第3章--工业机器人的运动学和动力学

第3章工业机器人的运动学和动力学教学目标1.理解工业机器人的位姿描述和齐次变换2.掌握齐次坐标和齐次变换矩阵的运算3.理解连杆参数、连杆变换和运动学方程的求解4.了解研究动力学的内容及方法，理解速度和力雅可比矩阵《工业机器人技术与应用》（机械工业出版社“十三五”规划教材屈金星主编）目录页PAGEOFCONTENT3.1工业机器人的运动学3.2工业机器人的动力学工业机器人的运动学3.1机器人运动学主要是把机器人的空间位姿解析地表示为时间或者关节变量的函数，特别是要研究关节变量空间和机器人末端执行器位置和姿态之间的关系。常见的机器人运动学问题可归纳如下：1.对一给定的机器人，已知杆件几何参数和关节角矢量求机器人末端执行器相对于参考坐标系的位置和姿态。（运动学正问题）2.已知机器人杆件的几何参数，给定机器人末端执行器相对于参考坐标系的期望位置和姿态（位姿），机器人能否使其末端执行器达到这个预期的位姿？如能达到，那么机器人有几种不同形态可满足同样的条件？（运动学逆问题）工业机器人的运动学3.1一、工业机器人位姿描述1.点的位置描述在选定的直角坐标系{A}中，空间任一点P的位置可用(3×1)列阵（或称三维列向量）表示，其左上标代表选定的参考坐标系。zyxApppPPA工业机器人的运动学3.1一、工业机器人位姿描述2.点的齐次坐标用四个数组成(4×1)列阵（或称四维列向量）表示三维空间直角坐标系{A}中点P，则该列阵称为三维空间点P的齐次坐标1zyxpppPTTzyxcbapppP1工业机器人的运动学3.1一、工业机器人位姿描述3.坐标轴方向的描述i、j、k分别是直角坐标系中X、Y、Z坐标轴的单位矢量。若用齐次坐标来描述X、Y、Z轴，则定义下面三个(4×1)列阵分别为单位矢量i、j、k（即X、Y、Z坐标轴）的方向列阵。i＝[1000]Tj＝[0100]Tk＝[0010]T矢量v的单位矢量h的方向列阵为：h＝[abc0]T＝[coscoscos0]T工业机器人的运动学3.1一、工业机器人位姿描述综上所述，可得出以下结论：（1）(4×1)列阵[abcw]T中第四个元素不为零，则表示空间某点的位置；（2）(4×1)列阵[abc0]T中第四个元素为零，且a2+b2+c2＝1，则表示某个坐标轴(或某个矢量)的方向，[abc0]T称为该矢量的方向列阵。表示坐标原点的(4×1)列阵定义为：o＝[000]T≠0工业机器人的运动学3.1一、工业机器人位姿描述[例3-l]用齐次坐标分别写出图中矢量u、v、w的方向列阵。解：矢量u：u＝[coscoscos0]T＝[0.00.70710.70710]T矢量v：v＝[coscoscos0]T＝[0.70710.00.70710]T矢量w：w＝[coscoscos0]T＝[0.50.50.70710]T工业机器人的运动学3.1一、工业机器人位姿描述4.动坐标系位姿的描述机器人坐标系中，运动时相对于连杆不动的坐标系称为静坐标系，简称静系；跟随连杆运动的坐标系称为动坐标系，简称为动系。动系位置与姿态的描述称为动系的位姿表示，是对动系原点位置及各坐标轴方向的描述.（1）连杆的位姿表示O为连杆上任一点，OXYZ为与连杆固接的一个动坐标系，即为动系。连杆PQ在固定坐标系OXYZ中的位置可用一齐次坐标表示TZYXP1000工业机器人的运动学3.1一、工业机器人位姿描述4.动坐标系位姿的描述连杆的姿态可由动系的坐标轴方向来表示。令n、o、a分别为X¢、Y¢、Z¢坐标轴的单位矢量，各单位方向矢量在静系上的分量为动系各坐标轴的方向余弦，以齐次坐标形式分别表示为Tzyxnnnn0Tzyxoooo0Tzyxaaaa01000][000ZaonYaonXaonpaondzzzyyyxxx工业机器人的运动学3.1一、工业机器人位姿描述[例3-2]如图所示为固连于连杆的坐标系{B}位于OB点，XB = 2，YB = 1，ZB = 0。在XOY平面内，坐标系{B}相对固定坐标系{A}有一个30°的偏转，试写出表示连杆位姿的坐标系{B}的4  4矩阵表达式。XB的方向列阵n=[cos300cos600cos9000]T=[0.8660.5000.0000]TYB的方向列阵n=[cos1200cos300cos9000]T=[-0.5000.8660.0000]TZB的方向列阵a=[0.0000.0001.0000]T坐标系{B}的位置阵列P=[2101]T则动坐标系{B}的4  4矩阵表达式为0.8660.5000.0002.00.5000.8660.0001.00.0000.0001.0000.00001T工业机器人的运动学3.1一、工业机器人位姿描述4.动坐标系位姿的描述（2）手部的位姿表示手部的位置矢量为固定参考系原点指向手部坐标系{B}原点的矢量P，手部的方向矢量为n、o、a。于是手部的位姿可用4  4矩阵表示为机器人手部的位置和姿态可以用固连于手部的坐标系{B}的位姿来表示。0001TnoaPXXXXYYYYZZZZnoaPnoaPnoaP工业机器人的运动学3.1一、工业机器人位姿描述[例3-3]右图表示手部抓握物体Q，物体是边长为2个单位的正立方体，写出表达该手部位姿的矩阵表达式。