专题七 第3讲 分类讨论思想

第3讲分类讨论思想感悟高考时确考向(2010·全国Ⅰ)已知函数f(x)＝3ax4－2(3a＋1)x2＋4x.(1)当a＝16时，求f(x)的极值；(2)若f(x)在(－1,1)上是增函数，求a的取值范围．解(1)f′(x)＝4(x－1)(3ax2＋3ax－1)．当a＝16时，f′(x)＝2(x＋2)(x－1)2，∴f(x)在(－∞，－2)内单调递减，在(－2，＋∞)内单调递增，∴当x＝－2时，f(x)有极小值，∴f(x)的极小值是f(－2)＝－12.(2)在(－1,1)上，f(x)是增函数当且仅当f′(x)＝4(x－1)(3ax2＋3ax－1)≥0，∴f′(x)＝4(x－1)(3ax2＋3ax－1)≥0，即3ax2＋3ax－1≤0.①a．当a＝0时，①恒成立．b．当a＞0时，若要①成立，则需3a·12＋3a·1－1≤0，解得a≤16，即0a≤16.c．当a＜0时，若要①成立，则需3ax＋122－3a4－1≤0，即－3a4－1≤0，解得a≥－43.即－43≤a0.综上，a的取值范围是－43，16.考题分析本题考查了函数导数的求法、函数极值的求法，考查了由函数单调性求参数范围的方法，考查了分类讨论的数学思想方法．本题的核心是考查考生利用分类讨论的思想解决问题的能力．易错提醒(1)f′(x)＝0的根x＝1并不是函数f(x)的极值点．考生易忽视对极值点的判断．(2)不能将f(x)在(－1,1)上单调递增转化为不等式进行研究．(3)忽视分类讨论或讨论不到位是本题出错的关键．思想方法概述1．分类讨论的思想是一种重要的数学思想方法．其基本思路是将一个较复杂的数学问题分解(或分割)成若干个基础性问题，通过对基础性问题的解答来实现解决原问题的思想策略．对问题实行分类与整合，分类标准等于增加一个已知条件，实现了有效增设，将大问题(或综合性问题)分解为小问题(或基础性问题)，优化解题思路，降低问题难度．2．分类讨论的常见类型(1)由数学概念引起的分类讨论：有的概念本身是分类的，如绝对值、直线斜率、指数函数、对数函数等．(2)由性质、定理、公式的限制引起的分类讨论：有的数学定理、公式、性质是分类给出的，在不同的条件下结论不一致，如等比数列的前n项和公式、函数的单调性等．(3)由数学运算要求引起的分类讨论：如除法运算中除数不为零，偶次方根为非负，对数真数与底数的要求，指数运算中底数的要求，不等式两边同乘以一个正数、负数，三角函数的定义域等．(4)由图形的不确定性引起的分类讨论：有的图形类型、位置需要分类：如角的终边所在的象限；点、线、面的位置关系等．(5)由参数的变化引起的分类讨论：某些含有参数的问题，如含参数的方程、不等式，由于参数的取值不同会导致所得结果不同，或对于不同的参数值要运用不同的求解或证明方法．(6)由实际意义引起的讨论：此类问题在应用题中，特别是在解决排列、组合中的计数问题时常用．3．分类讨论的原则(1)不重不漏．(2)标准要统一，层次要分明．(3)能不分类的要尽量避免或尽量推迟，决不无原则地讨论．4．解分类问题的步骤(1)确定分类讨论的对象：即对哪个变量或参数进行分类讨论．(2)对所讨论的对象进行合理的分类．(3)逐类讨论：即对各类问题详细讨论，逐步解决．(4)归纳总结：将各类情况总结归纳．热点分类突破题型一根据数学概念分类讨论例1设0x1，a0且a≠1，比较|loga(1－x)|与|loga(1＋x)|的大小．思维启迪先利用0x1确定1－x与1＋x的范围，再利用绝对值及对数函数的概念分类讨论两式差与0的大小关系，从而比较出大小．解∵0x1，∴01－x1,1＋x1,01－x21.