二项式定理学案及课后作业答案

第3讲二项式定理知识梳理1．二项式定理二项式定理(a＋b)n＝C0nan＋C1nan－1b＋…＋Crnan－rbr＋…＋Cnnbn(n∈N*)二项展开式的通项公式Tr＋1＝Crnan－rbr，它表示第r＋1项二项式系数二项展开式中各项的系数C0n，C1n，…，Cnn2.二项式系数的性质(1)0≤k≤n时，Ckn与Cn－kn的关系是Ckn＝Cn－kn.(2)二项式系数先增后减中间项最大当n为偶数时，第n2＋1项的二项式系数最大，最大值为Cn2n；当n为奇数时，第n＋12项和n＋32项的二项式系数最大，最大值为Cn－12n或Cn＋12n.(3)各二项式系数和：C0n＋C1n＋C2n＋…＋Cnn＝2n，C0n＋C2n＋C4n＋…＝C1n＋C3n＋C5n＋…＝2n－1.辨析感悟1．二项式定理的理解(1)Crnan－rbr是(a＋b)n的展开式中的第r项．(×)(2)在(1－x)9的展开式中系数最大的项是第5项和第6项．(×)(3)(教材习题改编)在x－2x6的二项展开式中，常数项为－160.(√)2．二项式系数的性质(4)(a＋b)n的展开式中某一项的二项式系数与a，b无关．(√)(5)若(3x－1)7＝a7x7＋a6x6＋…＋a1x＋a0，则a7＋a6＋…＋a1的值为128.(×)(6)(2013·安徽卷改编)若x＋a3xn的展开式中，仅有第5项的二项式系数最大，且x4的系数为7，则实数a＝12.(√)[感悟·提升]1．二项式定理(a＋b)n＝C0nan＋C1nan－1b＋…＋Crnan－rbr＋…＋Cnnbn(n∈N*)揭示二项展开式的规律，一定牢记通项公式Tr＋1＝Crnan－rbr是展开式的第r＋1项，不是第r项，如(1)．2．二项式系数与展开式项的系数的异同一是在Tr＋1＝Crnan－rbr中，Crn是该项的二项式系数，与该项的(字母)系数是两个不同的概念，前者只指Crn，而后者是字母外的部分，前者只与n和r有关，恒为正，后者还与a，b有关，可正可负，如(2)就是混淆两个概念的区别．二是二项式系数的最值与增减性与指数n的奇偶性有关，当n为偶数，中间一项的二项式系数最大，如(6)；当n为奇数时，中间两项的二项式系数相等，且同时取得最大值.考点一通项公式及其应用【例1】(1)(2013·浙江卷)设二项式x－13x5的展开式中常数项为A，则A＝________.(2)(2013·新课标全国Ⅱ卷改编)已知(1＋ax)(1＋x)5的展开式中x2的系数为5，则a等于________．解析(1)Tr＋1＝Cr5(x)5－r－13xr＝Cr5(－1)rx52－5r6，令52－56r＝0，得r＝3，∴A＝－C35＝－10.(2)(1＋ax)(1＋x)5＝(1＋x)5＋ax(1＋x)5，又(1＋x)5中含有x与x2的项为T2＝C15x，T3＝C25x2.∴展开式中x2的系数为C25＋a·C15＝5，∴a＝－1.答案(1)－10(2)－1规律方法(1)二项式定理的核心是通项公式，求解此类问题可以分两步完成：第一步根据所给出的条件(特定项)和通项公式，建立方程来确定指数(求解时要注意二项式系数中n和r的隐含条件，即n，r均为非负整数，且n≥r，如常数项指数为零、有理项指数为整数等)；第二步是根据所求的指数，再求所求解的项．(2)求两个多项式的积的特定项，可先化简或利用分类加法计数原理讨论求解．【训练1】(1)(2013·大纲全国卷改编)(1＋x)8(1＋y)4的展开式中x2y2的系数是________．(2)设二项式x－ax6(a0)的展开式中x3的系数为A，常数项为B，若B＝4A，则a的值是________．解析(1)∵(1＋x)8的通项为Ck8xk，(1＋y)4的通项为Ct4yt，∴(1＋x)8(1＋y)4的通项为Ck8Ck4xkyt，令k＝2，t＝2，得x2y2的系数为C28C24＝168.(2)x－ax6展开式的通项Tr＋1＝(－a)rCr6x6－32r，∴A＝(－a)2C26，B＝(－a)4C46，由B＝4A，得(－a)4C46＝4(－a)2C26，解之得a＝±2.