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第43课阅读理解型问题阅读理解能力是初中数学课程的主要目标，是改变学生学习方式，实现自主探索主动发展的基础．阅读理解型问题，一般篇幅较长，涉及内容丰富，构思新颖别致．这类问题，主要考查解题者的心理素质，自学能力和阅读理解能力，考查解题者的观察分析能力、判辩是非能力、类比操作能力、抽象概括能力、数学归纳能力以及数学语言表达能力．这就要求同学们在平时的学习活动中，逐步养成爱读书、会学习、善求知、勤动脑、会创新和独立获取新知识的良好习惯．要点梳理1．阅读理解型问题命题模式阅读理解题是近年中考的常见题型，它由两部分组成：一是阅读材料，二是考查内容．阅读理解题的一般模式是：先给出一些全新的知识，让学生阅读理解，再设立问题，让我们运用这些新知识去解决问题，主要涉及代数知识、几何知识、函数与统计的解题方法和推理方法．[难点正本疑点清源]2．阅读理解型问题对解题的要求阅读理解型问题要求我们根据阅读获取的信息回答问题．提供的阅读材料主要包括：一个新的数学概念的形成和应用的过程，或一个新数学公式的推导和应用，或提供新闻背景材料等，考查内容既有考查基础的，也有考查自学能力和探索能力等综合素质的．3．阅读理解题型分类题型一：考查掌握新知识能力的阅读理解题命题者给定一个陌生的定义或公式或方法，让你去解决新问题，这类考题能考查我们自学能力和阅读理解能力，能考查我们接收、加工和利用信息的能力．题型二：考查解题思维过程的阅读理解题言之有据，言必有据，这是正确解题的关键所在，是提高我们数学水平的前提．数学中的基本定理、公式、法则和数学思想方法都是理解数学、学习数学和应用数学的基础，这类试题就是为检测我们理解解题过程、掌握基本数学思想方法和辨别是非的能力而设置的．题型三：考查纠正错误挖病根能力的阅读理解题理解知识不是拘泥于形式的死记硬背，而是要把握知识的内涵或实质，理解知识间的相互联系，形成知识脉络，从而整体地获取知识．这类试题意在检测我们对知识的理解以及认识问题和解决问题的能力．题型四：考查归纳、探索规律能力的阅读理解题对材料信息的加工提炼和运用，对规律的归纳和发现能反映出我们的应用数学、发展数学和进行数学创新的意识和能力．这类试题意在检测我们的“数学化”能力以及驾驭数学的创新意识和才能．基础自测1．(2010·深圳)观察下列算式，21＝2,22＝4,23＝8,24＝16,25＝32,26＝64,27＝128,28＝256，…，用你所发现的规律得出22010的末位数字是()A．2B．4C．6D．8解析末位数字的规律是2,4,6,8；因为2010＝4×502＋2，所以22010与22的未位数字相同．B2．(2011·滨州)在快速计算法中，法国的“小九九”从“一一得一”到“五五二十五”和我国的“小九九”算法是完全一样的，而后面“六到九”的运算就改用手势了．如计算8×9时，左手伸出3根手指，右手伸出4根手指，两只手伸出手指数的和为7，未伸出手指数的积为2，则8×9＝10×7＋2＝72.那么在计算6×7时，左、右手伸出的手指数应该分别为()A．1,2B．1,3C．4,2D．4,3解析左手伸出1根手指，右手伸出2根手指，两只手伸出指数的和为3，未伸出手指数的积为4×3＝12，则6×7＝10×3＋12＝42.A3．为确保信息安全，信息需要加密传输，发送方由明文→密文(加密)，接收方由密文→明文(解密)．已知加密规则为：明文a，b，c对应的密文a＋1,2b＋4,3c＋9.例如明文1,2,3对应的密文2,8,18.如果接收方收到密文7,18,15，则解密得到的明文为()A．4,5,6B．6,7,2C．2,6,7D．7,2,6解析a＋1＝7,2b＋4＝18,3c＋9＝15，可得a＝6，b＝7，c＝2.B4．为了求1＋2＋22＋23＋…＋22008的值，可令S＝1＋2＋22＋23＋…＋22008，则2S＝2＋22＋23＋24＋…＋22009，因此2S－S＝22009－1，所以1＋2＋22＋23＋…＋22008＝22009－1.