第九章-《图形的相似》复习课

1、了解比例的基本性质，黄金分割；2、通过具体实例认识图形的相似，探索相似图形的性质，知道相似多边形的对应角相等，对应边成比例，面积的比等于相似比的平方；3、了解两个三角形相似的概念，探索两个三角形相似的条件；4、了解图形的位似，能够利用位似将一个图形放大或缩小；5、通过典型实例观察和认识现实生活中物体的相似，利用图形的相似解决一些实际问题；6、从微观的角度去研究相似，用坐标来说明这种基本变换。知识要点：相似图形定义性质相似三角形定义判定性质应用画法坐标AASASSSS定义对应边成比例对应角相等影子平面镜位似图形平移旋转轴对称相似等基本变换在坐标的反映生活中我们会碰到许多这样形状相同的．大小不一定相同的图形，在数学上，我们把具有相同形状的图形称为：相似形对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的长度的比与另两条线段的长度的比相，即=，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段（proportionalsegments）abcdad=bcb2=acab=cdab=bc(1)比例基本性质dbca...APB点B把线段AC分成两部分,如果那么称线段AC被点B黄金分割,点P为线段AB的黄金分割点,AP与AB的比值约为0.618,这个比值称为黄金比.PBAPAPAB=思考:如何应用二次方程的知识求出黄金比的数值?1．若a:3=b:7,则(a+3b):2b=；2．若a=2，b=6，c=4，且a，b，c，d成比例，则d=；34若x:4=y:5=z:6,且3x+2y+z=56,则x为（）A8B10C12D16457xyzyzx如果；则相似三角形的判定（1）如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似。（2）如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似。（3）如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。相似三角形的性质（1）对应边成比例，对应角相等（2）相似三角形的周长比等于相似比（3）相似三角形的面积比等于相似比的平方（4）相似三角形的对应边上的高、中线、角平分线的比等于相似比一.填空、选择题:1、如图，DE∥BC,AD:DB=2:3,则△AED和△ABC的相似比为＿＿＿.ABCDE2:552cm2、已知三角形甲各边的比为3:4:6，和它相似的三角形乙的最大边为10cm，则三角形乙的最短边为______cm.3、等腰三角形ABC的腰长为18cm，底边长为6cm,在腰AC上取点D,使△ABC∽△BDC,则DC=______.4.如图，△ADE∽△ACB,则DE:BC=_____。5.如图，D是△ABC一边BC上一点，连接AD,使△ABC∽△DBA的条件是（）.A.AC:BC=AD:BDB.AC:BC=AB:ADC.AB2=CD·BCD.AB2=BD·BC6.D、E分别为△ABC的AB、AC上的点，且DE∥BC，∠DCB=∠A，把每两个相似的三角形称为一组，那么图中共有相似三角形_______组。DACBACBDE27331:3D4ABEDC7.下列命题正确的是（）A.有一角相等且有两边对应成比例的两个三角形相似。B.△ABC的三边长为3，4，5.△A’B’C’的三边为a+3,a+4,a+5.则△ABC∽△A’B’C’。C.若两个三角形相似，且有一对边相等，则它们的相似比为1.D.都有一内角为100°的两个等腰三角形相似。D二、证明题：1.D为△ABC中AB边上一点，∠ACD=∠ABC.求证：AC2=AD·AB.2.△ABC中,∠BAC是直角，过斜边中点M而垂直于斜边BC的直线交CA的延长线于E，交AB于D，连AM.求证：①△MAD∽△MEA②AM2=MD·MEEABCDMABCD相似三角形的应用：１、利用三角形相似，可证明角相等；线段成比例（或等积式）；２、利用三角形相似，求线段的长等3、利用三角形相似，可以解决一些不能直接测量的物体的长度。如求河的宽度、求建筑物的高度等。做一做3、如图，王华在晚上由路灯A走向路灯B，当他走到点P时，发现身后他影子的顶部刚好接触到路灯A的底部，当他向前再行12m到达点Q时，发现身前他影子的顶部刚好接触到路灯B的底部。