15高数第一章习题解答

1习题解答习题1.11．求下列函数的定义域：(1)1arcsin(1)ln1xyxx；解要使函数有定义，必须111101xxx，解之得01x，故函数的定义域为[0,1)．(2)1ln(ln)yx；解要使函数有定义，必须ln0ln1xx，解之得1x且ex，故函数的定义域为(1,e)(e,)．(3)2322yxxx；解要使函数有定义，必须232020xxx，解之得1x或2x，故函数的定义域为(,1]{2}．(4)1arccos1xyx；解要使函数有定义，必须111101xxxx，解之得1x，故函数的定义域为[1,)．(5)2sin()yx；解要使函数有定义，必须2sin()0x，即2sin()0x，解之得20,1,2,x，故函数的定义域为整数集Z．(6)210301xxyxx．解要使函数有定义，必须10x或01x，故函数的定义域为[1,0)(0,1)．2．判断下列各组中的两个函数是否相同，并说明理由：(1)211xyx，1yx；解这两个函数不同．因为它们的定义域不同，前者的定义域为(,1)(1,)，而后者的定义域为(,)．(2)1ln1xyx，ln(1)ln(1)yxx；解这两个函数不同．因为它们的定义域不同，前者的定义域为(,1)(1,)，而后者的定义域为(1,)．(3)343yxx，31yxx；解这两个函数相同．因为34331yxxxx，所以它们的定义域与对应法则均相同．(4)21sinyx，cosyx；解这两个函数不同．因为21sincosyxx，所以它们的对应法则不同．(5)exy，ets．解这两个函数相同．因为它们的定义域与对应法则均相同．3．下列函数哪些是奇函数？哪些是偶函数？哪些是非奇非偶函数？(1)cosesinxyxx；解因为cos()cos()esin()esin()xxyxxxxxyx，所以所给函数是偶函数．3(2)2ln1yxx；解因为2221()ln1lnln1()1yxxxxxyxxx，所以所给函数是奇函数．(3)2ln(1)yxx；解因为()()yxyx，且()()yxyx，所以所给函数是非奇非偶函数．(4)1ln1xyx；解因为11()lnln()11xxyxyxxx，所以所给函数是奇函数．(5)eexxy；解因为()eeee()xxxxyxyx，所以所给函数是偶函数．(6)1010xxyxx；解因为10101010()()10101010xxxxxxxxyxyxxxxxxxxx，所以所给函数是偶函数．(7)1010xxyxx；解因为()()yxyx，且()()yxyx，所以所给函数是非奇非偶函数．(8)100010xxyxxx．解因为410(1)0()0000()10(1)0xxxxyxxxyxxxxx，所以所给函数是奇函数．4．已知()fx是定义在[1,1]上的奇函数，当01x时，2()1fxxx，求()fx的表达式．解当10x时，01x，故22()()()()11fxfxxxxx．又由奇函数定义得(0)0f，于是，22110()00101xxxfxxxxx．5．已知()fx是定义在[1,1]上的偶函数，当10x时，3()1fxx，求()fx的表达式．解当01x时，10x，故33()()()11fxfxxx．于是，33110()101xxfxxx．6．设()fx是定义在(,)上的周期为1的周期函数，已知在[0,1)上，2()fxx，求()fx在闭区间[0,2]上的表达式．解当12x时，011x，故2()(1)(1)fxfxx．又(2)(0)0ff，于是，2201()(1)1202xxfxxxx．7．设()fx是定义在(,)上的周期为2的周期函数，且()fx是偶函数，已知5在[0,π]上，3()fxx，求()fx在闭区间[π,2π]上的表达式．解当[π,2π]x时，02ππx，故3()(2)(2)(2)fxfxfxx．8．求下列函数的反函数：(1)11xyx；解由11xyx得，11yxy．故所给函数的反函数为11xyx．(2)221xxy；解由221xxy得，2log1yxy．故所给函数的反函数为2log1xyx．(3)ln(2)1yx；解由ln(2)1yx得，1e2yx．故所给函数的反函数为1e2xy．(4)200xxyxx．解由200xxyxx得，00yyxyy．故所给函数的反函数为00xxyxx．9．设2211()fxxxx，求1()fx．解因为222111()()2fxxxxxx，故2()2fuu．于是，211()2fxx．10．设21()1fxxx，求()fx．6解令1tx，则1xt，故221111()1tfttttt．于是，211()xfxxx．11．