《导数及其应用》单元测试题(理科)

《导数及其应用》单元测试题（理科）（满分150分时间：120分钟）一、选择题（本大题共8小题，共40分，只有一个答案正确）1．函数22)(xxf的导数是（）(A)xxf4)((B)xxf24)((C)xxf28)((D)xxf16)(2．函数xexxf)(的一个单调递增区间是（）(A)0,1(B)8,2(C)2,1(D)2,03．已知对任意实数x，有()()()()fxfxgxgx，，且0x时，()0()0fxgx，，则0x时（）A．()0()0fxgx，B．()0()0fxgx，C．()0()0fxgx，D．()0()0fxgx，4．dxxxx)111(3221（）(A)872ln(B)872ln(C)452ln(D)812ln5．曲线12exy在点2(4e)，处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（）Ａ．29e2Ｂ．24eＣ．22eＤ．2e6．设()fx是函数()fx的导函数，将()yfx和()yfx的图象画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是（）7．已知二次函数2()fxaxbxc的导数为'()fx，'(0)0f，对于任意实数x都有()0fx，则(1)'(0)ff的最小值为（）A．3B．52C．2D．328．设2:()eln21xpfxxxmx在(0)，内单调递增，:5qm≥，则p是q的（）Ａ．充分不必要条件Ｂ．必要不充分条件Ｃ．充分必要条件Ｄ．既不充分也不必要条件二．填空题（本大题共6小题，共30分）9．用长为18cm的钢条围成一个长方体形状的框架，要求长方体的长与宽之比为2：1，则该长方体的长、宽、高各为时，其体积最大.10．将抛物线22xy和直线1y围成的图形绕y轴旋转一周得到的几何体的体积等于11．已知函数3()128fxxx在区间[3,3]上的最大值与最小值分别为,Mm，则Mm＿＿．12．对正整数n，设曲线)1(xxyn在x＝2处的切线与y轴交点的纵坐标为na，则数列1nan的前n项和的公式是13．点P在曲线323xxy上移动，设在点P处的切线的倾斜角为为，则的取值范围是14．已知函数53123axxxy(1)若函数在,总是单调函数，则a的取值范围是.(2)若函数在),1[上总是单调函数，则a的取值范围.（3）若函数在区间（-3，1）上单调递减，则实数a的取值范围是.三．解答题（本大题共6小题，共12+12+14+14+14+14=80分）15．设函数()eexxfx．（1）证明：()fx的导数()2fx≥；（2）若对所有0x≥都有()fxax≥，求a的取值范围．16．设函数3()32fxxx分别在12xx、处取得极小值、极大值.xoy平面上点AB、的坐标分别为11()xfx（,）、22()xfx（,），该平面上动点P满足•4PAPB,点Q是点P关于直线2(4)yx的对称点，.求(1)求点AB、的坐标；(2)求动点Q的轨迹方程.17．已知函数cbxxaxxf44ln)((x0)在x=1处取得极值-3-c，其中a,b,c为常数。（1）试确定a,b的值；（2）讨论函数f(x)的单调区间；（3）若对任意x0，不等式22)(cxf恒成立，求c的取值范围。18．已知Raxxaaxxf14)1(3)(23（1）当1a时，求函数的单调区间。（2）当Ra时，讨论函数的单调增区间。（3）是否存在负实数a，使0,1x，函数有最小值－3？19．已知函数3()3.fxxx（1）求曲线()yfx在点2x处的切线方程；（2）若过点(1,)(2)Amm可作曲线()yfx的三条切线，求实数m的取值范围.20．已知函数2afxxx，lngxxx，其中0a．（1）若1x是函数hxfxgx的极值点，求实数a的值；（2）若对任意的12,1xxe，（e为自然对数的底数）都有1fx≥2gx成立，求实数a的取值范围．理科测试解答一、选择题1．,42)(222xxxfxxf242)(xxf28)(;或24222)(xxxxfx28（理科要求：复合函数求导）2．.)(xxexexxf21)(xxxeexexf，1,012xeexxx选(A)或.1,0.0)1(11)(xeexexexfxxxx3.(B)数形结合4．（D）5．（D）6．（D）7．（C）8．（B）二、填空题9．2cm,1cm,1.5cm;设长方体的宽为x（m），则长为2x(m)，高为230(m)35.441218＜＜xxxh.故长方体的体积为).230()(m69)35.4(2)(3322＜＜xxxxxxV从而).1(18)35.4(1818)(2xxxxxxV令V′（x）＝0，解得x=0（舍去）或x=1，因此x=1.当0＜x＜1时，V′（x）＞0；当1＜x＜32时，V′（x）＜0，故在x=1处V（x）取得极大值，并且这个极大值就是V（x）的最大值。从而最大体积V＝V′（x）＝9×12-6×13（m3），此时长方体的长为2m，高为1.5m.10．.dyxS102.012210ydyy（图略）11．