已知王华的身高是1.6m，两个路灯的高度都是9.6m，且AP=QB=xm。（1）求两个路灯之间的距离；（2）当王华走到路灯B时，他在路灯A下的影长是多少？APQB解：xx121.69.6（1）由题得：x2x+12=1.69.6解得：x=3m∴两个路灯之间的距离是18m做一做（2）当王华走到路灯B时，他在路灯A下的影长是多少？解：1.69.618y设他的影子长为ym，则由题得：y18+y=1.69.6解得y=3.6m∴他的影子长为3.6m？AB做一做4、教学楼旁边有一颗树，学习了相似三角形后，数学兴趣小组的同学们想利用树影测量树高。课外活动时在阳光下他们测得一根长为1m的竹竿的影长是0.9m，但当他们马上测量树高时，发现树的影子不全落在地面上，有一部分落在教学楼的墙壁上（如图），经过一番争论，小组同学认为继续测量也可以求出树高。他们测得落在地面的影长2.7m，落在墙壁上的影长1.2m，请你和他们一起算一下，树高为多少？DBACEHFG解：首先在图上标上字母，过点C作CE⊥AB，垂足为E根据题意，可得：△AEC∽△FGH2.7m2.7m1.2m1.2m1m0.9AEFG=CEHGAE1=2.70.9AE=3m∴树高AB=3+1.2=4.2m5、如图，已知：AB⊥DB于点B，CD⊥DB于点D，AB=6，CD=4，BD=14.问：在DB上是否存在P点，使以C、D、P为顶点的三角形与以P、B、A为顶点的三角形相似？如果存在，计算出点P的位置；如果不存在，请说明理由。4614ADCB解（1）假设存在这样的点P，使△ABP∽△CDP设PD=x，则PB=14―x，∴6：4=（14―x）:x则有AB:CD=PB:PD∴x=5.6P6x14―x4ADCBP（2）假设存在这样的点P,使△ABP∽△PDC,则则有AB:PD=PB:CD设PD=x，则PB=14―x，∴6：x=（14―x）:4∴x=2或x=12∴x=2或x=12或x=5.6时，以C、D、P为顶点的三角形与以P、B、A为顶点的三角形相似46x14―xDBCAp分析：由于∆PBQ与∆ABC有公共角∠B；所以若∆PBQ与∆ABC相似，则有两种可能一种情况为,即PQ∥AC;另一种情况为CBQBABPBABQBCBPBBCAQP8162cm/秒4cm/秒巩固提高：在∆ABC中，AB=8cm,BC=16cm,点P从点A开始沿AB边向B点以2cm/秒的速度移动，点Q从点B开始沿BC向点C以4cm/秒的速度移动，如果P、Q分别从A、B同时出发，经几秒钟∆BPQ与∆BAC相似？如果两个图形不仅是相似图形，而且是每组对应点所在的直线都经过同一个点，那么这样的两个图形叫做位似图形。这个点叫做位似中心.这时的相似比又称为位似比.性质：位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比位似图形知识回顾1．任取一点O；2．以点O为端点作射线OA、OB、OC、…；3．分别在射线OA、OB、OC、…上取点A’、B’、C’、…，使：OA’:OA=OB’:OB=OC’:OC=…=1.5;4．连接A’B’、B’C’、…，得到所要画的多边形A’B’C’D’E’.两图形中对应边有何关系？对应角呢?这两个多边形相似吗？相似比是多少？要画四边形ABCD的位似图形，还可以任取一点O，如图18.4.2，作直线OA、OB、OC、OD，在点O的另一侧取点A′、B′、C′、D′，使OA′∶OA＝OB′∶OB＝OC′∶OC＝OD′∶OD＝2，也可以得到放大到2倍的四边形A′B′C′D′．图18.4.2观察下面三组图形，看看哪两个图形是位似图形，并指出位似图形的位似中心．1、已知：如图，三角形ABC中，D是AC的中点，AE‖BC，ED交AB于点F、ED的延长线与BC的延长线相交于点G,若BF:FA=3:1,BC=10,求AE的长。EABCGFD2、如图：在△ABC中，BA=BC=20cm，AC=30cm，点P从A点出发，沿AB以每秒4cm的速度向B点运动同时点Q从C点出发，沿CA以每秒3cm的速度向A点运动，设运动的时间为x（1）当x何值时，PQ‖BC？（2）当S△BCQ：S△ABC=1：3时，求S△BPQ：S△ABC（3）△APQ能否与△CQB相似？若能，求出AP的长，若不能，请说明理由。ABPQC