最新精选2019高中数学单元测试《导数及其应用》专题考核题完整版(含答案)

2019年高中数学单元测试卷导数及其应用学校：__________姓名：__________班级：__________考号：__________一、选择题1．已知直线y=x+1与曲线yln()xa相切，则α的值为(B)(A)1(B)2(C)-1(D)-2（2009全国卷Ⅰ理）2．设函数()fx在R上可导，其导函数为,()fx，且函数)(')1(xfxy的图像如题（8）图所示，则下列结论中一定成立的是（A）函数()fx有极大值(2)f和极小值(1)f（B）函数()fx有极大值(2)f和极小值(1)f（C）函数()fx有极大值(2)f和极小值(2)f（D）函数()fx有极大值(2)f和极小值(2)f3．设曲线11xyx在点(32)，处的切线与直线10axy垂直，则a________二、填空题4．对于三次函数32()(0)fxaxbxcxda，给出定义：设'()fx是函数()yfx的导数，''()fx是函数'()fx的导数，若方程()0fx有实数解000,(,())xxfx则称点为函数()yfx的“拐点”.某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心.给定函数32115()33212fxxxx，则1232012()()()()2013201320132013ffff=__.20125．函数32,,fxxaxbxcabcR在区间1,0上是单调减函数，则22ab的最小值为▲6．（文科做）曲线cosyx在点（π3,62）处的切线的斜率为▲．7．已知2112{|lg0},{|222,}xMxxNxxZ,则MN=．8．若曲线2fxaxInx存在垂直于y轴的切线，则实数a的取值范围是.解析9．函数32)21()(xxxf的单调减区间为),21(．10．已知函数)(xf的导数))(2()(/axxaxf,且)(af是其极大值,则实数a的取值范围是___________.11．在平面直角坐标系xoy中，点P在曲线3:103Cyxx上，且在第二象限内，已知曲线C在点P处的切线的斜率为2，则点P的坐标为.12．已知函数2lnbxxaxf图象上一点P（2，f(2)）处的切线方程为22ln23xy，则ab______3_____.13．给出下列图象其中可能为函数f(x)＝x4＋ax3＋bx2＋cx＋d(a，b，c，d∈R)的图象的是_____．Oxy①Oxy②Oxy③①Oxy④三、解答题14．设函数f(x)＝a3x3＋bx2＋cx＋d(a0)，且方程f′(x)－9x＝0的两个根分别为1,4.(1)当a＝3且曲线y＝f(x)过原点时，求f(x)的解析式；(2)若f(x)在(－∞，＋∞)内无极值点，求a的取值范围．[解析]本题考查了函数与导函数的综合应用．由f(x)＝a3x3＋bx2＋cx＋d得f′(x)＝ax2＋2bx＋c∵f′(x)－9x＝ax2＋2bx＋c－9x＝0的两根为1,4.(1)当a＝3时，由(*)式得，解得b＝－3，c＝12.又∵曲线y＝f(x)过原点，∴d＝0.故f(x)＝x3－3x2＋12x.(2)由于a0，所以“f(x)＝a3x3＋bx2＋cx＋d在(－∞，＋∞)内无极值点”等价于“f′(x)＝ax2＋2bx＋c≥0在(－∞，＋∞)内恒成立”由(*)式得2b＝9－5a，c＝4a.又∵Δ＝(2b)2－4ac＝9(a－1)(a－9)解得a∈[1,9]，即a的取值范围[1,9]．15．某地政府为科技兴市，欲将如图所示的一块不规则的非农业用地规划建成一个矩形高科技工业园区。已知ABBCOABC，//，且ABBCAOkm24，曲线段OC是以点O为顶点且开口向右的抛物线的一段。如果要使矩形的相邻两边分别落在AB、BC上，且一个顶点落在曲线段OC上，问应如何规划才能使矩形工业园区的用地面积最大？并求出最大的用地面积（精确到0.1km2）16．试题编号=5451．设函数2()()fxxxa（xR），其中aR．(Ⅰ）当1a时，求曲线()yfx在点(2(2))f，处的切线方程；(Ⅱ）当0a时，求函数()fx的极大值和极小值；关键字；多项式函数；含参函数；求一点处的切线方程；求函数的极值；分类讨论；能因式分解17．已知函数21()2ln()fxxxxx，()fx的导数是()fx．(Ⅰ）当0≤时，求证：对于任意的两个不等的正数x1，x2，有1212()()()22fxfxxxf；(Ⅱ）对于任意的两个不等的正数x1，x2，1212()()fxfxxx恒成立，求的取值范围．18．某工厂生产某种儿童玩具，每件玩具的成本为30元，并且每件玩具的加工费为t元（其中t为常数，且25t），设该工厂每件玩具的出厂价为x元（3541x），根据市场调查，日销售量与xe（e为自然对数的底数）成反比例，当每件玩具的出厂价为40元时，日销售量为10件.(Ⅰ）求该工厂的日利润y(元)与每件玩具的出厂价x元的函数关系式；(Ⅱ）当每件玩具的日售价为多少元时，该工厂的利润y最大，并求y的最大值.18．19．已知函数2()(2ln),(0)fxxaxax，讨论()fx的单调性.20．