容器设计问题的数学模型

容器设计问题的数学模型【摘要】本模型讨论的是容器的设计问题。生活中容器处处可见，花瓶、水瓶等等，比比皆是。一个容器的设计也是一门学问。对于一名生产者来说，其目标是“唯利是图”。关键在于：怎样在容器体积一定的情况下生产表面积最小的产品。这样子才能最省原材料，降低生产成本，带来更大的净利润。于生产来说，其考虑的并非只有省材料一个因素，还会考虑诸如容器外观等问题。本论文将抓住核心问题，仅从省材料的角度探讨容器设计问题。模型将会探讨试题中的三个问题，从一些相对理想的模型中探讨一种统一的方法解决问题。用到的知识为构造拉格朗日函数求极值，并用软件matlab7.0进行处理求解。11、问题重述（1）要设计一个上无盖的圆锥台形状的容器，上半径为R，下半径为rR，高为h。求容积为一正常数的条件下，使该容器的表面积达到最小时的两个比值r/R、h/R的精确值（用整数的有限四则及根式运算的最简形式表示）及他们精确到20位有效数字的近似值。（2）要设计一个上无盖的容器，由一个半径为R高为H的圆柱放在一个圆锥台上组成的。圆锥台的上半径为R，下半径为rR，高为h。求容积为一正常数的条件下，使该容器的表面积达到最小的三个比值r/R、h/R、H/R的精确值（意义同题（1））及他们精确到20位有效数字的近似值。（3）要设计一个上无盖的容器，是一个高为H，上半径为L，下半径为RL的圆锥台放在高为h，上半径为R，下半径为rR的圆锥台上组成的。求容积为一正常数的条件下，使该容器的表面积达到最小时的四个比值r/L、h/L、H/L、R/L的精确值及它们精确到20位有效数字的近似值。2、基本假设：（1）容器设计不考虑美观等诸多因素，即只从省原料的角度进行设计。（2）容器没有厚度。（3）只考虑简单的立体图形及其拼接组合容器的情况。3、符号说明：R-第一第二问中圆台的上半径，第三问中下面圆台的上半径、第三问中上面圆台的下半径r-第一第二问中圆台的下半径、第三问中下面圆台的下半径h-第一第二问中圆台的高度、第三问中下面圆台的高度H-第二问中圆柱的高度、第三问中上面圆台的高度L-第三问中上面圆台的上半径v-容器体积s-容器表面积y-所构造函数k-所构造函数中的常系数pi-圆周率d-求偏导数^-次方sqrt-根号4.模型建立及求解与检验建立：可以转化为在有约束条件下求解目标函数极值的问题。（1）在第一小题中，由几何知识容易得出：容器的表面积,即目标函数为：222*()*()spiRrrRrh容器的容积：222(****)/3*vpirpiRpirRh由约束条件及目标函数构造拉格朗日函数：22222*(()())*((****)/3*)ypirRrRrhkpirpiRpirRhv（2）同理，第二、三小题也可通过构造拉格朗日函数求的目标函数的极值。第二题的表面积，即目标函数为：222*()*()2**spirRrRrhpiRH约束条件（容器容积）:v=222(****)/3***pirpiRpirRhpiRH由约束条件及目标函数构造拉格朗日函数：222222*(()*())2****((****)/3***)ypirRrRrhpiRHkpirpiRpirRhpiRHv第三题的表面积，即目标函数为：22222*(()*())*()*())spirRrRrhpiLRLRH约束条件（容器容积）：2222(****)/3*(****)/3*vpirpiRpirRhpiLpiRpiLRH由约束条件及目标函数构造拉格朗日函数（3）y就是第一、二、三小题的数学模型。求解与检验：约束条件与偏微分方程联立求解（1）在第一小题中由目标函数和约束条件构造出拉格朗日函数：22222*(()*())*((****)/3*)ypiRRrRrhkpirpiRpirRhvy分别对R,r,h,求偏导数dRdrdh,令dR=0,dr=0,dh=0，得出三条偏微分微分方程。联立约束条件与各偏微分方程可以解得（用k表示R、r、h）：共10组解。舍去其中零解，复数解，负数解后只有一组解符合要求R=-2/7*7^(3/4)/kr=-2/k3h=-1/7*7^(3/4)*(1+7^(1/2))/k解得：r/R=1.6265765616977858609h/R=1.8228756555322953580（2）同理，在第二小题中由目标函数和约束条件构造出拉格朗日函数：222222*(()*())2****((****)/3***)ypirRrRrhpiRHkpirpiRpirRhpiRHvy分别对R,r,h,H求偏导数dRdrdhdH,令dR=0,dr=0,dh=0,dH=0，得出四条偏微分微分方程。联立约束条件与各偏微分方程可以解得（用k表示R、r、h、H）：共10组解。舍去其中零解，复数解，负数解后只有一组解符合要求R=-2*(-7/3+1/3*(116+12*93^(1/2))^(1/3)+4/3/(116+12*93^(1/2))^(1/3)+2*(-1/6*(116+12*93^(1/2))^(1/3)-2/3/(116+12*93^(1/2))^(1/3)+2/3)^2)/kr=-2/kh=4*(-5/3+1/6*(116+12*93^(1/2))^(1/3)+2/3/(116+12*93^(1/2))^(1/3)+(-1/6*(116+12*93^(1/2))^(1/3)-2/3/(116+12*93^(1/2))^(1/3)+2/3)^2)/kH=2*(-1/6*(116+12*93^(1/2))^(1/3)-2/3/(116+12*93^(1/2))^(1/3)+2/3)/k解得r/R=2.7423135117210448719h/R=1.7423135117210448719H/R=1.2767422798442720210（3）同理，在第三小题中由目标函数和约束条件构造出拉格朗日函数：222222222*(()*())*()*()*(1/3*(****)*1/3*(****)*)ypirRrRrhpiLRLRHkpirpiRpirRhpiRpiLpiRLHv用y分别对R,r,h,H，L求偏导数dRdrdhdHdL,令dR=0,dr=0,dh=0,dH=0,dL=0,得出五条偏微分微分方程。