通信原理U3答案

3.1设()()()cos2cYtXtftπθ=+，其中()Xt为平稳随机过程，均值为0，相关函数与功率谱密度分别为()XRτ，()XPf，且与θ统计独立。(1)若θ在()0,2π均匀分布，求()Yt的均值、相关函数和功率谱密度；(2)若θ为常数，求()Yt的均值、相关函数，并说明()Yt是否平稳。解：(1)(){}()(){}(){}(){}()()(){}()()()(){}()(){}()(){}()()(){}()()(){}{}()1cos222cos2cos20cos2cos2cos2cos21cos2cos22221cos2cos2222cccYccccXXccXXccftEYtEXtftEXtEftREYtYtEXtftXtftEXtXtEftftREfftRfEftπτππθπθττπθτπτθτπθπτθτπτπτθτπτπτθ++=+=+==+=++++⎡⎤⎣⎦=++++⎡⎤⎣⎦=+++⎡⎤⎣⎦=+++⎡⎤⎣⎦Q()()()()()(){}()()(){}20201cos221414dYXcYXcXcYXcXcRRfPPPPfPffPffπθθττπτωωωωω=⎡⎤⎣⎦∫⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯→=⇒=−++=−++(2)(){}()(){}(){}()()()(){}()()()(){}()(){}()(){}()()(){}cos2cos20cos2cos2cos2cos21cos2cos2222ccYccccXXccEYtEXtftEXtftREYtYtEXtftXtftEXtXtftftRfftπθπθττπθτπτθτπθπτθτπτπτθ=+=+==+=++++⎡⎤⎣⎦=++++⎡⎤⎣⎦=+++⎡⎤⎣⎦因为()YRτ是时间t的周期函数，所以()Yt是循环平稳随机过程。()()()(){}()()22111cos2cos222cos222ccTYXXccXXcTcRRfftdtRfTττπτπτθτπτ−⎡⎤=+++=⎡⎤⎣⎦⎢⎥⎣⎦∫3.3设()Yt是白噪声通过题图3.3图所示电路的输出，求()Yt及其同相分量和正交分量的双边功率谱密度，并画出图形。解：白噪声()nt通过带通滤波器后的输出带通型噪声()int为()()()cossiniccscntnttnttωω=−输出带限噪声()int的复基带表示为()()()()()()()()()()()()()P.51ˆˆ,cossi(3.7.17)-(3.7.18)n,cossinˆcossincsiiLcscicicsicicnnncncntntjntntnttnttntnttnttRRRRωωωωτττωττωτ=+=+=−⇒==+参考教材()()()()()()()()111sgn1sgn22,csiiiinncnccncncnccPPPPPPωωωωωωωωωωωωωωωω==−−−++++⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦=−++≤白噪声()nt通过带通滤波器后的输出带通型噪声()int的同相分量和正交分量均为实基带信号。带限噪声()int的复基带信号通过微分电路后即为输出信号()Yt的复基带信号H(f)微分n(t)白噪声Y(t)-fcfcH(f)1BB()()()()()()()()(){}()(){}()()()()()()()()()()()()()()()(){}ˆ,ReRecossinˆˆˆcossin,cossincccccjtLLLcsjtjtLcsccscjtcscccsccnccdntYtYtjYteYtntjntdtYtYtentjnteYtnttnttntjntYtjYtentYttYttntYttYttREntntEωωωωωωωωωωττ−−′⎡⎤′′=+==+⎣⎦′′′′⇒==+⇒=−⎡⎤⎣⎦⎡⎤′′+=+⇒⎣⎦′′=+=−′′⇒=+=()()()()()(){}()()()()()()()()()()()()()()()()()()ˆˆˆˆˆˆ,,ˆˆˆˆcossincossincoscossinsincossinsincoscoscosYYYYYYYYcccccYccccYRRRRRRccccYYYYnYccYYttYttYttYttRttRttRttRttRRttRττττττωωτωττωττωωττωωττωωττωωτττωωττ===−′⎡⎤⎡⎤++++++⎣⎦⎣⎦=+++++++⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯→=++()()()()()()()sinsinˆˆcossinsincosˆcossinccYccYccYcYcttRttRttRRωωττωωττωωττωττωτ+++−+=+同理可以证明()()(){}()()ˆcossinsnssYcYcREntntRRτττωττωτ′′′=+=+因为白噪声()nt通过带通滤波器和微分器后的输出功率谱密度为()()22200,222222YccBBPHjffωωωωπωπ⎛⎞⎛⎞=⋅⋅=−≤≤+⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠所以带限噪声()int通过微分电路后输出信号()Yt的同相分量和正交分量()(),csntnt′′的功率谱密度为()()()()csnnYcYcPPPPωωωωωω′′==−++3.4设()()()()112200,TTnttdtnttdtξϕξϕ==∫∫，其中n(t)为高斯白噪声，()()12,ttϕϕ为确定函数。