因为物体Q形心与手部坐标系OXYZ的坐标原点O相重合，则手部位置的4  1列阵为T[1111]P手部坐标系X轴的方向可用单位矢量n来表示：9018090n：cos0Xncos1Yncos0Zn同理，手部坐标系Y轴与Z轴的方向可分别用单位矢量o和a来表示：1Xo0Yo0Zo0Xa0Ya1Zaa：o：手部位姿可用矩阵表示为0101100100110001TnoaP工业机器人的运动学3.1一、工业机器人位姿描述4.动坐标系位姿的描述（3）目标物位姿的描述设有一楔块Q如图3-8所示，坐标系OXYZ为固定坐标系，坐标系OXYZ为与楔块Q固连的动坐标系。在图(a)情况下，动坐标系OXYZ与固定坐标系OXYZ重合。楔块Q的位置和姿态可用6个点的齐次坐标来描述，在图(a)情况下，其矩阵表达式为：111111002200440000111111FEDCBAQ工业机器人的运动学3.1一、工业机器人位姿描述4.动坐标系位姿的描述（3）目标物位姿的描述若让楔块Q先绕Z轴旋转90，再绕Y轴旋转90，最后沿X轴方向平移4，则楔块成为图(b)之情况。此时楔块用新的6个点的齐次坐标来描述它的位置和姿态，其矩阵表达式为：111111440000111111446644FEDCBAQ工业机器人的运动学3.1二、齐次变换和运算把每次简单的运动用一个变换矩阵来表示，那么，多次运动即可用多个变换矩阵的积来表示，表示这个积的矩阵称为齐次变换矩阵。这样，用连杆的初始位姿矩阵乘以齐次变换矩阵，即可得到经过多次变换后该连杆的最终位姿矩阵。1.平移的齐次变换如图所示为空间某一点在直角坐标系中的平移，由A(x，y，z)平移至A′(x′，y′，z′)，即zzzyyyxxx'''110001000100011'''zyxzyxzyx或工业机器人的运动学3.1二、齐次变换和运算[例3-4]图3-10中有下面三种情况：1）动坐标系{A}相对于固定坐标系作(-1，2，2)平移后到{A}；2）动坐标系{A}相对于自身坐标系(即动坐标系)作(-1，2，2)平移后到{A}；3）物体Q相对于固定坐标系作(2，6，0)平移后到Q。已知：试计算出坐标系{A}、{A}以及物体Q的矩阵表达式。1000110010011010A111111001100330000111111Θ工业机器人的运动学3.1二、齐次变换和运算动坐标系{A}的两个平移坐标变换算子均为：1000210020101001),,(Transzyx{A}坐标系是动坐标系{A}相对于固定坐标系作平移变换得来的，变换算子应该左乘，因此，{A}的矩阵表达式为：100031003001001010001100100110101000210020101001)2,2,1(TransAA工业机器人的运动学3.1二、齐次变换和运算100011002001101010002100201010011000110010011010)2,2,1(TransAA从这个(4×4)的矩阵可以看出，O在O0X0Y0Z0坐标系中的坐标为(-1，2，-1)。物体Q的平移坐标变换算子为：1000010060102001),,(Transzyx工业机器人的运动学3.1二、齐次变换和运算空间某一点A，坐标为(x，y，z)，当它绕Z轴旋转角后至A点，坐标为(x，y，z)。A点和A点的坐标关系为：2．旋转的齐次变换zzyxyyxxcossinsincoszyxzyx1000cossin0sincos或用矩阵表示为：工业机器人的运动学3.1二、齐次变换和运算A点和A点的齐次坐标分别为[xyz1]T和[xyz1]T，因此A点的旋转齐次变换过程为：2．旋转的齐次变换也可简写为：11000010000cossin00sincos1zyxzyxa＝Rot(z，)a工业机器人的运动学3.1二、齐次变换和运算式中，Rot(z，θ)表示齐次坐标变换时绕Z轴的旋转算子，算子的内容为：2．旋转的齐次变换同理，可写出绕X轴的旋转算子和绕Y轴的旋转算子，其内容为：1000010000cs00sc),(Rotz10000cs00sc00001),(Rotx10000c0s00100s0c),(Roty工业机器人的运动学3.1二、齐次变换和运算点A绕任意过原点的单位矢量k旋转角的情况。kx，ky，kz分别为单位矢量k在固定坐标系坐标轴X、Y、Z上的三个分量（方向余弦），且kx2+ky2+kz2＝1。2．旋转的齐次变换10000cos)cos1(sin)cos1(sin)cos1(0sin)cos1(cos)cos1(sin)cos1(0sin)cos1(sin)cos1(cos)cos1(),(Rotzzxzyyzxxyzyyzyxyxzzxyxxkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkk上式称为一般旋转齐次变换的通式，绕X轴、Y轴、Z轴进行的旋转齐次变换是其特殊情况。工业机器人的运动学3.1二、齐次变换和运算[例3-5]已知坐标系中点U的位置矢量u＝[7321]T，将此点绕Z轴旋转90，再绕Y轴旋转90，如图所示，求旋转变换后所得的点W。2．旋转的齐次变换