《实变函数》第四章习题解答

第四章习题参考解答1第四章习题参考解答1．设)(xf是E上的可积函数，如果对于E上的任意可测子集A，有0)(dxxfA，试证：)(xf，].[.Eea证明：因为}1)(|{}0)(|{1kxfxExfxEk，而Nk，}1)(|{kxfxE}1)(|{}1)(|{kxfxEkxfxE.由已知，kxfxEkxfxEkxfxEdxxfdxxfdxxf1)(|{1)(|{1|)(|{)()()(000.又因为0}1)(|{11)(0}1)(|{}1)(|{kxfxmEkdxkdxxfkxfxEkxfxE，0}1)(|{1)1()(0}1)(|{}1)(|{kxfxmEkdxkdxxfkxfxEkxfxE所以，0}1)(|{}1)(|{kxfxmEkxfxmE.故,0}1)(|{}1)(|{}1|)(|{kxfxmEkxfxmEkxfxmE,从而00}1|)(|{}1|)(|{[}0)(|{111kkkkxfxmEkxfxEmxfxmE.即，0)(xf，].[.Eea.2.设f，g都是E上的非负可测函数，并且对任意常数a，都有})(|{})(|{axgxmEaxfxmE，试证：)()(xgxf，从而，dxxfE)(dxxgE)(.证明：我们证f，g是同一个简单函数序列1){mm的极限函数.Nm及12,,1,0mmk，令}21)(2|{,mmkmkxfkxEE，并且})(|{2,mxfxEEmmm.则kmE,是互不相交的可测集，并且kmmkEEm,21，定义简单函数第四章习题参考解答2mkmmkEmmxkx20)(2)(,.下面证明：)()(limxfxmm，Ex.Ex0,若)(0xf，则Nm，mmmEx2,0，所以)()(0mmxm，即)()(lim00xfxmn；若)(0xf，则可取正整数)(00xfm，0mm时,}21)(2|{})(0|{1210mmmkkxfkxEmxfxExm.故，存在)120(mmkk，}21)(2|{0mmkxfkxEx.即，mmkxfk21)(20，mmkEmmkxkxmkm2)(2)(20,.所以，0212212)()()(|)()(|00000mmmmmmkkkxfxxfxxf，从而，)()(lim00xfxmn.同理，Nm，定义简单函数列mkmmkEmmxkx20)(2)(*,，其中：}21)(2|{*,mmkmkxgkxEE，12,,1,0mmk.})(|{*,mxgxEEkm.同上一样可证明：)()(lim0xgxmn，Ex.因为Ra，有})(|{})(|{axgxmEaxfxmE.故Ra，})(|{bxfaxmE})(|{bxgaxmE.从而，)120(mmkk，有kmmmmmkmmEkxgkxmEkxfkxmEmE,*,}21)(2|{}21)(2|{mmmmmmmEmxgxmEmxfxmEmE2,*2,})(|{})(|{.即，Nm，)(xm)(xm.因此)()(lim)(lim)(xgxxxfmmmm.3.若为有理数，当为无理数，当xxxxxf31)(，计算1,0[)(dxxf.解：设xxE|]1,0[{0为有理数}，01]1,0[EE，则1)()(]1,0[Edxxfdxxf第四章习题参考解答3]1,0[)(dxxf00111EEEdxxdxxdxx010111EEEdxxdxxdxx2]2[111010]1,0[xdxxdxx.4.设21,,EE是]1,0[中n个可测集，若]1,0[内每一点至少属于n个集中的q个集，证明：21,,EE中至少有一个测度不小于nq.证：令niExxfi1)()(，其中iE为iE上的特征函数]1,0[x，有qxxfniEi1)()(，所以qqdxdxxf]1,0]1,0[)(.niniiEniEniEmEdxxdxxdxxfqii11111,0]1,0[]1,0[)()()(.如果每个nqmEi，则niniiqnqnnqmE11.这与niimEq1矛盾.从而，)1(nii使得nqmEi.5.设f，g都是E上的可积函数，试证明：22gf也是E上可积函数.证明：（1）先证：设)(xf与)(xF都是E上的可测函数且)()(0xFxf].[.Eea，若)(xF在E可积，则)(xf在E可积.事实上，Nml,，因为)()(0xFxf].[.Eea，故llxFxf)}({)}({0，即EEllEldxxfdxxFdxxFdxxfmm)()}({)}({)}({，其中：mmSEE，}||||{xxSm.从而1})}({{llEdxxFm是单调递增有上界EdxxF)(的数列，故：EEllEdxxFdxxfdxxfmm)()}({lim)(.又因为mEmdxxf1})({单调递增有上界，所以mEldxxf)(lim存在，并且第四章习题参考解答4EEllEdxxFdxxfdxxfm)()}({lim)(，即mEllmdxxf)}({limlimdxxfE)(.