第四章-矩阵的特征值与特征向量问题

1第四章矩阵的特征值与特征向量问题2第三章矩阵的特征值与特征向量4.1幂法与反幂法4.2Jacobi方法（重点）4.3多项式方法求特征值问题（自学）4.4QR算法（重点）Givens矩阵；Householder矩阵；Gram-Schmidt正交化方法34概述。特征多项式的称为矩阵）＝（特征对称为一与特征向量此特征值特征向量对应的称为与特征值相应的非零解向量特征值的为方阵则称存在非零解向量是一复数，如果方程阶方阵是设定义：AAIPxxAxAxnAA)(det,,,,,52.,0,0.nAAIxAIA阶方阵的特征值就是使齐次线性方程组有非零解的值即满足方程的都是矩阵的特征值.,0.1言的特征值问题是对方阵而特征向量x。根重特征值的为则称重根的是。若特征根的根，因此又称是的一个特征值，则一定是矩阵)(,00,.3kAkIAλIAA注记6重数：。个线性无关的特征向量有是非亏损的充要条件是的；非亏损是的，则称的所有特征值都是半单如果；半单特征值的一个为，则称该特征值＝如果；重特征值的一个为否则称；单特征值的一个为，则称＝如果；几何重数的为）；重数（简称代数重数的为称其中：nAAAAAnmAAnnmAIranknmnjinnnnAIiiiiiiiiiiiiijipnPnnP1)()()(;)()()()det(2121217特征值和特征向量的性质定理：n阶矩阵A与它的转置矩阵AT有相同的特征值。证明：有：由)(IAIATTIAIAIATT)(即A与AT有相同的特征多项式，所以它们的特征值相同.8.)1(是任意常数的特征值是mAmm.,)2(11的特征值是可逆时当AA证明：xAx1xAxxAAxAxxA22再继续施行上述步骤次，就得2mxxAmm.,征向量的特对应于是且的特征值是矩阵故mmmmAxA定理：若是矩阵的特征值，是的属于的特征向量，则：xAA9可得由xAxxAxAAxA111xxAxAx111,0,2可逆时当A.,1111的特征向量对应于是且的特征值是矩阵故AxA★特征值和特征向量的性质:特征值对应特征向量xxxxxxxmAkAkTAA或m1A/1*A/A)(Af)(f10。线性无关则各不相等向量。如果依次是与之对应的特征个特征值的是方阵设mmmmxxxxxxmA,,,,,,,,,,,,,,21212121证明:使设有常数mkkk,,,21.02211mmxkxkxk则,02211mmxkxkxkA,0222111mmmxkxkxk1112220.kkkmmmkxkxkx1,,2,1mk定理：可得由iixAx11把上列各式合写成矩阵形式，得11221112211111,,,mmmmmmmxkxkxk0,,0,0于是有可逆从而该矩阵该行列式不等于不相等时当各式列阵的行列式为范德蒙行上式等号左端第二个矩.,0,,i,0,,0,0,,,2211mmxkxkxk.,,2,10mjxkjj即,0jx但.,,2,10mjkj故.,,,21线性无关所以向量组mxxx12１.属于不同特征值的特征向量是线性无关的．２.属于同一特征值的特征向量的非零线性组合仍是属于这个特征值的特征向量．３.矩阵的特征向量总是相对于矩阵的特征值而言的，一个特征值具有的特征向量不唯一；一个特征向量不能属于不同的特征值．即有的特征向量的的属于特征值同时是如果设因为,,,2121AxxAxxAx21,xx21,021x,021由于,0x则.与定义矛盾注记13注记4.若λ是矩阵A的r重特征值，对应λ有s个线性无关的特征向量，则1≤s≤r；若A为实对称矩阵，则对应特征值λ恰有r个线性无关的特征向量。5.实对称矩阵的特征值是实数，属于不同特征值的特征向量正交。14注记阶主子式之和。中一切为其中记：的特征值为阶方阵设kAsAsssAIaAnknnnnnkknkknnij:)1()1()())((,,,,.6221102121;)1(221121）（＝Atraaannn.)2(21Anasdf称tr(A)为矩阵A的迹15相似矩阵于计算。的特征值和特征向量易，要求似的矩阵相值，因此可寻求与矩阵相似矩阵有相同的特征的。相似是和则称使得若存在矩阵定义：BBAPxBPxPxPxPAPxAxBAAPPBPCBAnn11,,,16Jordan分解定理。标准型的称作是唯一的；且除了的排列次序外，其中使得矩阵，则一定存在非奇异（其重数分别为（个互不相同的特征值有设JordanAJJJriCJJdiagJJJJdiagAPPCPrinrirCAiiiijnnikiirnniinniii111)(,1,))()(()())()((),,1),,1,11117Schur分解定理,,nnnnHACUCUAUTTUT设则存在酉矩阵使得其中是上三角矩阵，且选择适当矩阵可使的主对角线元素按任意指定次序排列。18特征值估计粗略估计有(A)||A||；可将复平面上的特征值一个个用圆盘围起。盖氏圆设A=[aij]nn，称由不等式所确定的复区域为A的第i个盖氏圆，记为Gi：i=1，2，…，n。