初中数学思想方法汇总

初中数学思想方法的概念、种类及渗透策略分析分类讨论思想一、分类讨论思想的意义当我们在解决数学问题时，有时由于被研究对象的属性不同，影响了研究问题的结果，因而需对不同属性的对象进行分类研究;或者由于在研究问题过程中出现了不同情况，因而需对不同情况进行分类研究.通过分类讨论，常能化繁为简，更清楚地暴露事物的本质，并增加条件，“分类讨论”,简言就是先分类，后讨论。阅读大纲和教材会发现,初中数学对分类讨论本着先易后难、循渐进的原则,把“分类讨论思想”分两个层次,即“分类思想”和“讨论思想”。分类思想在初中数学占有相当要的地位,通过教学应使学生确立类思想,学会分类方法,而“讨论思则要求通过有关知识的传授起到潜默化的作用。分类讨论是一种逻辑方法,也是一种数学思想。有关分类讨论思想的数学问题具有明显的逻辑性、综合性、探索性,能训练人的思维条理性和概括性,所以在试题中占有重要的位置。二、分类讨论的一般步骤是：明确讨论对象,确定对象的全体→确定分类标准,正确进行分类→逐步进行讨论,获取阶段性结果→归纳小结,综合得出结论。三、分类讨论思想的分类原则：分类讨论必须遵循原则进行，在初中阶段，我们经常用到的有以下4大原则:(1)同一性原则(2)互斥性原则(3)相称性原则(4)多层次性原则四、七年级数学中体现分类讨论思想的知识点上册：1、含字母式子的绝对值的化简2、过平面内的点画直线的条数3、线段、角的计算4、立体图形异面点之间的最短距离5、数轴上两点间的距离6、分段计费问题。下册：1、两边分别平行的两角的关系2、正数的平方根3、实数的分类4、坐标平面内点的坐标5、P112第10题6、解字母系数的不等式7、借助不等式（组）的正整数解讨论方案设计问题。五、典型例题例1.（2011浙江中考）解关于x的不等式组：a(2x)3x)9xa（9a+8例2已知直线AB上一点C，且有CA=3AB，则线段CA与线段CB之比为__或____。练习：已知A、B、C三点在同一条直线上，且线段AB=7cm，点M为线段AB的中点，线段BC=3cm，点N为线段BC的中点，求线段MN的长.例2下列说法正确的是（）A、两条线段相交有且只有一个交点。B、如果线段AB=AC那么点A是BC的中点。C、两条射线不平行就相交。D、不在同一直线上的三条线段两两相交必有三个交点。[与角有关的分类讨论思想的应用]——角的一边不确定性引发讨论。例3在同一平面上，∠AOB=70°，∠BOC=30°，射线OM平分∠AOB，ON平分∠BOC，求∠MON的大小。[练习]已知∠AOB=60°,过O作一条射线OC，射线OE平分∠，射线OD平分∠BOC，求∠DOE的大小例4化简325xx练习：设a是有理数，求a+a的值例5：甲、乙两人骑自行车，同时从相距75km的两地相向而行，甲的速度为15km/n，乙的速度为10km/n，经过多少小时甲、乙两人相距25km？例6：在同一图形内，画出∠AOB=60°，∠COB=50°，OD是∠AOB的平分线，OE是∠COB的平分线，并求出∠DOE的度数例7：如图，长方体的长宽高分别为3、4、5，一只蚂蚁长方体的一个顶点A沿表面爬行到顶点B，怎样爬行路线最短？如果要爬行到顶点C呢？说出你的理由。六、练习题（菁优网期末考试题精选）1.．阅读下列内容后，解答下列各题：几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定．例如：考查代数式（x-1）（x-2）的值与0的大小当x＜1时，x-1＜0，x-2＜0，∴（x-1）（x-2）＞0当1＜x＜2时，x-1＞0，x-2＜0，∴（x-1）（x-2）＜0当x＞2时，x-1＞0，x-2＞0，∴（x-1）（x-2）＞0综上：当1＜x＜2时，（x-1）（x-2）＜0ABC当x＜1或x＞2时，（x-1）（x-2）＞0（1）填写下表：（用“+”或“-”填入空格处）（2）由上表可知，当x满足时，（x+2）（x+1）（x-3）（x-4）＜0；（3）运用你发现的规律，直接写出当x满足时，（x-7）（x+8）（x-9）＜0．