已知函数()()xfxxcxR（Ⅰ）求函数()fx的单调区间和极值；（Ⅱ）已知函数()ygx的图象与函数()yfx的图象关于直线1x对称，证明当1x时，()()fxgx（Ⅲ）如果12xx，且12()()fxfx，证明122xx【解析】本小题主要考查导数的应用，利用导数研究函数的单调性与极值等基础知识，考查运算能力及用函数思想分析解决问题的能力，满分14分（Ⅰ）21．已知函数2222()2()21tfxxtxxxt，1()()2gxfx．(I）证明：当22t时，()gx在R上是增函数；(II）对于给定的闭区间[]ab，，试说明存在实数k，当tk时，()gx在闭区间[]ab，上是减函数；(III）证明：3()2fx≥．（辽宁理本小题满分12分）22．已知函数1()ln(1)(2).1afxxaxax（1）当曲线()yfx在(1,(1))f处的切线与直线:21lyx平行时，求a的值；（2）求函数()yfx的单调区间.23．设函数1()=ln.fxxxa其中a为常数，0a(1)当1a时，求()fx的最小值；(2)若(0,)x，恒有()1fx成立，求实数a的取值集合；（3）设常数b、0,c且bc，点(,())Abfb、(,())Bcfc在函数()fx的图像上，直线AB的斜率为k.问：是否存在0(,)xbc，使f'0()xk成立？若存在，求出0x的取值范围；若不存在，请说明理由.解（1）当1a时，'1()101fxxx列表如下x(0,1)1(1,)'()fx—0+'()fx1()=(1)1fxf最小值（4分）（2）'111()10axfxxaxaxa列表如下：x1(0,)a1a1(,)a'()fx—0+'()fx111lnaaa由题意，111ln1,ln1aaaaa，（6分），由（1），当0a，ln1aa，ln1aa（8分）又由①知当且仅当1x时()1fx，1a，a的取值的集合为{1}（10分）（3）()()1lnln1fbfcbckbcabc，而'0011fxax，由'0fxk得0lnlnbcxbc（13分），由（1）知当0t且1t时，ln1,tt0,ln1,ln1,bbccbcccbb从而lnlnbcbcbc（15分）0lnlnbcxcbc为所求（16分）（二）分离参数法24．已知函数)ln()(axxxf的最小值为0，其中.0a（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）若对任意的),,0[x有)(xf≤2kx成立，求实数k的最小值；（Ⅲ）证明nini12)12ln(122（*Nn）.【2012高考真题天津理20】本小题满分14分）25．记函数*1,nnfxaxaRnN的导函数为nfx，已知3212f．(Ⅰ)求a的值．(Ⅱ)设函数2()()lnnngxfxnx，试问：是否存在正整数n使得函数()ngx有且只有一个零点？若存在，请求出所有n的值；若不存在，请说明理由．(Ⅲ)若实数0x和m(0m，且1m)满足：0101nnnnfxfmfxfm，试比较0x与m的大小，并加以证明．26．如图为河岸一段的示意图，一游泳者站在河岸的A点处，欲前往河对岸的C点处．若河宽BC为100m，A、B相距100m，他希望尽快到达C，准备从A步行到E（E为河岸AB上的点），再从E游到C．已知此人步行速度为v，游泳速度为0.5v，⑴设BEC，试将此人按上述路线从A到C所需时间T表示为的函数；并求自变量的取值范围；⑵当为何值时，此人从A经E游到C所需时间T最小，其最小值是多少？（本题满分16分）27．已知函数325()2fxxxaxb（,ab为常数），其图象是曲线C．（1）当2a时，求函数()fx的单调减区间；（2）设函数()fx的导函数为()fx，若存在唯一的实数0x，使得00()fxx与0()0fx同时成立，求实数b的取值范围；（3）已知点A为曲线C上的动点，在点A处作曲线C的切线1l与曲线C交于另一点B，在点B处作曲线C的切线2l，设切线12,ll的斜率分别为12,kk．问：是否存在常数，使得21kk？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．(本小题满分16分)28．已知函数()lnfxxx，()lnagxxx，（0a）．ABECθ（1）求函数()gx的极值；（2）已知10x，函数11()()()fxfxhxxx，1(,)xx，判断并证明()hx的单调性；（3）设120xx，试比较12()2xxf与121[()()]2fxfx，并加以证明．29．设函数f(x)=ax3-(a+b)x2+bx+c，其中a＞0，b，c∈R．(1)若1()3f=0，求函数f(x)的单调增区间；(2)求证：当0≤x≤1时，|()fx|≤max{(0),(1)}ff．(注：max{a，b}表示a，b中的最大值)30．已知函数f(x)=ln(x+a)-x2-x在x=0处取得极值．(1)求实数a的值；(2)若关于x的方程，f(x)=bx25在区间[0，2]上恰有两个不同的实数根，求实数b的取值范围；(3)证明：对任意的正整数n，不等式ln211nnnn都成立．