振型分解法

FFCE气'''斟ι''•Fkb弯矩，i:t'.:鱼梁上，l蟹动'-1:I)，并考~第4章多自由度体系的振动(川~J川;=凡-句'?+11.2k-m主Iy~-0.2时=0飞m;-0.2句'~+I0.2k-0衍生Iy~=0飞m;解此方程得横梁最大水平位移为nFnnn5FnYl­=τ，Yi=u,Yi=--,:­由此可知，刚架在稳态振动时第二层横梁将处于静止状态，而第三层的振幅将等于第一层横梁的5倍。显然，第三层柱承受的动弯矩和动剪力将远大于第一、二层柱。上例刚架强迫振动中所反映出的现象具有一般性，故而极具工程意义:(1)当建筑物沿竖向侧移刚度突变明显时，在动力作用下会使突变截面上方竖向结构产生很大的动内力。因此，在建筑物抗震设计中应避免竖向结构发生过大的刚度突变。(2)当建筑物顶部刚度骤然减小形成小塔楼时，在动力作用下小塔楼的动位移幅值和动内力将成倍增大，说明存在严重的鞭梢效应，在建筑物抗震设计中应予充分注意并采取相应的措施。例如对本例，若将第三层柱的侧移刚度和横梁的质量与以下两层相同，则可算得到=-子，即该层的动位移幅值将大为降低。(ω3ω)当轩θ+层的振动，这就是动力吸振器或称为阻尼器的工作原理。4.5振型分解法在讨论多自由度体系的强迫振动时，如采用质点位移作为坐标(称为几何坐标)，则所得到的振动方程为糯联微分方程，因而必须联立求解。对于无阻尼简谐强迫振动，在平稳阶段，由于各质点都作同步振动，利用这一特性可将微分方程转化为代数方程，故求解没有困难。然而，当考虑阻尼影响或者在一般动力荷载作用下时，求解联立的微分方程组就会比较困难。按振型分解的计算方法就是针对这一问题提出来的。振型分解法是基于坐标变换，把原来稿联的微分方程组变为n个互相独立的微分方程，从而使原来多自由度体系的动力计算变为一系列单自由度体系的问题，当然这一方法只限于线性体系的应用。下面介绍振型分解法。4.5.1坐标变换和广义坐标在讨论振型分解法之前，先介绍有关坐标变换和广义坐标的概念。为叙述简便，现以图4.11所示的两个自由度体系为例进行说明。73--结构动力学、抗，震计算与SAP20∞应用74(a)(b)(c)主(d)当采用几何坐标时，质点的位移向量{Y}表示如下{Y}=[YIY2r如前所述，其运动方程是搞联的。若要使方程变为非藕联，根据线性代数理论可知，坐标变换是通过基底的选择来实现的。这样，上述几何坐标的原始基底为{e.}=[IOr圄4.11两个自由度体系的坐标变换t怕回lJ性内除川呻-吨dm附舶峨时帆U....(2)....2、EE-­‘Fl·-J句，.句，.甜甜&rt1〈|』·、叫哩'''EtEEJ、...、EE，FAE--EJ飞‘『EtE、写成展开式，有y.(t)=%(t)畔。+q2(t)(;自由|Y2(t)~ql(t)~(I)+q2(t)~(2)J上式表明:体系上质点的位移可看作是由各固有振型[见图4.9(c)、(d)]分别乘以相应的q2(t)都是时间t的函数。换句话说，这种方法q.是此基底上的坐标，称为广义坐标。此时，Y2，儿，变换成为广义坐标UUJJ川ME地叫‘'qj'q2'…,,A、可于是可得『叫峭阐以-HH中式式上4.5.2用[4(i)r引入以下它们分别以改写为‘{e2}=[OIr几何坐标即为在此基底上的坐标，它可表示为{Y}=y.{el}+Y2{e2}若改用振型作为基底，即取{e;}={~j千[4f(I)~(I)r{e;}={4(2)}=[哥2)~(2)r于是，体系各质点的位移可表示为、、tI1lILr'IJ到兑r''ELrEdEL+q..+q''sravz-P=‘O­=nm、，，，』吨，.φφt〉惜，­tttJ』,，，E、组合系数锐的和q2(t)后叠加而成，其中ql(t)、是将实际位移按振型加以分解，故称为振型分解法。当取振型作为基底时，其组合系数%'q2'…,通过基底的变换，把原来用以表示位移的几何坐标Y.，匾‘4队v--t、，E‘‘飞俨··『民f坐标变EhvtEFig-ER』Eeit--KE44F'·在比..