教研圆锥曲线一题多解

(2011广州二模)20．（本小题满分14分）已知双曲线C：222210xyabab和圆O：222xyb（其中原点O为圆心），过双曲线C上一点00,Pxy引圆O的两条切线，切点分别为A、B．（1）若双曲线C上存在点P，使得90APB，求双曲线离心率e的取值范围；（2）求直线AB的方程；（3）求三角形OAB面积的最大值．（2011广州一模）19.（本小题满分14分）已知直线2y上有一个动点Q,过点Q作直线1l垂直于x轴,动点P在1l上,且满足OPOQ(O为坐标原点),记点P的轨迹为C.(1)求曲线C的方程；(2)若直线2l是曲线C的一条切线,当点0,2到直线2l的距离最短时,求直线2l的方程.（2011广州调研）19．（本小题满分14分）已知椭圆222:133xyEaa的离心率12e.直线xt（0t）与曲线E交于不同的两点,MN,以线段MN为直径作圆C,圆心为C．(1)求椭圆E的方程；(2)若圆C与y轴相交于不同的两点,AB，求ABC的面积的最大值.(2011佛山二模)19．（本题满分14分）（第一问5分，第二问9分）已知椭圆2222:1(0)xyCabab过点(0,1)，且离心率为32.（1）求椭圆C的方程；（2）,AB为椭圆C的左右顶点，点P是椭圆C上异于,AB的动点，直线,APBP分别交直线:22lx于,EF两点.证明：以线段EF为直径的圆恒过x轴上的定点.2012届广州市高三调研：设椭圆222:12xyMa2a的右焦点为1F，直线2:22aaxl与x轴交于点A，若112OFAF0（其中O为坐标原点）．（1）求椭圆M的方程；设P是椭圆M上的任意一点，EF为圆12:22yxN的任意一条直径（E、F为直径的两个端点），求PFPE的最大值．答案1、解：（1）因为0ab，所以1ba，所以2221cabbeaaa2．……1分由90APB及圆的性质，可知四边形PAOB是正方形，所以2OPb．因为2OPba，所以22ba，所以2221cabbeaaa62．3分故双曲线离心率e的取值范围为6,22．…………………………………………4分（2）方法1：因为22222200PAOPOAxyb，所以以点P为圆心，PA为半径的圆P的方程为222220000xxyyxyb．………5分因为圆O与圆P两圆的公共弦所在的直线即为直线AB，……………………………6分所以联立方程组222222220000,.xybxxyyxyb………………………………7分消去2x，2y，即得直线AB的方程为200xxyyb．………………………………8分方法2：设11,Axy22,Bxy，已知点00,Pxy，则PAk0101yyxx，11OAykx101,0xxx其中．因为PAOA，所以1PAOAkk，即0110111yyyxxx．……………………………5分整理得22010111xxyyxy．因为22211xyb，所以20101xxyyb．……………………………………………6分因为OAOB，PAPB，根据平面几何知识可知，ABOP．因为00OPykx，所以00ABxky．……………………………………………………7分所以直线AB方程为0110xyyxxy．即000101xxyyxxyy．所以直线AB的方程为200xxyyb．…………………………………………………8分方法3：设1122,,,AxyBxy，已知点00,Pxy，则PAk0101yyxx，11OAykx101,0xxx其中．因为PAOA，所以1PAOAkk，即0110111yyyxxx．……………………………5分整理得22010111xxyyxy．因为22211xyb，所以20101xxyyb．……6分这说明点A在直线200xxyyb上．…………7分同理点B也在直线200xxyyb上．所以200xxyyb就是直线AB的方程．……8分（3）由（2）知，直线AB的方程为200xxyyb，所以点O到直线AB的距离为22200bdxy．因为22242002222220000222bxybbABOAdbxyxy，所以三角形OAB的面积322200220012bxybSABdxy．……………………………………10分以下给出求三角形OAB的面积S的三种方法：方法1：因为点00,Pxy在双曲线22221xyab上，所以2200221xyab，即22222002bxabya220xa．xyOPAB设22222222000212btxybxbaba，所以322btStb．…………………………………………………………………………11分因为3222btbtbStb，所以当0tb时，0S，当tb时，0S．所以322btStb在0,b上单调递增，在,b上单调递减．……………………12分当22abb，即2bab时，322212bbSbbb最大值，……………………13分当22abb，即2ab时，32232222222babbabSaabb最大值．综上可知，当2bab时，212Sb最大值；当2ab时，3222babSa最大值．