专题七 第4讲 转化与化归思想

第4讲转化与化归思想感悟高考明确考向(2009·辽宁)正六棱锥P—ABCDEF中，G为PB的中点，则三棱锥D—GAC与三棱锥P—GAC体积之比为()A．1∶1B．1∶2C．2∶1D．3∶2解析如图，设棱锥的高为h，VD－GAC＝VG－DAC＝13S△ADC·12h，VP—GAC＝12VP—ABC＝VG—ABC＝13S△ABC·h2.又S△ADC∶S△ABC＝2∶1，故VD—GAC∶VP—GAC＝2∶1.C考题分析本题以几何体为背景，考查三棱锥体积公式的灵活运用，考查考生将体积之比转化为底面积之比或高之比的转化与化归的能力．此题考查的重点是等价转化的数学思想方法在解决问题中的应用．易错提醒(1)找不到转化问题的方法，即不能入手．(2)“换顶点”后，两三棱锥的关系不清．思想方法概述转化与化归思想方法，就是在研究和解决有关数学问题时采用某种手段将问题通过变换使之转化，进而得到解决的一种方法．一般总是将复杂的问题通过变换转化为简单的问题，将难解的问题通过变换转化为容易求解的问题，将未解决的问题通过变换转化为已解决的问题．转化与化归思想在高考中占有十分重要的地位，数学问题的解决，总离不开转化与化归，如未知向已知的转化、新知识向旧知识的转化、复杂问题向简单问题的转化、不同数学问题之间的互相转化、实际问题向数学问题转化等．各种变换、具体解题方法都是转化的手段，转化的思想方法渗透到所有的数学教学内容和解题过程中．1．转化与化归的原则(1)熟悉化原则：将陌生的问题转化为熟悉的问题，以利于我们运用熟知的知识、经验来解决．(2)简单化原则：将复杂问题化归为简单问题，通过对简单问题的解决，达到解决复杂问题的目的，或获得某种解题的启示和依据．(3)直观化原则：将比较抽象的问题化为比较直观的问题来解决．(4)正难则反原则：当问题正面讨论遇到困难时，可考虑问题的反面，设法从问题的反面去探讨，使问题获解．2．常见的转化与化归的方法转化与化归思想方法用在研究、解决数学问题时，思维受阻或寻求简单方法或从一种状况转化到另一种情形，也就是转化到另一种情境使问题得到解决，这种转化是解决问题的有效策略，同时也是成功的思维方式．常见的转化方法有：(1)直接转化法：把原问题直接转化为基本定理、基本公式或基本图形问题．(2)换元法：运用“换元”把式子转化为有理式或使整式降幂等，把较复杂的函数、方程、不等式问题转化为易于解决的基本问题．(3)数形结合法：研究原问题中数量关系(解析式)与空间形式(图形)关系，通过互相变换获得转化途径．(4)等价转化法：把原问题转化为一个易于解决的等价命题，达到化归的目的．(5)特殊化方法：把原问题的形式向特殊化形式转化，并证明特殊化后的问题、结论适合原问题．(6)构造法：“构造”一个合适的数学模型，把问题变为易于解决的问题．(7)坐标法：以坐标系为工具，用计算方法解决几何问题是转化方法的一个重要途径．(8)类比法：运用类比推理，猜测问题的结论，易于确定．(9)参数法：引进参数，使原问题转化为熟悉的形式进行解决．(10)补集法：如果正面解决原问题有困难，可把原问题的结果看做集合A，而把包含该问题的整体问题的结果类比为全集U，通过解决全集U及补集∁UA获得原问题的解决，体现了正难则反的原则．3．转化与化归的指导思想(1)把什么问题进行转化，即化归对象．(2)化归到何处去，即化归目标．(3)如何进行化归，即化归方法．化归与转化思想是一切数学思想方法的核心．热点分类突破题型一函数、方程与不等式之间的转化与化归例1设函数f(x)＝13x3－(1＋a)x2＋4ax＋24a，其中常数a1.(1)讨论f(x)的单调性；(2)若当x≥0时，f(x)0恒成立，求a的取值范围．思维启迪(1)求f′(x)＝0的根，比较两根的大小、确定区间，讨论f(x)的单调性；(2)将f(x)0恒成立转化为f(x)的最小值大于0.