C．－5或－1D．5或1例4已知sin(α＋π3)＋sinα＝－435，－π2α0，则cos(α＋2π3)等于()A．－45B．－35C.35D.45