①当0a1时，loga(1－x)0，loga(1＋x)0，所以|loga(1－x)|－|loga(1＋x)|＝loga(1－x)－[－loga(1＋x)]＝loga(1－x2)0；②当a1时，loga(1－x)0，loga(1＋x)0，所以|loga(1－x)|－|loga(1＋x)|＝－loga(1－x)－loga(1＋x)＝－loga(1－x2)0.由①、②可知，|loga(1－x)||loga(1＋x)|.探究提高本题是由对数函数的概念内涵引发的分类讨论．由概念内涵分类的还有很多，如绝对值：|a|的定义分a0、a＝0、a0三种情况；直线的斜率`：倾斜角θ≠90°，斜率k存在；倾斜角θ＝90°，斜率不存在；指数、对数函数：y＝ax(a0且a≠1)与y＝logax(a0且a≠1)，可分为a1,0a1两种类型；直线的截距式：直线过原点时为y＝kx，不过原点时为xa＋yb＝1等．变式训练1已知点A(－1,1)，B(1,1)，点P是直线y＝x－2上一点，当△PAB是直角三角形时，求点P坐标及三角形的面积．解可设P(m，m－2)．(1)当∠B＝90°时，kAB＝0，由PB⊥AB，可知PB的斜率不存在．故PB与x轴垂直，从而P(1，－1)．易得|AB|＝2，|PB|＝2，则S△PAB＝12|AB|·|PB|＝2.(2)当∠A＝90°时，仿(1)知PA与x轴垂直，得P(－1，－3)．此时|AB|＝2，|PA|＝4，则S△PAB＝12|AB|·|PA|＝4.(3)当∠P＝90°时，由PA⊥PB，有m－3m＋1·m－3m－1＝－1，化简得m2－3m＋4＝0.但Δ＝9－16＝－70，该方程无解．因此点P不存在．综上，当点P坐标为(1，－1)时，Rt△PAB的面积为2；当点P坐标为(－1，－3)时，Rt△PAB的面积为4.题型二根据公式、定理、性质的条件分类讨论例2设等比数列{an}的公比为q，前n项和Sn0(n＝1,2,3，…)．(1)求q的取值范围；(2)设bn＝an＋2－32an＋1，记{bn}的前n项和为Tn，试比较Sn与Tn的大小．思维启迪(1)根据条件列出关于q的不等式，注意分类讨论．(2)能否判断{bn}为特殊数列进而求和作差、作商比较大小．解(1)∵{an}是等比数列，Sn0，可得a1＝S10，q≠0，当q＝1时，Sn＝na10；当q≠1时，Sn＝a1(1－qn)1－q0，即1－qn1－q0(n＝1,2,3，…)，上式等价于①1－q01－qn0(n＝1,2,3，…)或②1－q01－qn0(n＝1,2,3，…)，解①式得q1；解②式，由于n可为奇数、可为偶数，故－1q1.综上，q的取值范围是(－1,0)∪(0，＋∞)．(2)由bn＝an＋2－32an＋1，得bn＝anq2－32q，Tn＝q2－32qSn，于是Tn－Sn＝Snq2－32q－1＝Snq＋12(q－2)．又因为Sn0且－1q0或q0，所以当－1q－12或q2时，Tn－Sn0，即TnSn；当－12q2且q≠0时，Tn－Sn0，即TnSn；当q＝－12或q＝2时，Tn－Sn＝0，即Tn＝Sn.探究提高本题以等比数列为载体，涉及了分类讨论和大小比较的问题，综合性较强，应用了不等式的解法和比较大小的基本方法——作差比较法．同时含有字母q，一般要进行分类讨论，要特别注意等比数列求和公式在应用时一定要分q＝1和q≠1讨论.变式训练2已知在等比数列{an}中，a1＝1，Sn是其前n项的和，且ak＋1，ak＋3，ak＋2(k∈N)成等差数列．(1)求数列{an}的公比；(2)试判断Sk＋1，Sk＋3，Sk＋2(k∈N)是否也构成等差数列，说明理由．解(1)设等比数列{an}的公比为q(q≠0)，则ak＋1＝qk，ak＋3＝qk＋2，ak＋2＝qk＋1.依题意得2qk＋2＝qk＋qk＋1，由于qk≠0，所以2q2－q－1＝0，解得q＝1或q＝－12.