仿照以上推理计算出1＋5＋52＋53＋…＋52009的值是()A．52009－1B．52010－1C.52009－14D.52010－14解析S＝1＋5＋52＋53＋…＋52009，则5S＝5＋52＋53＋54＋…＋52010，因此5S－S＝52010－1，所以S＝52010－14.答案D5．(2011·永州)对点(x，y)的一次操作变换记为P1(x，y)，定义其变换法则如下：P1(x，y)＝(x＋y，x－y)；且规定Pn(x，y)＝P1(Pn－1(x，y))(n为大于1的整数)．如P1(1,2)＝(3，－1)，P2(1,2)＝P1(P1(1,2))＝P1(3，－1)＝(2,4)，P3(1,2)＝P1(P2(1,2))＝P1(2,4)＝(6，－2)．则P2011(1，－1)＝()A．(0,21005)B．(0，－21005)C．(0，－21006)D．(0,21006)解析P1(1，－1)＝(0,2)，P2(1，－1)＝(2，－2)，P3(1，－1)＝(0,4)，P4(1，－1)＝(4，－4)，P5(1，－14)＝(0,8)，P6(1，－1)＝(8，－8)，…….当n为奇数时，Pn(1，－1)＝(0,2n＋12)，∴P2011(1，－1)应为(0,21006).答案D【例1】在平面几何中，我们可以证明：周长一定的多边形中，正多边形的面积最大．使用上面的事实，解答下面的问题：现有长度分别为2、3、4、5、6(单位：cm)的五根木棒围成一个三角形(允许连接，但不允许折断)，那么在能够围成的三角形中，最大面积的是多少cm2?题型分类深度剖析题型一应用型(阅读—理解—建模—应用)解如图①，AB＝6，AC＝2＋4＝6，BC＝3＋5＝8，过A画AM⊥BC于M，则BM＝12BC＝4.在Rt△ABM中，AM＝62－42＝20＝25.∴S△ABC＝12BC·AM＝12×8×25＝85；如图②，DE＝2＋5＝7，DF＝3＋4＝7，EF＝6.过D画DN⊥EF于N，则EN＝12EF＝3.在Rt△DEN中，DN＝72－32＝40＝210.∴S△DEF＝12EF·DN＝12×6×210＝610.∵320360，即85610，∴S△ABCS△DEF.即两腰为7，底边为6的三角形的面积最大，最大面积是610cm2.探究提高本题先给出一段文字，要求在阅读的基础，理解其中的内容、方法和思想，然后研究并应用．知能迁移1阅读材料：把形如ax2＋bx＋c的二次三项式(或其一部分)配成完全平方式的方法叫做配方法．配方法的基本形式是完全平方公式的逆写，即a2±2ab＋b2＝(a±b)2.例如：(x－1)2＋3，(x－2)2＋2x，12x－22＋34x2是x2－2x＋4的三种不同形式的配方(即“余项”分别是常数项、一次项、二次项．请根据阅读材料解决下列问题：(1)比照上面的例子，写出x2－4x＋2三种不同形式的配方；(2)将a2＋ab＋b2配方(至少两种形式)；(3)已知a2＋b2＋c2－ab－3b－2c＋4＝0，求a＋b＋c的值．解(1)x2－4x＋2＝(x2－4x＋4)－2＝(x－2)2－2；x2－4x＋2＝(x2－22x＋2)＋(22－4)x＝(x－2)2＋(22－4)x；x2－4x＋2＝(2x2－4x＋2)－x2＝2(x－1)2－x2.(2)a2＋ab＋b2＝(a2＋ab＋14b2)＋34b2＝(a＋12b)2＋34b2；a2＋ab＋b2＝34a2＋(14a2＋ab＋b2)＝34a2＋(12a＋b)2.(3)∵a2＋b2＋c2－ab－3b－2c＋4＝0，∴(a－12b)2＋34(b－2)2＋(c－1)2＝0，从而a－12b＝0，且b－2＝0，且c－1＝0，∴a＝1，b＝2，c＝1，∴a＋b＋c＝1＋2＋1＝4.题型二猜想型(阅读—理解—归纳—验证)【例2】(2009·龙岩)阅读下列材料：正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，以格点为顶点的三角形叫格点三角形．