数学2-3-3.2独立性检验的思想及应用

3.2独立性检验的基本思想及其初步应用(一)高二数学选修2-3第三章统计案例2定量变量——回归分析（画散点图、相关系数r、变量相关指数R、残差分析）分类变量——定量变量：体重、身高、温度、考试成绩等等。变量分类变量：性别、是否吸烟、是否患肺癌、宗教信仰、国籍等等。独立性检验例如，吸烟是否与患肺癌有关系？性别是否对于喜欢数学课程有影响？1.两种变量2.研究两个变量的相关关系的方法在日常生活中，我们常常关心分类变量之间是否有关系.本节研究的是两个分类变量的独立性检验问题。吸烟与肺癌列联表不患肺癌患肺癌总计不吸烟7775427817吸烟2099492148总计9874919965为了调查吸烟是否对肺癌有影响，某肿瘤研究所随机地调查了9965人，得到如下结果(单位：人)列联表在不吸烟者中患肺癌的比重是在吸烟者中患肺癌的比重是说明：吸烟者和不吸烟者患肺癌的可能性存在差异，吸烟者患肺癌的可能性大。0.54%2.28%3.探究不患肺癌患肺癌总计不吸烟7775427817吸烟2099492148总计98749199651.列联表通过图形直观判断两个分类变量是否相关：2.等高条形图等高条形图更清晰地表达了两种情况下患肺癌的比例。0%10%20%30%40%50%60%70%80%90%100%不吸烟吸烟患肺癌不患肺癌我们通过分析数据和图形，得到的直观印象是吸烟和患肺癌有关，现在想要知道能够以多大的把握认为“吸烟与患肺癌有关”?为此先假设H0：吸烟与患肺癌没有关系.不患肺癌患肺癌总计不吸烟aba+b吸烟cdc+d总计a+cb+da+b+c+d把表中的数字用字母代替，得到如下用字母表示的列联表用A表示不吸烟，B表示不患肺癌，则“吸烟与患肺癌没有关系”等价于“吸烟与患肺癌独立”，即假设H0等价于P(AB)=P(A)P(B).因此|ad-bc|越小，说明吸烟与患肺癌之间关系越弱；|ad-bc|越大，说明吸烟与患肺癌之间关系越强。不患肺癌患肺癌总计不吸烟aba+b吸烟cdc+d总计a+cb+da+b+c+d在表中，a恰好为事件AB发生的频数；a+b和a+c恰好分别为事件A和B发生的频数。由于频率接近于概率，所以在H0成立的条件下应该有即(a+b+c+d)a≈(a+b)(a+c),即ad≈bcnaABPncaBPnbaAP)()(,)(，ncanbana即，其中n=a+b+c+d为样本容量，为了使不同样本容量的数据有统一的评判标准，我们构造一个随机变量-----卡方22(),()()()()其中为样本容量。nadbcKabcdacbdnabcd（1）若H0成立，即“吸烟与患肺癌没有关系”，则K2应很小。根据表3-7中的数据，利用公式(1)计算得到K2的观测值为：那么这个值到底能告诉我们什么呢？242209956.63278172148987491k9965(777549）（2）4.独立性检验在H0成立的情况下，统计学家估算出如下的概率即在H0成立的情况下，K2的值大于6.635的概率非常小，近似于0.01。2(6.635)0.01.PK（2）也就是说，在H0成立的情况下，对随机变量K2进行多次观测，观测值超过6.635的频率约为0.01。20099657775494220995663278172148987491().kHH现在观测值太大了，在成立的情况下能够出现这样的观测值的概率不超过0.01，因此我们有99%的把握认为不成立，即有99%的把握认为“吸烟与患肺癌有关系”。思考:如果K2≥6.635就断定H0不成立，这判断出错的可能性有多大？判断出错的概率为0.01。判断是否成立的规则0H如果，就判断不成立，即认为吸烟与患肺癌有关系；否则就判断成立，即认为吸烟与患肺癌有关系。6.635k0H0H独立性检验的定义利用随机变量K2来确定在多大程度上可以认为“两个分类变量有关系”的方法，称为两个分类变量的独立性检验。在该规则下，把结论“成立”错判成“不成立”的概率不会超过0H0H2(6.635)0.01,PK即有99%的把握认为不成立。0H5.独立性检验的基本思想（类似反证法）(1)假设结论不成立,即H0:“两个分类变量没有关系”.(2)在此假设下我们所构造的随机变量K2应该很小,如果由观测数据计算得到K2的观测值k很大,则在一定可信程度上说明H0不成立.即在一定可信程度上认为“两个分类变量有关系”；如果k的值很小，则说明由样本观测数据没有发现反对H0的充分证据。怎样判断K2的观测值k是大还是小呢？这仅需要确定一个正数,当时就认为K2的观测值k大。此时相应于的判断规则为：0k0kk0k如果，就认为“两个分类变量之间有关系”；否则就认为“两个分类变量之间没有关系”.0kk按上述规则，把“两个分类变量之间没有关系”错误的判断为“两个分类变量之间有关系”的概率不超过P().20Kk或解释为有的把握认为“两个分类变量之间有关系”.2(1())100%PKk反证法原理与独立性检验原理的比较：反证法原理：在一个已知假设下，如果推出一个矛盾，就证明了这个假设不成立。独立性检验原理：在一个已知假设下，如果一个与该假设矛盾的小概率事件发生，就推断这个假设不成立。你能总结判断两个分类变量相关的方法吗？一般地，假设有两个分类变量X和Y，它们的值域分别为{x1,x2}和{y1,y2},其样本频数列联表(称为2×2列联表)为：y1y2总计x1aba+bx2cdc+d总计a+cb+da+b+c+d若要判断的结论为H1：“X与Y有关系”，可以按如下方法判断H1成立的可能性：aabccd1、通过等高条形图，可以粗略地判断两个变量是否有关系,但是这种判断无法精确地给出所得结论的可靠程度。在等高条形图中,可以估计满足条件X=x1的个体中具有Y=y1的个体所占的比例，也可以估计满足条件X=x2的个体中具有Y=y1的个体所占的比例,两个比例相差越大，H1成立的可能性就越大。