3212．/11222,:222(2)nnnxynynx切线方程为，令x=0，求出切线与y轴交点的纵坐标为012nyn，所以21nnan，则数列1nan的前n项和12122212nnnS13.,432,014.(1).3)3(;3)2(;1aaa三、解答题15．解：（1）()fx的导数()eexxfx．由于ee2ee2x-xxx≥，故()2fx≥．（当且仅当0x时，等号成立）．（2）令()()gxfxax，则()()eexxgxfxaa，（ⅰ）若2a≤，当0x时，()ee20xxgxaa≥，故()gx在(0)，∞上为增函数，所以，0x≥时，()(0)gxg≥，即()fxax≥．（ⅱ）若2a，方程()0gx的正根为214ln2aax，此时，若1(0)xx，，则()0gx，故()gx在该区间为减函数．所以，1(0)xx，时，()(0)0gxg，即()fxax，与题设()fxax≥相矛盾．综上，满足条件的a的取值范围是2∞，．16．解：（1）由题意知(1)3fc，因此3bcc，从而3b．又对()fx求导得3431()4ln4fxaxxaxbxx3(4ln4)xaxab．由题意(1)0f，因此40ab，解得12a．（2）由（I）知3()48lnfxxx（0x），令()0fx，解得1x．当01x时，()0fx，此时()fx为减函数；当1x时，()0fx，此时()fx为增函数．因此()fx的单调递减区间为(01)，，而()fx的单调递增区间为(1)，∞．（3）由（II）知，()fx在1x处取得极小值(1)3fc，此极小值也是最小值，要使2()2fxc≥（0x）恒成立，只需232cc≥．即2230cc≥，从而(23)(1)0cc≥，解得32c≥或1c≤．所以c的取值范围为3(1]2，，17．解:(1)令033)23()(23xxxxf解得11xx或当1x时,0)(xf,当11x时,0)(xf,当1x时,0)(xf所以,函数在1x处取得极小值,在1x取得极大值,故1,121xx,4)1(,0)1(ff所以,点A、B的坐标为)4,1(),0,1(BA.(2)设),(nmp，),(yxQ，4414,1,122nnmnmnmPBPA21PQk，所以21mxny，又PQ的中点在)4(2xy上，所以4222mxny消去nm,得92822yx.另法：点P的轨迹方程为,9222nm其轨迹为以（0，2）为圆心，半径为3的圆；设点（0，2）关于y=2(x-4)的对称点为(a,b),则点Q的轨迹为以(a,b),为圆心，半径为3的圆，由2102ab，420222ab得a=8,b=-218（1）,2,x或,,2x)(xf递减;,2,2x)(xf递增;（2）1、当,0a,2,x)(xf递增;2、当,0a,2,2ax)(xf递增;3、当,10a,2,x或,,2ax)(xf递增;当,1a,,x)(xf递增;当,1a,2,ax或,,2x)(xf递增;（3）因,0a由②分两类（依据：单调性，极小值点是否在区间[-1,0]上是分类“契机”：1、当,2,12aa,2,20,1ax)(xf递增，3)1()(minfxf，解得,243a2、当,2,12aa由单调性知：3)2()(minafxf，化简得：01332aa，解得,26213a不合要求；综上，43a为所求。19．解（1）23()33,(2)9,(2)2322fxxff………………………2分∴曲线()yfx在2x处的切线方程为29(2)yx，即9160xy；………4分（2）过点(1,)Am向曲线()yfx作切线，设切点为00(,)xy则32000003,()33.yxxkfxx则切线方程为320000(3)(33)()yxxxxx………………………………………6分整理得32002330(*)xxm∵过点(1,)(2)Amm可作曲线()yfx的三条切线∴方程（*）有三个不同实数根.记322()233,()666(1)gxxxmgxxxxx令()0,0gxx或1.…………………………………………………………10分则,(),()xgxgx的变化情况如下表x(,0)0(0,1)1(1,)()gx00()gx极大极小当0,()xgx有极大值3;1,()mxgx有极小值2m.………………………12分由()gx的简图知，当且仅当(0)0,(1)0gg即30,3220mmm时，函数()gx有三个不同零点，过点A可作三条不同切线.所以若过点A可作曲线()yfx的三条不同切线，m的范围是(3,2).…………14分20．（1）解法1：∵22lnahxxxx，其定义域为0，，∴2212ahxxx．∵1x是函数hx的极值点，∴10h，即230a．∵0a，∴3a．经检验当3a时，1x是函数hx的极值点，∴3a．解法2：∵22lnahxxxx，其定义域为0，，∴2212ahxxx．令0hx，即22120axx，整理，得2220xxa．∵2180a，∴0hx的两个实根211184ax（舍去），221184ax，当x变化时，hx，hx的变化情况如下表：x20,x2x2,xhx—0＋hx极小值依题意，211