数学老师给小明同学出了一题目：在图1正方形网格(每个小正方形边长为1)中画出格点△ABC，使AB＝AC＝5，BC＝2.图1图2小明同学的做法是：由勾股定理，得AB＝AC＝22＋12＝5，BC＝12＋12＝2，于是画出线段AB、AC、BC，从而画出格点△ABC.(1)请你参考小明同学的做法，在图2正方形网格(每个小正方形边长为1)中画出格点△A′B′C′(A′点位置如图所示)，使A′B′＝A′C′＝5，B′C′＝10；(直接画出图形，不写过程)(2)观察△ABC与△A′B′C′的形状，猜想∠BAC与∠B′A′C′有怎样的数量关系，并证明你的猜想．解(1)正确画出△A′B′C′(画出其中一种情形即可)．(2)猜想∠BAC＝∠B′A′C′.证明：∵ABA′B′＝ACA′C′＝55，BCB′C′＝210＝55，∴ABA′B′＝ACA′C′＝BCB′C′.∴△ABC∽△A′B′C′.∴∠BAC＝∠B′A′C′.探究提高在仔细阅读之后，正确理解题意，理解其中的内容、方法和思想，阅读特殊范例，推出一般结论．知能迁移2(2011·永州)探究问题：(1)方法感悟：如图①，在正方形ABCD中，点E、F分别为DC、BC边上的点，且满足∠EAF＝45°，连接EF，求证DE＋BF＝EF.感悟解题方法，并完成下列填空：将△ADE绕点A顺时针旋转90°得到△ABG，此时AB与AD重合，由旋转可得：AB＝AD，BG＝DE,∠1＝∠2，∠ABG＝∠D＝90°，∴∠ABG＋∠ABF＝90°＋90°＝180°，因此，点G、B、F在同一条直线上．∵∠EAF＝45°，∴∠2＋∠3＝∠BAD－∠EAF＝90°－45°＝45°.∵∠1＝∠2，∴∠1＋∠3＝45°，即∠GAF＝∠________.又AG＝AE，AF＝AF，∴△GAF≌________.∴________＝EF，故DE＋BF＝EF.(2)方法迁移：如图②，将Rt△ABC沿斜边翻折得到△ADC，点E、F分别为DC，BC边上的点，且∠EAF＝12∠DAB.试猜想DE、BF、EF之间有何数量关系，并证明你的猜想．(3)问题拓展：如图③，在四边形ABCD中，AB＝AD，E、F分别为DC、BC上的点，满足∠EAF＝12∠DAB，试猜想当∠B与∠D满足什么关系时，可使得DE＋BF＝EF.请直接写出你的猜想．(不必说明理由)解(1)EAF；△EAF；GF.(2)DE＋BF＝EF，理由如下：假设∠BAD的度数为m°，将△ADE绕点A顺时针旋转m°得到△ABG，此时AB与AD重合，由旋转可得：AB＝AD，BG＝DE,∠1＝∠2，∠ABG＝∠D＝90°，∴∠ABG＋∠ABF＝90°＋90°＝180°，因此，点G、B、F在同一条直线上．∵∠EAF＝12m°，∴∠2＋∠3＝∠BAD－∠EAF＝m°－12m°＝12m°.∵∠1＝∠2，∴∠1＋∠3＝12m°.即∠GAF＝∠EAF.又AG＝AE，AF＝AF，∴△GAF≌△EAF.∴GF＝EF.又∵GF＝BG＋BF＝DE＋BF，∴DE＋BF＝EF.(3)当∠B与∠D互补时，可使得DE＋BF＝EF.题型三概括型(阅读—理解—概括—表达)【例3】(2010·玉溪)(1)AB平行于CD.如图a，点P在AB、CD外部时，由AB∥CD，有∠B＝∠BOD，又因∠BOD是△POD的外角，故∠BOD＝∠BPD＋∠D，得∠BPD＝∠B－∠D.如图b，将点P移到AB、CD内部，以上结论是否成立？若不成立，则∠BPD、∠B、∠D之间有何数量关系？请证明你的结论；(2)在图b中，将直线AB绕点B逆时针方向旋转一定角度交直线CD于点Q，如图c，则∠BPD、∠B、∠D、∠BQD之间有何数量关系？(不需证明)(3)根据(2)的结论求图d中∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F的度数．解题示范——规范步骤，该得的分，一分不丢！解：(1)不成立，结论是∠BPD＝∠B＋∠D.延长BP交CD于点E，∵AB∥CD，∴∠B＝∠BED.又∠BPD＝∠BED＋∠D，∴∠BPD＝∠B＋∠D.[4分](2)结论：∠B