求{}12Eξξ，并说明12,ξξ统计独立的条件。解：{}()()()()()(){}()()(){}()()()()()121211221200212112212120001200TTTTTTnEEntntttdtdtEntntttdtdtEntttdtRttdtξξϕϕϕϕϕϕϕϕ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭===∫∫∫∫∫∫因为n(t)为高斯白噪声，()()12,ttϕϕ为确定函数，所以12,ξξ也是高斯随机变量，显然只要12,ξξ互不相关则可以保证12,ξξ统计独立，12,ξξ的互协方差函数为{}{}{}{}{}{}{}(){}(){}(){}(){}121211220012112212120,01211TTEEnttdtEEnttdtEEEEEEEξξξξξϕξϕξξξξξξξξξξσσσσξξσσ====−−=−⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦∫∫⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯→Q显然，当()(){}()1212000TttdtEϕϕξξ=⇒=∫时可以满足12,ξξ统计独立的条件。3.5设()()()cos2sin2ccscXtXtftXtftππ=−为窄带高斯平稳随机过程，其均值为零，方差为2xσ。信号cos2cAftπ叠加了噪声()Xt，经过题图3.5所示的相乘低通电路后的输出为()Yt，假设()(),csXtXt的带宽等于低通滤波器通频带。(1)若θ为常数，求输出信噪比；(2)若θ为高斯随机变量()20,σ，且与()Xt统计独立，求输出信噪比。解：()()()()()()()()()()()cos2cos2coscos4coscos422sin4sincoscossin2222cccccscsLPFcAftXtftXtAftftXtXtXtAftYtππθθπθθπθπθθθθθ++⎡⎤⎣⎦=+++++⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦−+−⎯⎯⎯→=++⎡⎤⎣⎦(1)θ为常数信号功率为22cos4Aθ噪声方差为LPF()()cos2cAftXtπ+Y(t)()cos2cftπθ+()()()()()()()()()(){}()()()222222222cossincossincossin222222cossinsin2444cossin110004444cscscscscscsXXXxXtXtXtXtXtXtDEEEXtEXtEXtXtRRRθθθθθθθθθθθσ⎧⎫⎧⎫⎡⎤⎧⎫⎪⎪+=+−+⎨⎬⎨⎬⎨⎬⎢⎥⎩⎭⎣⎦⎩⎭⎪⎪⎩⎭⎡⎤⎡⎤=++⎣⎦⎣⎦=+==对应的信噪比为222cosxAθσ(2)θ为高斯随机变量()20,σ，且与()Xt统计独立信号功率为{}()22222222221coscos14482AAAEedeθσσθθθπσ−∞−−∞==+∫噪声方差为()()()()()(){}(){}(){}()(){}{}(){}(){}{}(){}()2222222222222cossincossincossin222222cossinsin2444cossincossincossin0000444414cscscscscscsXXXXxXtXtXtXtXtXtDEEEEEEXtEXtEXtXtEEEEERRRRθθθθθθθθθθθθθθθσ⎧⎫⎧⎫⎡⎤⎧⎫⎪⎪+=+−+⎨⎬⎨⎬⎨⎬⎢⎥⎩⎭⎣⎦⎩⎭⎪⎪⎩⎭⎡⎤⎡⎤=++⎣⎦⎣⎦++=+===对应的信噪比为()222212xAeσσ−+3.6设()()dntytdt=，已知()nt是白噪声的样本函数，其均值为零，双边功率谱密度60210/WHz−=，另有一理想低通滤波器，其单边带宽10BHz=。(1)写出()yt的双边功率谱密度表达式；（2）计算()yt通过低通滤波器后的输出信号()oyt的平均功率值。解：(1)()220022yPjωωω==(2)()()()222002332002236230Re,22421122224344210100.026333ooyByBPctBBPdBBBWππωωωωωππωωππππππ−−⎛⎞==≤⎜⎟⎝⎠⎡⎤⇒==××−−⎣⎦==××××=∫3.10设均值为零，双边功率谱密度为02的高斯白噪声()nt通过线性网络()1Hf和()2Hf后的输出分别为()()12,ttξξ，如题图3.10所示。请问何种()1Hf和()2Hf可保证()()12,ttξξ统计独立。解：()()()()()()()(){}()()()()()()()()()(){}()()(){}()()()()112211221111122222121122121211221221212*,*,000ntnthttnthtEttEnhtdnhtdEnnhthtddEnnhthtddEnhthtdRhthtξξξξτττττττττττττττττττττττ∞∞−∞−∞∞∞−∞−∞∞∞−∞−∞∞−∞===⎧⎫⎡⎤⎡⎤⎪⎪⇒−−=⎨⎬⎢⎥⎢⎥⎪⎪⎣⎦⎣⎦⎩⎭⎧⎫⇒−−⎨⎬⎩⎭=−−=−−=−∫∫∫∫∫∫∫()()()()()()()()()()()()()()()122112121212001122110220jtjttjdhthtdhtHeddHhteddHheddHHdHHωτωτττωτττττττωωτωττωππωττωωωωππωω∞−∞∞−∞∞∞∞∞−−−∞−∞−∞−∞∞∞∞′′−=−∞−∞−∞−=⇒−−=⇒−=−′′⎯⎯⎯→=−=⇒−=∫∫∫∫∫∫∫∫∫H1(f)n(t)白噪声()1tξH2(f)()2tξ