x＜-2-2＜x＜-1-1＜x＜33＜x＜4x＞4x+2-++++x+1--+++x-3---++x-4----+（x+2）（x+1）（x-3）（x-4）+-2．已知动点P以每秒2cm的速度沿图甲的边框按从B⇒C⇒D⇒E⇒F⇒A的路径移动，相应的△ABP的面积S与时间t之间的关系如图乙中的图象表示．若AB=6cm，试回答下列问题：（1）图甲中的BC长是多少？（2）图乙中的a是多少？（3）图甲中的图形面积的多少？（4）图乙中的b是多少？3．某学校计划购买若干台电脑，现从两家商场了解到同一种型号电脑每台报价均为6000元，并且多买都有一定的优惠，甲商场的优惠条件是：第一台按原价收费，其余每台优惠25%；乙商场优惠的条件是：每台优惠20%．（1）什么情况下到甲商场购买更优惠？（2）什么情况下到乙商场购买更优惠？（3）什么情况下两家商场的收费相同？4.为增强公民的节约意识，合理利用天然气资源，某市自1月1日起对市区民用管道天然气价格进行调整，实行阶梯式气价，调整后的收费价格如表所示：每月用气量单价不超出75m3的部分2.5元/m3超出75m3不超出125m3的部分2.75元/m3超出125m3的部分3元/m3（1）甲用户1月份的用气量为145m3，应缴费多少元？（2）乙用户2、3月份共用气175m3（2月份用气量超过3月份），共缴费455元，乙用户2、3月份的用气量各是多少？5．如图，在平面直角坐标系中，A（a，0），B（b，0），C（-1，2），且|2a+b+1|+（a+2b-4）2=0．（1）求a，b的值；（2）在y轴上存在一点M，使△COM的面积=21△ABC的面积，求点M的坐标．数学建模思想一、数学建模思想的意义数学建模思想，就是通过对实际问题的分析，抓住其本质，联想相应的知识，建立数学模型，利用数学知识解决问题的一种数学思想。二、已学模型1、一元一次方程；2、二元一次方程的整数解、正整数解；3、二元一次方程组；4、不等式（组）；（正整数解）5、假设法；（鸡兔同笼）6、用样本数据估计总体相应的数据。7、列举法；8、算术法；三、方法在分析各种实际问题，抓其本质的过程中，了解各类问题的生活背景，感受数学模型在社会日常生活中的广泛应用，积累数学背景知识，体会数学阅读与文学阅读的区别（数学阅读是量的分析，文学阅读是字词的理解），提高阅读有数学背景的材料的能力，培养用合适的数学模型解决问题的能力。四、典型题目（精选于菁优网七年级期末考试试卷）感受数学应用的广阔背景吧！经历选模、建模、解决问题的过程。1．根据图中给出的信息，解答下列问题：（1）放入一个小球水面升高cm，放入一个大球水面升高cm；（2）如果要使水面上升到50cm，应放入大球、小球各多少个？2．某镇水库的可用水量为12000万m3，假设年降水量不变，能维持该镇16万人20年的用水量．为实施城镇化建设，新迁入了4万人后，水库只能够维持居民15年的用水量．（1）问：年降水量为多少万m3？每人年平均用水量多少m3？（2）政府号召节约用水，希望将水库的使用年限提高到25年．则该镇居民人均每年需节约多少m3水才能实现目标？（3）某企业投入1000万元设备，每天能淡化5000m3海水，淡化率为70%．每淡化1m3海水所需的费用为1.5元，政府补贴0.3元．企业将淡化水以3.2元/m3的价格出售，每年还需各项支出40万元．按每年实际生产300天计算，该企业至少几年后能收回成本（结果精确到个位）？3．如图所示，在桌面上放着A、B两个正方形，共遮住了27cm2的面积，若这两个正方形重叠部分的面积为3cm2，且正方形B除重叠部分外的面积是正方形A除重叠部分外的面积的2倍，则正方形A的面积是．4．如图，将正方形ABCD的一角折叠，折痕为AE，∠FAD比∠FAE大48°，设∠FAE和∠FAD的度数分别为x°，y°，那么x，y所适合的一个方程组是（）5.某电信局现有300部已申请装机的电话等待装机．