初中数学思想方法篇——数形结合

1新梦想教育中高考名校冲刺教育中心【老师寄语：每天进步一点点，做最好的自己】解题思想之数形结合一、注解：数形结合思想指将数量与图形结合起来，对题目中的给定的题设和结论既进行代数方面的分析，又从几何含义方面进行分析，将抽象的数学语言与直观的图形结合起来，使抽象思维与形象思维相结合，也可以使图形的性质通过数量之间的计算与分析，达到更加完整、严密和准确。在解决数学问题的过程时要善于由形思数，由数思形，数形结合，通过数量与图形的转化，把数的问题利用图形直观的表示出来，力图找到解题思路。数形结合是数学学习的一个重要方法，通常与平面直角坐标系，数轴及其他数学概念同时使用。二、实例运用：1.在实数中的运用【例1】如图，在所给数轴上表示出实数—3，—1，2的点，并把这组数从小到大用“＜”连接。【例2】已知a＜0，b＜0，且a＜b，则（）A—b＞—aB—b＞aC—a＞bDb＞a2.在不等式中的运用【例3】不等式组2030xx的正整数解的个数为（）A1个B2个C3个D4个【例4】关于x的不等式组5210xxa无解，则a的取值范围是。3.在方程（组）中的运用【例5】利用图像法解方程组24212xyxy24.在函数中的运用【例6】某水电站的蓄水池有2个进水口和1个出水口，每个进水口进水量与时间的关系如图甲所示，出水口出水量与时间的关系如图乙所示。已知某天0点到6点进行机组试运行，试机时至少打开一个水口，且该水池的蓄水量与时间的关系如图丙所示。给出三个判断：（1）0点到3点，只进水不出水；（2）3点到4点，不进水只出水；（3）4点到6点，不进水不出水。则以上判断正确的是（）A（1）B（2）C（2）（3）D（1）（2）（3）【例7】已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则在（1）a＜0,（2）b＞0（3）c＜0（4）b2-4ac＞0中，正确的判断是（）A（1）（2）（3）（4）B（4）C（1）（2）（3）D（1）（4）5.在统计与概率中的运用【例8】近年来，某市旅游业蓬勃发展，吸引了大批海内外游客前来观光，下面两图分别反映了该市2001—2004年旅客总人数和旅游业总收入的情况。根据统计图回答下列问题：（1）2004年游客总人数为万人次，旅游业总收入为万元。（2）在2002年、2003年、2004年这三年中，旅游业总收入增长最大的是年，这一年的旅游业总收入比上一年增长的百分率是（精确到0.1%）。（3）2004年的游客中，国内的游客为1200万人次，其余为海外游客，国内游客的人均消费约为700元，问海外游客的人均消费为多少元？2001—2004年游客总人数统计图2001年—2004年旅游业总收入统计图6.在探究规律中的运用【例9】如图是小张用火柴搭的1条、2条、3条……“金鱼”。则搭n条“金鱼”需要火柴根。三、随堂练习31、a、b、c在数轴上的位置如图所示：且︱a︱=︱b︱，︱c－a︱＋︱c－b︱＋︱a＋b︱=_________________。2、实数a、b在数轴上的位置如图所示：化简2a＋∣a－b∣=_________________。3、已知在坐标平面中，点P到x轴的距离是2，到y轴的距离是3，则P点的坐标是_________________。4、已知点M(1-a，a+2)在第二象限，则a的取值范围是（）Aa－2B－2a1Ca－2Da15、在频率分布直方图中，小长方形的面积等于（）A相应各组的频数B组数C相应各组的频率D组距6、等腰梯形两底之差等于一腰的长，则它的腰与下底的夹角是_________________。7、等腰梯形中位线长为a，对角线互相垂直则此梯形的面积是_________________。8、已知⊙O的半径为25cm，⊙O的两条平行弦AB=40cm，CD=48cm，求这两条平行弦间的距离是_________________。9、若等腰三角形的底角为150，腰长为5㎝，则腰上的高为_________________。10、若三角形的三边都为整数，周长为11，且有一边为4，则这个三角形的另两边的长可能是_________________。11、如图，在△ABC中，∠C=090,AB的垂直平分线交AC于D，垂足为E，若∠A=30o，DE=4㎝，求∠DBC的度数和CD的长。