又a0，所以a＝2.答案(1)168(2)2学生用书第161页考点二二项式系数的性质与各项系数和【例2】(1)(2014·青岛模拟)设(1＋x)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，若a1＋a2＋…＋an＝63，则展开式中系数最大的项是________．(2)若x＋1xn的展开式中第3项与第7项的二项式系数相等，则该展开式中1x2的系数为________．审题路线(1)先赋值求a0及各项系数和，进而求得n值，再运用二项式系数性质与通项公式求解．(2)根据二项式系数性质，由C2n＝C6n，确定n的值，求出1x2的系数．解析(1)∵(1＋x)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，令x＝0，得a0＝1.令x＝1，则(1＋1)n＝a0＋a1＋a2＋…＋an＝64，∴n＝6，又(1＋x)6的展开式二项式系数最大项的系数最大，∴(1＋x)6的展开式系数最大项为T4＝C36x3＝20x3.(2)由题意知，C2n＝C6n，∴n＝8.∴Tr＋1＝Cr8·x8－r·1xr＝Cr8·x8－2r，当8－2r＝－2时，r＝5，∴1x2的系数为C58＝C38＝56.答案(1)20x3(2)56规律方法(1)第(1)小题求解的关键在于赋值，求出a0与n的值；第(2)小题在求解过程中，常因把n的等量关系表示为C3n＝C7n，而求错n的值．(2)求解这类问题要注意：①区别二项式系数与展开式中项的系数，灵活利用二项式系数的性质；②根据题目特征，恰当赋值代换，常见的赋值方法是使得字母因式的值或目标式的值为1，－1.【训练2】(1)二项式x＋2x2n的展开式中只有第6项的二项式系数最大，则展开式中常数项是________．(2)若(1－2x)2014＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2014x2014(x∈R)，则a12＋a222＋a323＋…＋a201422014的值为________．解析(1)由二项式系数的性质，得n＝10，∴Tr＋1＝Cr10(x)10－r2x2r＝2rCr10·x5－52r，令5－52r＝0，则r＝2，从而T3＝4C210＝180.(2)令x＝0，得a0＝(1－0)2013＝1.令x＝12，则a0＋a12＋a222＋…＋a201422014＝0，∴a12＋a222＋…＋a201422014＝－1.答案(1)180(2)－1考点三二项式定理的应用【例3】(2012·湖北卷改编)设a∈Z，且0≤a13，若512012＋a能被13整除，则a＝________.解析512012＋a＝(52－1)2012＋a＝C02012·522012－C12012·522011＋…＋C20112012×52·(－1)2011＋C20122012·(－1)2012＋a，∵C02012·522012－C12012·522011＋…＋C20112012×52·(－1)2011能被13整除．且512012＋a能被13整除，∴C20122012·(－1)2012＋a＝1＋a也能被13整除．因此a可取值12.答案12规律方法(1)本题求解的关键在于将512012变形为(52－1)2012，使得展开式中的每一项与除数13建立联系．(2)用二项式定理处理整除问题，通常把底数写成除数(或与余数密切相关联的数)与某数的和或差的形式，再用二项式定理展开，但要注意两点：一是余数的范围，a＝cr＋b，其中余数b∈[0，r)，r是除数，切记余数不能为负，二是二项式定理的逆用．【训练3】1－90C110＋902C210－903C310＋…＋(－1)k90kCk10＋…＋9010C1010除以88的余数是________．