所以)(xf在E可积.（2）再证：22gf在E上可积.事实上，因为f，g在E上可积，所以||f与||g在E上可积，从而||f+||g在E上可积.又因为||||22gfgf，由（1）。22gf在E上可积.6.设mE，)(xf是E上的非负可测函数，Edxxf)(，})(|{kxfxEEk，试证明：0limdxmEkkl.证明：Nk，因为EEkdxxfdxxfkmEk)()(0，所以)(0)(10kdxxfkmEEk，故0limklmE.又因为Edxxf)(，由积分的绝对连续性（即，P103，定理4）.0,0,使得对于任何可测集EA，mA，恒有Adxxf|)(|Adxxf)(.对于0，由0limkkmE，得，存在Nk0，0kk时，kmE，有dxxfmEkkEk)(0，从而0limkkmEk.7.设E为可测集，且mE，)(xf为E上的非负可测函数，}1)(|{kxfkxEEk，试证:)(xf在E上可积当且仅当级数kkEkm1收敛.证：)(设}1)(|{kxfkxEEk，Nk，因为)(xf在E可积，故111)(kkkEkEEmEkdxkfdxxfkk.即，级数1kkEmk收敛.)(Nk,因为}1)(|{kxfkxEEk，第四章习题参考解答5kEkkEmEkmEmEkdxkdxxfkk)1()1()(，又dxxxfdxxfmkEEE)()()(又dxxxfxfmkEEE)()()(.因为1)()()(kExxfxfk，所以dxxfE)(1112,991)()()()()()(()(kkkkEkEELTHPkEEEmEkmEdxxfxxfdxxxfxfkkk基本定理kkkkkkkmEkmEmEkmE111.从而，)(xf在E上可积.8.设f是R上的可积函数，证明：],[00|)()(|limbakdxxfbxf.证明：（1）先证：0，存在时直线R上的连续函数)(x，使得],[0|)()(|limbakdxxfbxf.对于Nn，记：NxfNNxfNNxfxfxfn)(,)(,|)(|,)()]([],[baEx.则：NxfNxfNxfNxfNxfxfxfn)(,)()(,)(|)(|,0)]([)(.则dxxfxfban|)]([)(|],[dxxfxfNfEn|)]([)(|)|(|+dxxfxfNfEn|)]([)(|)|(|=dxxfxfNfEn|)]([)(|)|(|dxNxfNfE|)(|)|(|dxxfNfE|)(|)|(|.因为)(xf在],[ba是lebesgue可积的，故0，0，使EA，mA时，恒有AdxxfA|)(|，又因为1|)}(|{nfE是单调的集列，并且)|(|)|(|1fEnfEn.从而，)]|(|lim[)|(|limnfEmnfmEnn0)|(|fmE.所以，对于0，NN，使得4|)(|)|(|dxxfNfE.第四章习题参考解答6对于Nxf)]([，取04N，由连续扩张定理（第10页，定理3），存在闭集],[baF及R上的连续函数)(x，使得（i）FFNxxf|)(|)]([（ii）NFEm4)((iii)Nx|)(|则242)(2||)|]([|][||][],[NNFEmNdxfdxfdxfFENFENbaN，从而dxxfdxxfxfdxxxfbaNNba|)(][||)]([)(||)()(],[],[242|)(][||)(|2],[)|(|dxxfdxxfbaNNfE.(2)再证：0|)()(lim],[0dxxfbxfbah0，由（1）知，存在R上的连续函数)(x使得3|)()(]1,1[dxxxfba，因为)(x在]1,1[ba上一致连续，所以)1(0使得],[bax，)1(||h时，恒有)(3|)()(|abxhx，dxhxhxfdxxfhxfbaba|)()(|)()(],[],[+dxxhxba|)()(|],[+dxxfxba|)()(|],[.因为],[bax时，)1|:|hh，有]1,1[bahx，故dxhxhxfba|)()(|],[3|)()(|]1,1[dxxxfba.所以dxxfhxfba|)()(|],[dxxxfba|)()(|]1,1[dxxxfdxxhxbaba|)()(||)()(|],[],[333.故0|)()(|lim],[0dxxfhxfbah.9.设f是E上的非负可积函数，c是任意常数，满足Edxxfc)(0，试证：存在第四章习题参考解答7EE1，使得cdxxfE1)(.证明：设常数c，合于Edxxfc)(0，当Edxxfc)(时，存在EE1，使得cdxxfE1)(，不妨设Edxxfc)(0.先证：EttdxxftF],[)()(在),0[上连续，),0[0t，0tt，因为EttEttEttEttdxxfdxxfdxxfdxxftFtF],[],[],[],[00000)()()()()()(0，由积分的绝对连续性（P85，定理4），0，EA，mA，有2)(|)