4四、课后练习选择题：1、“数轴上的点并不都表示有理数，如图中数轴上的点表示的数是”，这种说明问题的方式体现的数学思想叫做（）A代入法B换元法C数形结合D分类讨论2、实数a，b在数轴上的未知如图所示，那么化简的结果是（）A2a-bBbC–bD-2a+b3、若M(12,y1),N(14,y2),P(12,y3)三点都在函数kyx（k0）的图象上，则y1，y2，y3的大小关系为（）Ay2＞y3＞y1By2＞y1＞y3Cy3＞y1＞y2Dy3＞y2＞y14、能表示如图所示的一次函数图象的解析式是（）Ay=2x+2By=-2x-2Cy=-2x+2Dy=2x-25、如果等腰三角形的底角是30°，腰长为6cm，那么这个三角形的面积是（）A4.5cm2B93cm2C183cm2D36cm26、“龟兔赛跑”讲诉了这样的故事：领先的兔子看着爬行缓慢的乌龟，骄傲起来，睡了一觉，当它醒来时，发现乌龟快到终点了，于是急忙追赶，但为时已晚，乌龟还是最先到达终点。用s1，s2分别表示乌龟和兔子所行的路程s，用t表示时间，则下列图象与故事情节吻合的是（）7、在平面直角坐标系中，A（1，2）点的横坐标乘以-1，纵坐标不变，得到点B，则A与B两点的关系是（）A关于x轴对称B关于y轴对称C关于原点对称D将A向x轴负方向平移一个单位8、已知⊙O1和⊙O2的半径分别是5和2，O1O2=3,则两圆的位置关系为（）A外离B外切C相交D内切9、小华设计了个仪器测定圆的直径，标有刻度的尺子OA,OB在O点钉在一起，并使它们保持垂直，在测直径时，把O点靠在圆周上，读得刻度OE=8个单位，OF=6个单位。则圆的直径为（）A12个单位B10个单位C4个单位D15个单位10、如图是甲乙两个家庭全年支出费用的扇形统计图，则下列关于两家全年对食品支出的费用中，判断正确的是（）A甲户比乙户多B乙户比甲户多C两户一样多D无法确定哪家多填空题：1、如图是某校四个年级男女生人数的条形统计图，则学生最5多的年级是。2、近年来某市不断加大对城市绿化的经济投入，使全市绿化面积不断增加，从2002年底到2004年底城市绿地面积变化如图所示，那么绿地面积的平均增长率是。3、抛物线y=ax2+bx+c的图象如图，则它关于y轴对称的抛物线的解析式是。5、如图是根据某地近两年6月上旬日平均气温绘制的折线统计图，由图可知，这两年6月上旬气温比较稳定的年份是。6、如图是由边长为a和b的两个正方形组成的图形，可以通过用不同的方法计算阴影部分的面积，可以验证的公式是。解答题：1、阅读下列材料：点A，B在数轴上分别表示实数a，b。A，B两点之间的距离表示为，当AB两点中有一点是原点时，不妨设A点在原点，如图（1），ABOBbab同理，当点B在原点时，ABOAaab当A，B都不在原点时，①如图（2），点A，B都在原点的左边，ABOBOAbaab②如图（3），点A，B都在原点的右边，()ABOAOBbabaab③如图（4）点A，B分别在原点的两边，()ABOAOBababab回答下列问题：（1）数轴上表示2和5的两点之间的距离是，数轴上表示-2和-5的两点之间的距离是。数轴上表示1和-3的两点之间的距离是。（2）数轴上表示x和-1的两点之间的距离是。如果=2，那么x为。（3）当代数式取最小值时，相应的x的取值范围是。62、某储水塔在工作期间，每小时的进水量和出水量都是固定不变的，每日从凌晨4点到8点，只进水不出水；8点到12点既进水又出水；14点到凌晨只出水不进水。经测定，水塔的储水量y（立方米）与时间x（小时）的关系如图。（1）求每小时的进水量；（2）当8≤x≤12时，求y与x之间的函数关系；（3）当14≤x≤16时，求y与x之间的函数关系。3、如图是某班学生外出乘车、步行和骑车的人数分布直方图和扇形分布图。根据统计图回答：（1）求该班有多少学生？（2）补上分布图中空缺的部分。（3）在扇形统计图中，求骑车人数所占圆心角的度数。（4）若全年级有500人，估计该年级步行人数。4、如图，抛物线y=x2+bx+c与x轴的负半轴相交于A，B两点，与y轴的正半轴相交于C点，与双曲线6yx的一个交点是（1，m），且OA=OC。求抛物线的解析式。