•l相应的t种方法L此时，来坐标(4.47)结构动力学、抗震计算与SAP2仪)()应用上式与单自由度体系的强迫振动方程，φ+ky=耳(t)相仿。因此，式(4.47)可直接套用单自坐萄(i=1.2)(4.48)q,(t)=τ_1_r:Fpi(f')sin鸣。-f')df'(i=1,2)(4.49)(4.50)这样，就把n个自由度体系的强迫振动，通过振型分解法蛮为n个单自由度体系的强q2'，也后，即可由式(4.42)求出原来n个动位移儿。当求得动位移表达式后，又可求得质点处的加速度和惯性力，继而可得结(a)所示筒支梁在突加荷载作用下的位移和弯矩。I(的11m2//r~飞气飞I//3I飞卡斗r/2·ap·a·­t句di~动J/一\\/叮习\\...]L...-/飞\一/(d)份~士也〉阜4如F也用握型分解法计算无阻尼体系(1)由例4.1知，结构的两个自振频率为中、得=5.69在，叫=月Fzm辱所示，即{旷斗76战ii+归=Fp;(t)?由度体系强迫振动的解，即2Fp,(t)iij+ω\.qj=一号一m.由杜哈梅积分求广义坐标也'jω~..0ωf=h-mj迫振动，由此求出广义坐标qt'比Y2'，构的内力计算式。E倒4.7)用振型分解法求圄4.12(a)刷。j-1/3I的(c)dp(e)固4.12解两个主振型如图4.12(b)、(c)仲{:}，(2)建立坐标变换关系。••••77第4章多自由度体系的振动·一-EEE-EFEA-PJ12lpEEEJAEEE、『、、iIi，rt·-J「〉''』飞为阵矩型振主14.47)HH白LFR目lt1tlit『」单φ坐标变换式为(4.48)VJVJ||lL12=、rlJA••••···At「tIll-nHAH飞『且且.lJ『A(4.49)(3)求广义质量，按式(4.44)战←州叶=斗半;:ω1η}(I{tJj(l扩{问阳阳φd川旷ψw{ιvark的强移结川川的位得由可广页记元阳2)T[MT[M]M;:[1~]{~1]{~ιJ:户叫=斗{叫旷οω叮)阿恻圳T飞阳川川_斗1][~阳{~仁山叫州]{叫旷οφ(2)川斗I}川(4的)广义荷载为，按式(4.46)、，，、啦』，』《······、叮萨。ιι1叶仙叮叩(1吁叩)}于1)r{F,(t)}=[llJ{;'}=乓、‘，〈ιι2(创t)呻)恒=F(5幻)求广义坐标，按式(4.49)\,州=τ_1;:[Fp，(的sin叫(t--r)d-r=乒τ(I-cos叫t)叫叫oIU:tmafqz(t)=TL=|JFpz(f)sin叫(t--r)d-r;:-乒τ(l-c叫t)~o.也oIU:tmOJi(6)求质点处位移rlA1ll--'-EnmAIAIrl·t·'PEEEEEJ···A········A·····•••只(t);:%(t)+q2(t);:主τ[1-c叫川侃7(I-c叫。l「lllt't只为=1llL，」、l..m叫-FY2(t)=q,(t)-q2(t)=---.:..!!..τ[(1-cos叫t)+O.067(1-coso.ν)]L.m叫.(7)求弯矩。用乓(t)表示质点i在任意时刻t所受的惯性力与动力荷载的和，分别为结构动力学、抗震计算与SAP2创沁应用78F;(t)恒=耳凡I仲叫咐凡.\(t川号(c叫+叫t)) 司乌Fz(t仲t44-J41·'FKJh44­由图4.1口2(e叫)可求得截面1和2的弯矩如下:截面221…州的M=(半年)十号[…叫忖问鸣。]1叫2飞(t)+号。1;RI-二一一二|抖h刮[叫川ι=τ截面 1ti七(1叶-才卡呵4叫交a按上式可绘出简支梁位移、弯矩随时间的变化曲线，4.5.3 振型分解法(考虑阻尼影响)考虑有阻尼时的强迫振动方程，由式(2.12)给出，即[M]{Y}+[C]{y}+[K]{Y}={耳ο)}下面用振型分解法来求上式。