解(1)f′(x)＝x2－2(1＋a)x＋4a＝(x－2)(x－2a)．由已知a1，∴2a2，∴令f′(x)0，解得x2a或x2，∴当x∈(－∞，2)和x∈(2a，＋∞)时，f(x)单调递增，当x∈(2,2a)时，f(x)单调递减．综上，当a1时，f(x)在区间(－∞，2)和(2a，＋∞)是增函数，在区间(2,2a)是减函数．(2)由(1)知，当x≥0时，f(x)在x＝2a或x＝0处取得最小值．f(2a)＝13(2a)3－(1＋a)(2a)2＋4a·2a＋24a＝－43a3＋4a2＋24a＝－43a(a－6)(a＋3)，f(0)＝24a.由题设知a1，f(2a)0，f(0)0，即a1，－43a(a＋3)(a－6)0，24a0，解得1a6.故a的取值范围是(1,6)．探究提高函数、方程与不等式就像“一胞三兄弟”，解决方程、不等式的问题需要函数帮助，解决函数的问题需要方程、不等式的帮助，因此借助于函数、方程、不等式进行转化与化归可以将问题化繁为简，一般可将不等关系转化为最值(值域)问题，从而求出参变量的范围．变式训练1已知函数f(x)＝log4(4x＋1)＋2kx(k∈R)是偶函数，(1)求k的值；(2)若方程f(x)＝m有解，求m的取值范围．解(1)∵f(x)是偶函数，∴f(－x)＝f(x)，∴log4(4－x＋1)－2kx＝log4(4x＋1)＋2kx，∴log44－x＋14x＋1＝4kx，∴log414x＝4kx，∴－x＝4kx，即(4k＋1)x＝0恒成立，∴k＝－14.(2)由(1)知f(x)＝log4(4x＋1)－12x是偶函数．∵f(x)在[0，＋∞)上是增函数，∴f(x)≥f(0)＝log42＝12.∴f(x)的值域为[12，＋∞)，若方程f(x)＝m有解，则m∈[12，＋∞)，∴m的取值范围为[12，＋∞)．题型二正难则反的转化与化归例2已知三条抛物线：y＝x2＋4ax－4a＋3，y＝x2＋(a－1)x＋a2，y＝x2＋2ax－2a中至少有一条与x轴相交，求实数a的取值范围．思维启迪三条抛物线中至少有一条与x轴相交的情况比较多，反面为三条抛物线与x轴都不相交，只有一种情况．解令y＝0，由Δ1＝(4a)2－4(3－4a)0Δ2＝(a－1)2－4a20Δ3＝(2a)2＋8a0，解得－32a－1，∴满足题意的a的取值范围是a≤－32或a≥－1.探究提高本题若从正面讨论则需分类讨论求解，繁不堪言，但从其反面“三条抛物线都不与x轴相交”着手，求出a的取值范围，再求其补集，则使问题简单得多了．一个题目若出现多种成立的情况，则不成立的情况一般较少，易从反面考虑，在排列组合中有较多这样的问题．变式训练2已知集合A＝{y|y2－(a2＋a＋1)y＋a(a2＋1)0}，B＝{y|y2－6y＋8≤0}，若A∩B≠∅，则实数a的取值范围为__________________．解析由题意得A＝{y|ya2＋1或ya}，B＝{y|2≤y≤4}，我们不妨先考虑当A∩B＝∅时a的取值范围．如图：由a≤2a2＋1≥4得a≤2a≥3或a≤－3，∴a≤－3或3≤a≤2.即A∩B＝∅时，a的取值范围为a≤－3或3≤a≤2.而A∩B≠∅时，a的取值范围显然是其补集，从而所求范围为{a|a2或－3a3}．答案{a|a2或－3a3}题型三以换元为手段的转化与化归例3已知a∈R，求函数y＝(a－sinx)(a－cosx)的最小值．思维启迪本题考查函数的最值问题、化归思想及运算能力．观察到等式右边是关于sinx·cosx与sinx＋cosx的三角式，可设t＝sinx＋cosx，则原问题可转化为二次函数在闭区间上的最值问题．解函数可化为y＝sinx·cosx－a(sinx＋cosx)＋a2.设t＝sinx＋cosx，则t＝2sinx＋π4，故t∈[－2，2]．而sinx·cosx＝12[(sinx＋cosx)2－1]＝12(t2－1)，于是，y＝f(t)＝a2－at＋12(t2－1)＝12t2－at＋a2－12＝12(t－a)2＋12a2－12.