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124．1．2垂直于弦的直径授课题目：垂直于弦的直径一、教材分析1、作为《圆》这章的第一个重要性质，它研究的是垂直于弦的直径和这弦的关系。2、该性质是圆的轴对称性的演绎，也是今后证明圆中线段相等、角相等、弧相等、垂直关系的重要依据，同时为后面圆的计算和作图提供了方法和依据，所以它在教材中处于非常重要的作用。二、教学目标1、知识目标：（1）充分认识圆的轴对称性。（2）利用轴对称探索垂直于弦的直径的有关性质，掌握垂径定理。（3）运用垂径定理进行简单的证明、计算和作图。2、能力目标：（1）让学生经历“实验—观察—猜想—验证—归纳”的研究过程，培养学生动手实践、观察分析、归纳问题和解决问题的能力。（2）让每个学生动手、动口、动眼、动脑，培养学生直觉思维能力。3、情感目标：通过实验操作探索数学规律，激发学生的好奇心和求知欲同时培养学生勇于探索的精神。三、教学关键：圆的轴对称性的理解四、教学重点：垂直于弦的直径的性质及其应用。五、教学难点：1、垂径定理的证明。2、垂径定理的题设与结论的区分。六、教学辅助：多媒体、可折叠的圆形纸板。七、教学方法本节课采用的教学方法是“主体探究式”。整堂课充分发挥教师的主导作用和学生的主体作用，注重学生探究能力的培养，鼓励学生认真观察、大胆猜想、小心求证。令学生参与到“实验--观察--猜想--验证--归纳”的活动中，与教师共同探究新知识最后得出定理。学生不再是2知识的接受者，而是知识的发现者，是学习的主人。八、教学过程：1、情景创设（1分钟）情景问题：赵州桥主桥拱的跨度(弧所对的弦的长)为37.4m,拱高(弧的中点到弦的距离)为7.2m，你能求出赵州桥主桥拱的半径吗？（ppt）把一些实际问题转化为数学问题2、回顾旧识（2分钟）我们已经学习过对称的有关概念，下面复习两道问题1）什么是轴对称图形？2）我们学习过的轴对称图形有哪些？（电脑上直观的动画演示，运用几何画板演示沿上述图形对称轴对折图形的动画）3、引入新课（4分钟）问：（1）我们所学的圆是不是轴对称图形？（2）如果是，它的对称轴是什么？拿出一张圆形纸片，沿着圆的任意一条直径对折，重复做几次，你发现了什么？由此你能得到什么结论？：（1）圆是轴对称图形。（2）对称轴是过圆点的直线（或任何一条直径所在的直线）（3）圆的对称轴有无穷多条34、揭示课题（1分钟）电脑上用几何画板上作图：（1）做一圆(2)在圆上任意作一条弦AB；(3)过圆心作AB的垂线的直径CD且交AB于E。（板书课题：垂直于弦的直径）5、师生互动（4分钟）运用几何画板展示直径与弦垂直相交时圆的翻折动画让学生观察，讨论（1）图中圆可能会有哪些等量关系？（2）弦AB与直径CD除垂直外还有什么性质？5、探求新知（5分钟）提问：这个结论是同学们通过演示观察猜想出来的，结论是否正确还要从理论上证明它，下面我们试着来证明它OEDCBA4已知：CD是⊙O的直径，AB是弦，AB⊥CD证明：AE=EB、弧AC=弧CB、弧AD=弧DB（板书垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。进一步也可推知垂径定理的逆定理：平分弦的直径垂直于弦，并且垂直于弦所对的两条弧）6、概念辨析（2分钟）（电脑显示）练习1AE=EB吗？（注意：直径，垂直于弦，缺一不可！）7、运用新知（18分钟）练习1：（5分钟）一条排水管的截面如图所示。已知排水管的半径OB=10，水面宽AB=16。求截面圆心O到水面的距离。在学生发表见解的情况下总结归纳：（1）圆中有关弦、半径的计算问题通常利用垂径定理来解决。（2）重要的辅助线：过圆心做弦的垂线构造直角三角形，结合垂径定理与解直角三角形的有关知识解题。总结口诀：半径半弦弦心距，化为勾股最容易，另外加上弓形高，Ｒｔ三角形少不了练习2（5分钟）（情景问题）赵州桥主桥拱的跨度(弧所对的弦的长)为37.4m,拱高(弧的中点到弦的距离)为7.2m，你能求出赵州桥主桥拱的半径吗？EOCDABEABCDEOABDC5练习3：（3分钟）已知：如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C，D两点。