解析1－90C110＋902C210＋…＋(－1)k90kCk10＋…＋9010C1010＝(1－90)10＝8910＝(88＋1)10＝8810＋C110889＋…＋C91088＋1，∵前10项均能被88整除，∴余数是1.答案11．二项展开式的通项Tk＋1＝Cknan－kbk是展开式的第k＋1项，这是解决二项式定理有关问题的基础．在利用通项公式求指定项或指定项的系数要根据通项公式讨论对k的限制．2．因为二项式定理中的字母可取任意数或式，所以在解题时根据题意，给字母赋值，是求解二项展开式各项系数和的一种重要方法．3．二项式定理的应用主要是对二项展开式正用、逆用，要充分利用二项展开式的特点和式子间的联系．创新突破9——二项式的和与积问题【典例】(2014·济南质检)x＋ax2x－1x5的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为________．突破：展开式的常数项来源于：①“x＋ax”中的x与2x－1x5展开式中含1x的项相乘；②ax与2x－1x5展开式中含x的项相乘．解析在x＋ax2x－1x5中，令x＝1，得(1＋a)(2－1)5＝1＋a＝2，∴a＝1.∵2x－1x5展开式的通项Tr＋1＝Cr5(2x)5－r－1xr＝Cr5·25－r(－1)r·x5－2r.①令5－2r＝1，得2r＝4，即r＝2，因此2x－1x5展开式中x的系数为C2525－2·(－1)2＝80.②令5－2r＝－1，得2r＝6，即r＝3，因此2x－1x5展开式中1x的系数为C3525－3·(－1)3＝－40.∴x＋1x2x－1x5展开式中常数项为80－40＝40.答案40[反思感悟]对于求多个二项式的和或积的展开式中某项的系数问题，要注意排列、组合知识的运用，还要注意有关指数的运算性质．对于三项式问题，一般是通过合并其中的两项或进行因式分解，转化成二项式定理的形式去求解．【自主体验】(1＋2x)3(1－x)4展开式中x项的系数为________．解析(1＋2x)3(1－x)4展开式中的x项的系数为两个因式相乘而得到，即第一个因式的常数项和一次项分别乘以第二个因式的一次项与常数项，它为C03(2x)0·C14(－x)1＋C13(2x)1·C0414(－x)0，其系数为C03·C14(－1)＋C13·2＝－4＋6＝2.答案2基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、填空题1．(2014·西安调研)若(1＋3)4＝a＋b3(a，b为有理数)，则a＋b＝________.解析(1＋3)4＝1＋C14·3＋C24·(3)2＋C34(3)3＋(3)4＝28＋163，由题设a＝28，b＝16，故a＋b＝44.答案442．(2013·辽宁卷改编)使3x＋1xxn(n∈N*)的展开式中含有常数项的最小的n为________．解析Tr＋1＝Crn(3x)n－r1xxr＝Crn3n－rxn－52r，当Tr＋1是常数项时，n－52r＝0，当r＝2，n＝5时成立．答案53．已知x－ax8展开式中常数项为1120，其中实数a是常数，则展开式中各项系数的和是________．解析由题意知C48·(－a)4＝1120，解得a＝±2，令x＝1，得展开式各项系数和为(1－a)8＝1或38.答案1或384．已知(x＋1)10＝a1＋a2x＋a3x2＋…＋a11x10.若数列a1，a2，a3，…，ak(1≤k≤11，k∈Z)是一个单调递增数列，则k的最大值是________．解析由二项式定理知an＝Cn－110(n＝1,2,3，…，n)．又(x＋1)10展开式中二项式系数最大项是第6项．∴a6＝C510，则k的最大值为6.答案65．若(1＋mx)6＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a6x6，且a1＋a2＋…＋a6＝63，则实数m的值为________．解析令x＝0，得a0＝(1＋0)6＝1，令x＝1，得(1＋m)6＝a0＋a1＋a2＋…＋a6，又a1＋a2＋a3＋…＋