联立约束条件与各偏微分方程，未能利用matlab得出答案。（见附录）5、模型应用从对本题三小问的建模过程可知，当一个容器的外观和容积确定以后，其表面积（无盖）存在最小值。正如上文所推到和验证的，我们可以通过构造拉格朗日函数求出其表面积（无盖）取最小值时，容器的上底半径，下底半径，高等长度要素应满足的比例关系。进而确定容器的精确形状。正如本文摘要所叙述的，该模型可作为饮料厂商对其饮料瓶设计的参考。从而使在饮料瓶容积一定时其表面积尽可能小（我们知道，饮料特别是碳酸饮料，其容器的成本在总成本在占有很大的比重。因此厂商可以参考本文所建立的数学模型设计容器，从而4减低生产的总成本，实现利益最大化。6、模型评价优点：(1)用统一的方法解答各个小问。(2)总体思路简单明了，所涉及知识较少，可阅读性较强缺点：(1)未能求解出第三问的具体答案。(2)模型中只考虑节省原料而设计容器，忽略了其它因素。7、附录Matlab源代码（1）第一问symsRrhkvy1=pi*(R^2+(R+r)*sqrt((R-r)^2+h^2))+k*((pi*r^2+pi*R^2+pi*r*R)/3*h-v);dr=diff(y1,r)dr=pi*((R^2-2*R*r+r^2+h^2)^(1/2)+1/2*(R+r)/(R^2-2*R*r+r^2+h^2)^(1/2)*(-2*R+2*r))+k*(2/3*pi*r+1/3*pi*R)*hdy2=diff(y1,R)dR=pi*(2*R+(R^2-2*R*r+r^2+h^2)^(1/2)+1/2*(R+r)/(R^2-2*R*r+r^2+h^2)^(1/2)*(2*R-2*r))+k*(2/3*pi*R+1/3*pi*r)*hdy3=diff(y1,h)dh=pi*(R+r)/(R^2-2*R*r+r^2+h^2)^(1/2)*h+k*(1/3*pi*r^2+1/3*pi*R^2+1/3*pi*r*R)[R,r,h]=solve(dr,dR,dh,'R','r','h')R=05-2/7*i*7^(3/4)/k2/7*7^(3/4)/k2/7*i*7^(3/4)/k-2/7*7^(3/4)/k000-2*2^(1/2)/k2*2^(1/2)/kr=-2*3^(1/2)/k-2/k-2/k-2/k-2/k-2*3^(1/2)/k2*3^(1/2)/k2*3^(1/2)/k-8/k-8/kh=-6^(1/2)/k-1/7*i*7^(3/4)*(1-7^(1/2))/k1/7*7^(3/4)*(1+7^(1/2))/k1/7*i*7^(3/4)*(1-7^(1/2))/k-1/7*7^(3/4)*(1+7^(1/2))/k6^(1/2)/k-6^(1/2)/k6^(1/2)/k00（2）第二问symsRrhHkvy2=pi*(r^2+(R+r)*((R-r)^2+h^2)^(1/2))+2*pi*R*H+k*((pi*r^2+pi*R^2+pi*r*R)/3*h+pi*R^2*H-v);dR=diff(y2,R)dR=pi*(((R-r)^2+h^2)^(1/2)+1/2*(R+r)/((R-r)^2+h^2)^(1/2)*(2*R-2*r))+2*pi*H+k*((2/3*pi*R+1/3*pi*r)*h+2*pi*R*H)dr=diff(y2,r)6dr=pi*(2*r+((R-r)^2+h^2)^(1/2)+1/2*(R+r)/((R-r)^2+h^2)^(1/2)*(-2*R+2*r))+k*(2/3*pi*r+1/3*pi*R)*hdh=diff(y2,h)dh=pi*(R+r)/((R-r)^2+h^2)^(1/2)*h+k*(1/3*pi*r^2+1/3*pi*R^2+1/3*pi*r*R)dH=diff(y2,H)dH=2*pi*R+k*pi*R^2[R,r,h,H]=solve(dR,dr,dh,dH,'R','r','h','H')R=00-2/k-2*(-7/3-1/6*(116+12*93^(1/2))^(1/3)-2/3/(116+12*93^(1/2))^(1/3)+i*3^(1/2)*(-1/6*(116+12*93^(1/2))^(1/3)+2/3/(116+12*93^(1/2))^(1/3))+2*(1/12*(116+12*93^(1/2))^(1/3)+1/3/(116+12*93^(1/2))^(1/3)+2/3-1/2*i*3^(1/2)*(-1/6*(116+12*93^(1/2))^(1/3)+2/3/(116+12*93^(1/2))^(1/3)))^2)/k-2/k-2*(-7/3+1/3*(116+12*93^(1/2))^(1/3)+4/3/(116+12*93^(1/2))^(1/3)+2*(-1/6*(116+12*93^(1/2))^(1/3)-2/3/(116+12*93^(1/2))^(1/3)+2/3)^2)/k-2*(-7/3-1/6*(116+12*93^(1/2))^(1/3)-2/3/(116+12*93^(1/2))^(1/3)-i*3^(1/2)*(-1/6*(116+12*93^(1/2))^(1/3)+2/3/(116+12*93^(1/2))^(1/3))+2*(1/12*(116+12*93^(1/2))^(1/3)+1/3/(116+127*93^(1/2))^(1/3)+2/3+