求证：AC＝BD。8、拓展升华（3分钟）如果把垂径定理（垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧）结论与题设交换或交换一条，命题是真命题吗？（1）过圆心（2）垂直于弦（3）平分弦（4）平分弦所对的优弧（5）平分弦所对的劣弧上述五个条件中的任何两个条件都可以推出其他三个结论9、归纳小结(3分钟)知识总结：这节课我们主要学习了两个问题：一是圆的轴对称性（学生回答），它是理解和证明定理的关键；二是垂径定理（学生回答），它是这节课的重点要求大家分清楚定理的条件和结论，并熟练掌握定理的简单应用，还推知它的里定理。讲评总结：OABCD61学习垂径定理后，你认为应该注意哪些问题？2应用垂径定理如何添辅助线？垂径定理有哪些应用3这节课的学习你有什么疑问？4这节课的学习方式拟喜欢吗？你有什么好的建议10、分层作业1、.必做题:习题24.1—1,7,82.、选做题:习题24.1—13课后反思：24.1.3弧、弦、圆心角教学目标1、知识与技能：了解圆心角的概念：掌握在同圆或等圆中，圆心角、弦、弧中有一个量的两个相等就可以推出其它两个量的相对应的两个值就相等，及其它们在解题中的应用．2、过程与方法：通过复习旋转的知识，产生圆心角的概念，然后用圆心角和旋转的知识探索在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等，最后应用它解决一些具体问题．3、情感态度价值观;发展学生勇于探索的良好习惯，指导学生欣赏几何图形的美，进一步认识数学知识与生活的密切联系。重难点、关键1．重点：定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，7所对弦也相等及其两个推论和它们的应用．2．难点与关键：探索定理和推导及其应用．教学方法:合作探究教学过程一、复习引入（学生活动）请同学们完成下题．已知△OAB，如图所示，作出绕O点旋转30°、45°、60°的图形．BAO老师点评：绕O点旋转，O点就是固定点，旋转30°，就是旋转角∠BOB′=30°．二、探索新知1、如图所示，∠AOB的顶点在圆心，像这样顶点在圆心的角叫做圆心角．BAOB'BAA'O（学生活动）请同学们按下列要求作图并回答问题：如图所示的⊙O中，分别作相等的圆心角∠AOB和∠A′OB′将圆心角∠AOB绕圆心O旋转到∠A′OB′的位置，你能发现哪些等量关8系？为什么？理由：∵半径OA与O′A′重合，且∠AOB=∠A′OB′∴半径OB与OB′重合∵点A与点A′重合，点B与点B′重合∴AB与''AB重合，弦AB与弦A′B′重合∴AB=''AB，AB=A′B′因此，在同一个圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等．在等圆中，相等的圆心角是否也有所对的弧相等，所对的弦相等呢？请同学们现在动手作一作．2、（学生活动）老师点评：如图1，在⊙O和⊙O′中，分别作相等的圆心角∠AOB和∠A′O′B′得到如图2，滚动一个圆，使O与O′重合，固定圆心，将其中的一个圆旋转一个角度，使得OA与O′A′重合．O(O')O'OB'A'BB'O(O')O'OBAAA'(1)(2)你能发现哪些等量关系？说一说你的理由？我能发现：AB=''AB，AB=A/B/．现在它的证明方法就转化为前面的说明了，这就是又回到了我们的数学思想上去呢──化归思想，化未知为已知，因此，我们可以得到下面的定理：9在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．同样，还可以得到：在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦也相等．在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弧也相等．（学生活动）请同学们现在给予说明一下．请三位同学到黑板板书，老师点评．3、例1．如图，在⊙O中，AB、CD是两条弦，OE⊥AB，OF⊥CD，垂足分别为EF．