aabccd临界值表：0.500.400.250.150.100.4550.7081.3232.0722.7060.050.0250.0100.0050.0013.8415.0246.6367.87910.8280)k2P(K0k0k0)k2P(K具体作法是：(1)根据实际问题需要的可信程度确定临界值；(2)利用公式，由观测数据计算得到随机变量的值；(3)如果，就以的把握认为“X与Y有关系”；否则就说样本观测数据没有提供“X与Y有关系”的充分证据。0k2K20(1())100%PKk2、可以利用独立性检验来考察两个分类变量是否有关系，并且能较精确地给出这种判断的可靠程度。0kk0.500.400.250.150.100.050.0250.0100.0050.0010.4550.7081.3232.0722.7063.8415.0246.6357.87910.8282()PKkk(1)10.828,99.9%kXY如果就有的把握认为与有关系(2)7.879,99.5%kXY如果就有的把握认为与有关系(3)6.635,99%kXY如果就有的把握认为与有关系(4)5.024,97.5%kXY如果就有的把握认为与有关系(5)3.841,95%kXY如果就有的把握认为与有关系(6)2.706,90%kXY如果就有的把握认为与有关系(7)2.706,kXY如果就认为没有充分的证据显示与有关系例1在某医院，因为患心脏病而住院的665名男性病人中，有214人秃顶；而另外772名不是因为患心脏病而住院的男性病人中有175人秃顶。（1）利用图形判断秃顶与患心脏病是否有关系；（2）能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为秃顶与患心脏病有关系？解：根据题目所给数据得到如下列联表：患心脏病患其他病总计秃顶214175389不秃顶4515971048总计66577214370%10%20%30%40%50%60%70%80%90%100%秃顶不秃顶患其他病患心脏病(1)等高条形图如图所示。可以发现，秃顶样本中患心脏病的频率明显高于不秃顶样本中患心脏病的频率，因此可以认为秃顶与患心脏病有关系。(2)根据题目所给数据得到如下列联表：患心脏病不患心脏病总计秃顶214175389不秃顶4515971048总计6657721437根据联表中的数据，得到221437(214597175451)16.3736.635.3891048665772K因此,在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为“秃顶与患心脏病有关系”。归纳独立性检验步骤:(1)假设结论不成立，即Ho：两个分类变量没有关系（在这种假设下k应该很小）(2)由观测数据计算K2的观测值k，（如果k很大，则在一定可信程度上说明Ho不成立,即两个分类变量之间有关系）(3)根据k的值判断假设是否成立.临界值表：0.500.400.250.150.100.050.0250.0100.0050.0010.4450.7081.3232.0722.7063.8415.0246.6357.87910.82820()PKk0kP(K2≥k0)0.500.400.250.150.100.050.0250.0100.0050.001k00.4550.7081.3232.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828有效无效合计口服584098注射643195合计12271193解：设H0：药的效果与给药方式没有关系。072.23896.1959871122406431581932k因当H0成立时,K2≥1.3896的概率大于15%,故不能否定假设H0,即不能作出药的效果与给药方式有关的结论.例2为研究不同的给药方式(口服与注射)和药的效果(有效与无效)是否有关，进行了相应的抽样调查，调查的结果列在表中，根据所选择的193个病人的数据，能否作出药的效果和给药方式有关的结论？喜欢数学课程不喜欢数学课程总计男3785122女35143178总计72228300例3为了考察高中生的性别与是否喜欢数学课程之间的关系，在某城市的某校高中生中随即抽取300名学生，得到如下列联表：由表中数据计算得到的观测值.能够以95%的把握认为高中生的性别与是否喜欢数学课程之间有关系吗？为什么？2K4.514k222(3.841)0.054.5143.841PKKk解：在假设“性别与是否喜欢数学之间没有关系”的前提下，K应该很小，并且而的观测值超过了，这就意味着“性别与是否喜欢数学课程之间有关系”这一结论是错误的可能性约为0.05，即有95%的把握认为“性别与是否喜欢数学课程之间有关系”这一结论只适用于被调查的学校P(k≥k0)0.500.400.250.150.100.050.0250.0100.0050.001k00.4550.7081.3232.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828例4气管炎是一种常见的呼吸道疾病，医药研究人员对两种中草药治疗慢性气管炎的疗效进行对比，所得数据如表所示，问：它们的疗效有无差异？有效无效合计复方江剪刀草18461245胆黄片919100合计27570345解：设H0：两种中草药的治疗效果没有差异。098.11100245702759161918434522K因当H0成立时，K2≥10.828的概率为0.001，故有99.9%的把握认为，两种药物的疗效有差异。1、能够通过二维条形图估计两个分类变量之间是否有关系2、利用判断两个分类变量之间是否有关系3、了解独立性检验的思想2K课堂小结1．用独立性检验来考察两个变量x与y是否有关系，当统计量K2的值()A．越大，“x与y是有关系的”成立可能性越小B．越大，“x与y是有关系的”成立可能性越大C．越小，“x与y是没有关系的”成立可能性越小D．与“x与y有关系”成立的可能性无关B练习2．已知随机事件A与