(2)当q＝1时，Sk＋1＝(k＋1)a1＝k＋1，Sk＋3＝k＋3，Sk＋2＝k＋2，显然Sk＋1＋Sk＋2＝k＋1＋k＋2＝2k＋3≠2Sk＋3，故Sk＋1，Sk＋3，Sk＋2不能构成等差数列；当q＝－12时，Sk＋1＝1－－12k＋11－－12＝231－－12k＋1，同理可得Sk＋2＝231－－12k＋2，Sk＋3＝231－－12k＋3，于是Sk＋1＋Sk＋2＝231－－12k＋1＋231－－12k＋2＝232－－12k＋1－－12k＋2＝431－－12k＋3＝2Sk＋3，所以Sk＋1，Sk＋3，Sk＋2能构成等差数列．综上所述：当q＝1时，Sk＋1，Sk＋3，Sk＋2不能构成等差数列；当q＝－12时，Sk＋1，Sk＋3，Sk＋2能构成等差数列．题型三根据变量或参数的取值情况分类讨论例3设A＝{x|－2≤x≤a}，B＝{y|y＝2x＋3，且x∈A}，C＝{z|z＝x2，且x∈A}，若C⊆B，求实数a的取值范围．思维启迪对a进行分类讨论，注意到a－2时，A＝∅；其次按z＝x2的单调区间[－2,0)，[0,2]，(2，＋∞)上分别讨论．解∵y＝2x＋3在[－2，a]上是增函数，∴－1≤y≤2a＋3，即B＝{y|－1≤y≤2a＋3}．作出z＝x2的图象，该函数定义域右端点x＝a有三种不同的位置情况如下：①当－2≤a0时，a2≤z≤4，即C＝{z|a2≤z≤4}，要使C⊆B，由图1可知，则必须2a＋3≥4，得a≥12，这与－2≤a0矛盾．②当0≤a≤2时，0≤z≤4，即C＝{z|0≤z≤4}，要使C⊆B，由图2可知，必须2a＋3≥4，0≤a≤2，解得12≤a≤2.③当a2时，0≤z≤a2，即C＝{z|0≤z≤a2}，要使C⊆B，由图3可知，必须且只需a2≤2a＋3，a2，解得2a≤3.④当a－2时，A＝∅，此时B＝C＝∅，则C⊆B成立．综上所述，a的取值范围是(－∞，－2)∪[12，3]．探究提高含有参数的问题，主要包括：(1)含有参数的不等式的求解；(2)含有参数的方程的求解；(3)函数解析式中含参数的最值与单调性问题；(4)二元二次方程表示曲线类型的判定等．求解时，要结合参数的意义，对参数的不同取值或不同取值范围进行分类讨论，分类要合理，要不重不漏，要符合最简原则．变式训练3已知方程mx2＋2y2＝m＋1(m∈R)，对于不同范围的m值，请分别指出方程所表示的图形．解(1)当m＝0时，方程为2y2＝1，即y＝±22，图形为两条平行直线；(2)当m＝－1时，方程为－x2＋2y2＝0，即y＝±22x，图形为两条相交直线；(3)当m≠0且m≠－1时，方程化为x2m＋1m＋y2m＋12＝1.①当m－1时，m＋1m0，m＋120，图形为焦点在x轴上的双曲线；②当－1m0时，m＋1m0，m＋120，图形为焦点在y轴上的双曲线；③当0m2时，0m＋12m＋1m，图形为焦点在x轴上的椭圆；④当m＝2时，方程为x2＋y2＝32，图形为圆心在原点，半径为62的圆；⑤当m2时，0m＋1mm＋12，图形为焦点在y轴上的椭圆．题型四根据图形位置或形状变化分类讨论例4在△ABC中，设=（2，3），=（1,k），若△ABC是直角三角形，求k的值.思维启迪ABAC根据题意→按∠A、∠B、∠C分别为直角分类→整合得结果解因为△ABC是直角三角形，所以当∠A=90°，则于是2×1＋3×k＝0，得k＝－23.当∠B=90°，则又(－1，k－3)，故2×(－1)＋3(k－3)＝0，得k＝113.当∠C=90°，则故1×(－1)＋k(k－3)＝0得k＝3±132.综上所求k的值为－23或113或3±132.ACABBCABABACBC,BCAC探究提高一般由图形的位置或形状变动引发的讨论包括：二次函数对称轴位置的变动；函数问题中区间的变动；