………14分方法2：设22200txyb，则33222btbSbtbtt．……………………………11分因为点00,Pxy在双曲线22221xyab上，即2200221xyab，即22222002bxabya220xa．所以22222222000212btxybxbaba．令2bgttt，则2221tbtbbgttt．所以当0tb时，0gt，当tb时，0gt．所以2bgttt在0,b上单调递减，在,b上单调递增．……………………12分当22abb，即2bab时，32212bSbbbb最大值，……………………13分当22abb，即2ab时，3322222222bbabSbaabab最大值综上可知，当2bab时，212Sb最大值；当2ab时，3222babSa最大值．………14分方法3：设2200txy，则2323211btbSbbttt．…………………11分因为点00,Pxy在双曲线22221xyab上，即2200221xyab，即22222002bxabya220xa．所以22222200021btxyxbaa．令2222221124gubuububb，所以gu在21,2b上单调递增，在21,2b上单调递减．…………………12分因为ta，所以2110,uta，当22112ba，即2bab时，22max1124gugbb，此时321122Sbbb最大值．…………13分当22112ba，即2ab时，2224max1abgugaa，此时3222babSa最大值．综上可知，当2bab时，212Sb最大值；当2ab时，3222babSa最大值．………14分2、19．（本小题满分14分）(本小题主要考查求曲线的轨迹方程、点到直线的距离、曲线的切线等知识,考查数形结合、化归与转化、函数与方程的数学思想方法，以及推理论证能力、运算求解能力和创新意识)(1)解:设点P的坐标为,xy,则点Q的坐标为,2x.∵OPOQ,∴1OPOQkk.当0x时,得21yxx,化简得22xy.……2分当0x时,P、O、Q三点共线，不符合题意，故0x.∴曲线C的方程为22xy0x.……4分(2)解法1:∵直线2l与曲线C相切,∴直线2l的斜率存在.设直线2l的方程为ykxb,……5分由2,2,ykxbxy得2220xkxb.∵直线2l与曲线C相切,∴2480kb,即22kb.……6分点0,2到直线2l的距离221bdk224121kk……7分2213121kk……8分22132121kk……9分3.……10分当且仅当22311kk，即2k时，等号成立.此时1b.……12分∴直线2l的方程为210xy或210xy.……14分解法2：由22xy，得'yx，……5分∵直线2l与曲线C相切,设切点M的坐标为11,xy，其中21112yx，则直线2l的方程为：111yyxxx，化简得211102xxyx.……6分点0,2到直线2l的距离21211221xdx21214121xx……7分212113121xx……8分2121132121xx……9分3.……10分当且仅当2121311xx，即12x时，等号成立.……12分∴直线2l的方程为210xy或210xy.……14分解法3：由22xy，得'yx，……5分∵直线2l与曲线C相切,设切点M的坐标为11,xy，其中211102yx，则直线2l的方程为：111yyxxx，化简得110xxyy.……6分点0,2到直线2l的距离12121ydx11221yy……7分111321221yy……8分1113221221yy……9分3.……10分当且仅当1132121yy，即11y时，等号成立,此时12x.……12分∴直线2l的方程为210xy或210xy.……14分3、19．（本小题满分14分）(本小题主要考查椭圆、圆、直线与圆的位置关系等知识,考查数形结合、化归与转化、函数与方程的数学思想方法，以及推理论证能力、运算求解能力和创新意识)（1）解：∵椭圆222:133xyEaa的离心率12e,∴2312aa.……2分解得2a.∴椭圆E的方程为22143xy．……4分（2）解法1：依题意，圆心为(,0)(02)Ctt．由22,1,43xtxy得221234ty.∴圆C的半径为21232tr．……6分∵圆C与y轴相交于不同的两点,AB，且圆心C到y轴的距离dt，∴212302tt，即22107t．∴弦长22222123||221274tABrdtt．……8分∴ABC的面积211272Stt……9分21712727tt2271271227tt377.……12分当且仅当27127tt，即427t时，等号成立.∴ABC的面积的最大值为377．……14分解法2：依题意，圆心为(,0)(02)Ctt．由22,1,43xtxy得221234ty.∴圆C的半径为21232tr．……6分∴圆C的方程为222123()4txty．∵圆C与y轴相交于不同的两点,AB，且圆心C到y轴的距离dt，∴212302tt，即22107t．在圆C的方程222123()4txty中，令0x，得21272ty，∴弦长2||127ABt