nijjijiiaaz1}:{1nijjijiiiaazzG19Gerschgorin圆盘定理定理若为A的特征值，则证明：设Ax=x(x0)，若k使得因为niiG1xxxinik1maxknjjkjxxa1nkjjkjkkkxaxa)(nkjjkjnkjjkjkjnkjkjkjkkaxxaxxaa11||||||||||niikGG120例估计方阵A特征值的范围解：G1={z：|z–1|0.6}；G2={z：|z–3|0.8}；G3={z：|z+1|1.8}；G4={z：|z+4|0.6}。注：定理推断A的n个特征值全落在n个盖氏圆上，但未说明每个圆盘内都有一个特征值。41.03.02.05.013.012.01.035.03.02.01.01AG1G2G3G421称相交盖氏圆之并构成的连通部分为连通部分。孤立的盖氏圆本身也为一个连通部分。定理若由A的k个盖氏圆组成的连通部分，含且仅含A的k个特征值。盖氏圆的连通部分22定理若由A的k个盖氏圆组成的连通部分，含且仅含A的k个特征值。证明:令D=diag(a11，a22，…，ann)，M=A–D，记则显然有A(1)=A，A(0)=D，易知A()的特征多项式的系数是的多项式，从而A()的特征值1()，2()，…，n()为的连续函数。)10(000)(212211122211nnnnnnaaaaaaaaaMDA23A()的盖氏圆为：因为A(0)=D的n个特征值a11，a22，…，ann，恰为A的盖氏圆圆心，当由0增大到1时，i()画出一条以i(0)=aii为始点，i(1)=i为终点的连续曲线，且始终不会越过Gi；)10(,}||||:{)(11inijjijnijjijiiiGaaazzGaiii24不失一般性，设A开头的k个圆盘是连通的，其并集为S，它与后n–k个圆盘严格分离，显然，A()的前k个盖氏圆盘与后n–k个圆盘严格分离。当=0时，A(0)=D的前k个特征值刚好落在前k个圆盘G1，…，Gk中，而另n–k个特征值则在区域S之外，从0变到1时，与始终分离（严格）。连续曲线始终在S中，所以S中有且仅有A的k个特征值。kiiG1)(nkiiG1)(25注：1)每个孤立圆中恰有一个特征值。2)前例中G2，G4为仅由一个盖氏圆构成的连通部分，故它们各有一个特征值，而G1，G3构成的连通部分应含有两个特征值。3)因为前例中A为实方阵，所以若为A的特征值，则也是A的特征值，所以G2，G4中各有一个实特征值。26幂法是求方阵的最大特征值及对应特征向量的一种迭代法。4.1.1幂法设An有n个线性无关的特征向量v1，v2，…，vn；对应的特征值1，2，…，n，满足|1||2|…|n|(4.1.1)幂法是求方阵的最大特征值及对应特征向量的一种迭代法。4.1.1幂法设An有n个线性无关的特征向量v1，v2，…，vn；对应的特征值1，2，…，n，满足|1||2|…|n|(4.1.1)4.1幂法与反幂法27因为{v1，v2，…，vn}为Cn的一组基，故：任给x(0)0，所以有:(4.1.4)niiivax1)0(])([)(21111111)0(niiikikniikiiniikiniiikkvavavavAavaAxA1.基本思想28若a10，则因知，当k充分大时A(k)x(0)1ka1v1=cv1(属1的特征向量)另一方面，记max(x)=xi，其中|xi|=||x||，则当k充分大时，11i111111111111111)0(1)0()max()max()max()max()max()max(vavavavaxAxAkkkkkk1.基本思想29注：若a1=0，则因舍入误差的影响，会有某次迭代向量在v1方向上的分量不为0，迭代下去可求得1及对应特征向量的近似值。2.规范化在实际计算中，若|1|1则|1ka1|，若|1|1则|1ka1|0都可能造成溢出停机。须采用“规范化”的方法，k=0，1，2，…(4.1.9))()1()()()()max(kkkkkAyxxxy30规范化：，k=0，1，2，…(4.1.9)定理任给初始向量x(0)0，有(4.1.10))()1()()()()max(kkkkkAyxxxy特征值特征向量1)(11)()max(lim)max(limkkkkxvvy31niikiikniikiikkkkkkkkkkkkvavavavaxAxAxxAxxAAyAyxxy2111121111)22.3()0()0()1()1()1()1()1()1()()()(])([max])([)max())max(max()max()max()max()max()max(])([max])([11111121112111vvvavavavavavakniikiiniikii证明：32注：若A的特征值不满足条件(4.1.1)，幂法收敛性的分析较复杂，若1=2=…=r，且|1||r+1|…|n|，则定理结论仍成立。此时不同初始向量的迭代向量序列一般趋向于1的不同特征向量。1111111)1()()max()max()max()max())max(max()max()max(vvvAvvvAAyxkkk证明：33例：求矩阵A的按模最大的特征值解取x(0