设11()211xxfxxx，求(1)fx，(ln)fx及(sin)fx．解21120(1)2111210xxxxfxxxxx；ln1ln1ln1e(ln)2ln1ln12ln1exxxxfxxxxx；(sin)sin1fxx．12．设20(1)1020xxfxxxx，求(1)fx，2()fx及()xfe．解令1xt，则1xt，故2(1)1()112(1)1ttftttt．于是，2(2)2(1)122(2)2xxfxxxx；2222(1)1()112(1)1xxfxxxx；2(e1)0(e)102(e1)0xxxxfxx．13．设11()0111xfxxx，()exgx，求[()]fgx及[()]gfx．解1()11e1[()]0()10e11()11e1xxxgxfgxgxgx；7()1e1[()]e11e1fxxgfxxx．14．设1()1xexfxxx，220()10xxgxxx，求[()]fgx及[()]gfx．解22121210[()]0212xxexxxfgxexxx，2211[()]11xexgfxxx．15．设()lnfxx，2[()]ln2fxx，求()x．解因为2[()]ln()ln2fxxx，所以2()2exx16．已知()fx的定义域为(0,1]，求下列复合函数的定义域：(1)(ln)fx；(2)(e1)xf；(3)1133fxfx．解(1)函数(ln)fx的定义域为ln(0,1]1e(1,e]Dxxxx．(2)函数(ln)fx的定义域为e1(0,1]0ln2(0,ln2]xDxxx．(3)函数1133fxfx的定义域为11(0,1](0,1]33Dxxxx14123333xxxx12,33．17．指出下列复合函数是由哪些简单函数复合而成的：(1)3221yxx；解函数3221yxx由yu，3221uxx复合而成．8(2)2e1e1xxy；解函数2e1e1xxy由2yu，e1e1xxu复合而成．(3)21arcsinyx；解函数21arcsinyx由2yu，arcsinuv，1vx复合而成．(4)2sinexy；解函数2sinexy由uye，2uv，sinvw，wx复合而成．(5)2(sincos1)1yxx；解函数2(sincos1)1yxx由21yu，sincos1uxx复合而成．(6)2sinln(1)yx．解函数2sinln(1)yx由sinyu，uv，lnvw，21wx复合而成．习题1.21．观察下列数列的变化趋势，指出是收敛还是发散．如果收敛，写出其极限：(1)(1)nnxn；(2)121nnxn；(3)1sinnxnn；(4)[1(1)]1nnnxn；(5)22nnxn；(6)233nnnnx．解(1)收敛于0；(2)收敛于12；(3)收敛于0；(4)发散；(5)发散；(6)收敛于1．92．根据数列极限的定义证明：(1)21lim0nn；证对于任意给定的正数，要使210n，只要21n，即1n．于是，取正整数1N，则当Nn时，总有210n．据数列极限的定义，得21lim0nn．(2)313lim212nnn．证对于任意给定的正数，由于313521242nnn，故要使313212nn，只要542n，即524n．于是，取正整数524N，则当Nn时，总有313212nn．据数列极限的定义，得313lim212nnn．3．证明：lim0nnx当且仅当lim0nnx．证据数列极限的定义，lim0nnx对于任意给定的正数，存在正整数N，当Nn时，有0nx；lim0nnx对于任意给定的正数，存在正整数N，当Nn时，有0nx．由于00nnnxxx，故lim0nnx当且仅当lim0nnx．4．证明：若limnnxa，则limnnxa．10证由于()nnnxxaaxaa，()nnnnaaxxxax，所以nnxaxa因为limnnxa，所以据数列极限的定义，对于任意给定的正数，存在正整数N，当Nn时，有nxa，从而nxa．再据数列极限的定义，有limnnxa．5．对于数列{}nx，若21limkkxa，且2limkkxa，证明：limnnxa．证对于任意给定的正数，由21limkkxa知，存在正整数1K，当1kK时，有21kxa；由2limkkxa知，存在正整数2K，当2kK时，有2kxa；取12max21,2NKK，由当nN时，有nxa．因此，limnnxa．习题1.31．设e0()10xxfxxx，求lim()xfx及lim()xfx，并说明lim()xfx是否存在．解lim()lime0xxxfx，1lim()lim0xxfxx．因为lim()lim()0xxfxfx，所以lim()xfx存在，且lim()0xfx．2．设()