假设每天新申请装机的电话部数相同，该电信局每个电话装机小组每天装的电话部数也相同，那么安排3个装机小组，恰好30天可将需要装机的电话全部装完；如果安排5个装机小组，则恰好10天可将需要装机的电话全部装完．试求每个电话装机小组每天装机多少部？每天有多少部新申请装机的电话？6．某服装厂现有A种布料70米，B种布料52米．现计划用这两种布料生产M、N两种型号的时装共80套，已知做一套M型号时装需用A种布料0.6米，B种布料0.9米；做一套N型号时装需用A种布料1.1米，B种布料0.4米．本着最大限度使用现有布料的原则，请你设计这两种型号时装的生产方案（即两种型号时装分别计划生产的套数），有几种？请写出来．7．如图，在3×3的方阵图中，填写了一些数和代数式（其中每个代数式都表示一个数），使得每行的3个数、每列的3个数、斜对角的3个数之和均相等．（1）求x，y的值；（2）在备用图中完成此方阵图．34x-2ya2y-xcb8．为极大地满足人民生活的需求，丰富市场供应，我区农村温棚设施农业迅速发展，温棚种植面积在不断扩大．在耕地上培成一行一行的矩形土埂，按顺序间隔种植不同农作物的方法叫分垄间隔套种．科学研究表明：在塑料温棚中分垄间34-2隔套种高、矮不同的蔬菜和水果（同一种紧挨在一起种植不超过两垄），可增加它们的光合作用，提高单位面积的产量和经济效益．现有一个种植总面积为540m2的矩形塑料温棚，分垄间隔套种草莓和西红柿共24垄，种植的草莓或西红柿单种农作物的总垄数不低于10垄，又不超过14垄（垄数为正整数），它们的占地面积、产量、利润分别如下：占地面积（m2/垄）产量（千克/垄）利润（元/千克）西红柿301601.1草莓15501.6（1）若设草莓共种植了x垄，通过计算说明共有几种种植方案？分别是哪几种？（2）在这几种种植方案中，哪种方案获得的利润最大？最大利润是多少？9.在有16支球队参赛的足球甲级联赛中，每两支球队之间一个赛季要进行2场比赛，每支球队一个赛季要踢满30场球赛．比赛规则规定：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分．赛季结束，积分排第1的获得冠军，…积分排第15和第16名的球队降级（下赛季参加乙级联赛）．某赛季第27轮比赛结束时，部分球队的积分排名如下表．各队末赛的3场比赛中，A、B、C、D四队的比赛全部在这四个队之间进行．（1）第27轮比赛结束时，乙队负了7场，求乙队此时胜、平各多少场？（2）第27轮比赛结束时，甲队的负场数比乙队多，则甲队的胜、平、负场数各是多少？（3）若最后3场比赛A队得5分，B队一场未负得3分，则A队是否降级？为什么？10．一支部队行军两天，共进行78km，这支部队第一天的平均速度每小时比第球队积分排名甲队421乙队402………A队1613B队1613C队1613D队1613二天快1.5km，如果第一天行军4小时，第二天行军5小时，那么这两天每天的平均速度各是多少？11．某饮料厂有甲，乙两条饮料灌装生产线，根据市场需求，计划平均每天灌装饮料700箱．如果两条生产线同时工作，则完成一天的生产任务需要工作7小时；如果两条生产线同时工作2.5小时后，再由乙生产线单独工作，则完成一天的生产任务还需10小时．（1）求甲、乙两条灌装生产线每小时各灌装多少箱饮料？（2）已知甲灌装生产线工作1小时的成本费用为550元，乙灌装生产线工作1小时的成本费用为495元，如果每天用于灌装生产线的成本费用不得超过7370元，那么甲灌装生产线每天至少工作多少小时？12．如图，在大长方形ABCD中，放入六个相同的小长方形，则图中阴影部分面积（单位：cm2）为（）A．16B．44C．96D．14013．根据如图所给信息，回答下列问题：（1）分别求出桌子和椅子的单价是多少？（2）学校根据实际情况，要求购买桌椅总费用不超过1000元，并且购买桌子的数量是椅子数量的25，求该校本次购买桌子和椅子共有哪几种方案？（3）厂家为了搞促销活动，推出凡一次性购买桌子和椅子的数量共28张以上（含28张），可享受八折优惠，