原问题化归为求二次函数f(t)＝12(t－a)2＋12a2－12在t∈[－2，2]上的最值问题．(1)当－2≤a≤2时，若t＝a，f(t)min＝12a2－12；(2)当a＞2时，f(t)在[－2，2]上单调递减，f(t)min＝f(2)＝a2－2a＋12；(3)当a＜－2时，f(x)在[－2，2]上单调递增．f(t)min＝f(－2)＝a2＋2a＋12.探究提高此类问题换元后将问题化为熟知的二次函数问题，这种做法常被采用，在一个代数式中若sinx·cosx与sinx＋cosx同时出现时，常设t＝sinx＋cosx进而表示出sinx·cosx，原式转化为含有t的代数式进行求解，使问题顺利解决．变式训练3已知奇函数f(x)的定义域为实数集R，且f(x)在[0，＋∞)上是增函数，当0≤θ≤π2时，是否存在这样的实数m，使f(cos2θ－3)＋f(4m－2mcosθ)f(0)对所有的θ∈0，π2均成立？若存在，求出所有适合条件的实数m；若不存在，请说明理由．解因为f(x)在R上为奇函数，又在[0，＋∞)上是增函数，故f(x)在R上为增函数，且f(0)＝0.由题设条件可得，f(cos2θ－3)＋f(4m－2mcosθ)0.又由f(x)为奇函数，可得f(cos2θ－3)f(2mcosθ－4m)．∵f(x)在R上为增函数，∴cos2θ－32mcosθ－4m，即cos2θ－mcosθ＋2m－20.令cosθ＝t，∵0≤θ≤π2，∴0≤t≤1.于是问题转化为对一切0≤t≤1，不等式t2－mt＋2m－20恒成立．∴t2－2m(t－2)，即mt2－2t－2恒成立．又∵t2－2t－2＝(t－2)＋2t－2＋4≤4－22，∴m4－22，∴存在实数m满足题设的条件，m4－22.规律方法总结在将问题进行化归与转化时，一般应遵循以下几种原则：(1)熟悉化原则：将陌生的问题转化为我们熟悉的问题．(2)简单化原则：将复杂的问题通过变换转化为简单的问题．(3)直观化原则：将较抽象的问题转化为比较直观的问题(如数形结合思想，立体几何问题向平面几何问题转化)．(4)正难则反原则：若问题直接求解困难时，可考虑运用反证法或补集法或用逆否命题间接地解决问题.知能提升演练一、选择题1．(2010·湖南)若非零向量a，b满足|a|＝|b|，(2a＋b)·b＝0，则a与b的夹角为()A．30°B．60°C．120°D．150°解析由(2a＋b)·b＝0，得2a·b＋b2＝0，设a与b的夹角为θ，∴2|a||b|cosθ＋|b|2＝0.∴cosθ＝－|b|22|a||b|＝－|b|22|b|2＝－12，又0°≤θ≤180°，∴θ＝120°.C2．在等比数列{an}中，a1＝a，前n项和为Sn，若数列{an＋1}成等差数列，则Sn等于()A．an＋1－aB．n(a＋1)C．naD．(a＋1)n－1解析利用常数列判断a，a，a，…，则存在等差数列a＋1，a＋1，a＋1，…或通过下列运算得到：2(aq＋1)＝(a＋1)＋(aq2＋1)，q＝1，Sn＝na.C3．方程sin2x＋cosx＋k＝0有解，则k的取值范围是()A．－1≤k≤54B．－54≤k≤0C．0≤k≤54D．－54≤k≤1解析求k＝－sin2x－cosx的值域．k＝cos2x－cosx－1＝(cosx－12)2－54.当cosx＝12时，kmin＝－54，当cosx＝－1时，kmax＝1，∴－54≤k≤1，故选D.D4．(2010·安徽)设则a，b，c的大小关系是()A．acbB．abcC．cabD．bca解析∵y＝x52在x∈(0，＋∞)递增．∴即ac.∵y＝(25)x在x∈(－∞，＋∞)递减，∴.即cb，∴acb.选A.A,)52(,)5(.)53(525352cba,)52()53(52525352)52()52(5．若不等式ax－1