（1）如果∠AOB=∠COD，那么OE与OF的大小有什么关系？为什么？（2）如果OE=OF，那么AB与CD的大小有什么关系？AB与CD的大小有什么关系？为什么？∠AOB与∠COD呢？OBACEDF分析：（1）要说明OE=OF，只要在直角三角形AOE和直角三角形COF中说明AE=CF，即说明AB=CD，因此，只要运用前面所讲的定理即可．（2）∵OE=OF，∴在Rt△AOE和Rt△COF中，10又有AO=CO是半径，∴Rt△AOE≌Rt△COF，∴AE=CF，∴AB=CD，又可运用上面的定理得到AB=CD解：（略）三、巩固练习教材P83练习1、2四、应用拓展例2．如图3和图4，MN是⊙O的直径，弦AB、CD相交于MN上的一点P，∠APM=∠CPM．（1）由以上条件，你认为AB和CD大小关系是什么，请说明理由．（2）若交点P在⊙O的外部，上述结论是否成立？若成立，加以证明；若不成立，请说明理由．BACEDPONMFBACEDPNMF(3)(4)分析：（1）要说明AB=CD，只要证明AB、CD所对的圆心角相等，只要说明它们的一半相等．上述结论仍然成立，它的证明思路与上面的题目是一模一样的．解：（略）五、归纳总结（学生归纳，老师点评）11本节课应掌握：1．圆心角概念．2．在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都部分相等，及其它们的应用．六、布置作业1．教材P87复习巩固2、32．选用课时作业设计．课后反思：24.1.4圆周角教学目标1、知识与技能：（1）了解圆周角的概念．（2）理解圆周角的定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．（3）理解圆周角定理的推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．（4）熟练掌握圆周角的定理及其推理的灵活运用．2、过程与方法：设置情景，给出圆周角概念，探究这些圆周角与圆心角的关系，运用数学分类思想给予逻辑证明定理，得出推导，让学生活动证明定理推论的正确性，最后运用定理及其推导解决一些实际问题．123、情感态度价值观：在圆周角定理的证明探索过程中，注重推理的严谨性，初步提高学生的逻辑思维能力。教学方法：合作探究重难点、关键1．重点：圆周角的定理、圆周角的定理的推导及运用它们解题．2．难点：运用数学分类思想证明圆周角的定理．3．关键：探究圆周角的定理的存在．教学过程一、复习引入（学生活动）请同学们口答下面两个问题．1．什么叫圆心角？2．圆心角、弦、弧之间有什么内在联系呢？老师点评：（1）我们把顶点在圆心的角叫圆心角．（2）在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对的其余各组量都分别相等．刚才讲的，顶点在圆心上的角，有一组等量的关系，如果顶点不在圆心上，它在其它的位置上？如在圆周上，是否还存在一些等量关系呢？这就是我们今天要探讨，要研究，要解决的问题．二、探索新知问题：如图所示的⊙O，我们在射门游戏中，设E、F是球门，设球员们只能在EF所在的⊙O其它位置射门，如图所示的A、B、C点．通过观察，我们可以发现像∠EAF、∠EBF、∠ECF这样的角，它们的顶点在圆13OBAC上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角．现在通过圆周角的概念和度量的方法回答下面的问题．1．一个弧上所对的圆周角的个数有多少个？2．同弧所对的圆周角的度数是否发生变化？3．同弧上的圆周角与圆心角有什么关系？（学生分组讨论）提问二、三位同学代表发言．老师点评：．一个弧上所对的圆周角的个数有无数多个．2．通过度量，我们可以发现，同弧所对的圆周角是没有变化的．3．通过度量，我们可以得出，同弧上的圆周角是圆心角的一半．下面，我们通过逻辑证明来说明“同弧所对的圆周角的度数没有变化，并且它的度数恰好等于这条弧所对的圆心角的度数的一半．”（1）设圆周角∠ABC的一边BC是⊙O的直径，如图所示∵∠AOC是△ABO的外角∴∠AOC=∠ABO+∠BAO∵OA=OB∴∠ABO=∠BAO∴∠AOC=∠ABO∴∠ABC