设用广义坐标来代替几何坐标，即利用式(4.42)代入上式，得[M][φJ{ii}+[C][φJ{q}+[K][φJ{q}={Fp(t)}(d)对式(d)左乘[4(i)f，得到故Iφ(i)]T[M][φJ{ii}+[(/j(i)]T[C][φJ{ql+[φ叮T[K][φl{q}=[(/j(i)f{Fp(t)}(e)假设阻尼矩阵与振型也满足正交性，即{φωr[cJ{41(i)}=己(4.51)这样式(e)就成为n个独立的二阶线性微分方程组mjiii+己qj+kjqj=鸟j(t)(4.52)将式(4.52)与单自由度体系强迫振动的微分方程相比较，并由式(4.51)，则有C={41(;)r[C).{4(i)}=~i(t)im; (4.53)jj于是(4.52)可写为2耳'j(t)岳(t)+~ω\lt(t)+ωqt(t)=-?一(i=1,2,…,n) (4.54)mj这是-个二阶非齐次微分方程，其解用杜哈梅积分求得，即点是:79L第4章多自由皮体系的振动~p'EroFTe左'如血可,‘···AC3nωau.,,AU7(4.55)=,,esnwa.F-Mm raz7EFa求出广义坐标q后，即可按式(4.42)计算质点处的动力位移。4.5.4阻尼矩阵确定的方法实用中如果用实测手段来确定阻尼矩阵是相当困难的，通常是把阻尼矩阵假定为满足正交条件的某种形式。以下介绍3种常用的形式:r1.瑞利阻尼(也称比例阻尼)这种阻尼假定、[C]=α[M]+b[K] (4.56)r··PL·­飞式中，a和b为待定常数。由于[C]和[M]与[K]是线性组合，因此[C]具有与振型正交的性质，适合报型叠加法求解。k入上 在c;一={q(i)r[CHq(il}={q(jl}T(α[M]+b[K]){q(;l}ω元:;+bk;2ω1m;2OJ;m; 2叫m;2ω1m;用凡(d)由于叫=与Lmj1一饨 常数和b的确定。由式(4.53)，得a故(e)、‘(4.57)￡42+问)，，.‘、设已由实验测得的阻尼比为4、ι，则代入式(4.57)后有:4.51);1=~(二叫:4.52)ι4云叫解方程得4.53) a=-2叫叫(q\鸣-q2叫)(i);_~2b=2(q2吗-ql~)(4.58)4.54)ω~_~2利用已知的在、在求出a、b后，再代入式(4.57)即可求得其他振型的阻尼比。该方法的缺点是:对于没有通过实测求得的阻尼比，当用式(4.57)去求时，官将随频率的增高而增高，即、‘，，τ，，.飞(i=1,2,…,n),IMUM州川、EI=∞80结构动力学、抗震计算与SAP2肌页。应用对应于高阶振型将有很高的阻尼比，不过这也相当于在动力响应计算中把高阶振型的影响清除了。2.与质量成正比的阻尼假定阻尼矩阵与质量矩阵成正比，即E[C]=llt[M]式中叫一-待定常数。由式(4.53)，得在-乌_{q(ilr(llt[MJ){伊il}_aIm;_a)-一-‘2mim;~m;2吗m;2叫(4.59)(4.60)故有llt=~ω\(4.61)由式(4.61)可知，只要测到任意阶振型的阻尼比，就可得到常数llt，从而得到阻尼矩阵，其他各阶振型的阻尼比即可全部确定。3.与刚度成正比的阻尼假定阻尼矩阵与刚度矩阵成正比，即[C]=a2[M]式中a2一-待定常数。由式(4.53)，得(4.62)F一乌-{伊i)f(乌[K]){φ(i)}_~ki鸟鸣一二-町2鸣'现2ωI'元i2叫m;2(4.63)故有a2=2主(4.64)吗E倒4.8)按振型分解法计算图4.13(a)所示刚架。假定在=~2=0.05,Fp2=(2MN)sinθt,。=250r/min0B'(a)ml=180x103Nk3=245MN/m(c)(d)1/EI=∞Ik)=98MN/mmzfz2z7z0xlON马2(t)IEI=∞Ik2=270MNImm3=270xIO'N...­/\、、-‘气\一一丘-,////喊，营如圄4.13周摄型分解法计算有阻尼的体系81第4章多自由度体系的振动-MKUAHHFHHmo丁4，、‘，，，叶飞同&了。--Aud3)TO134OAA--Ill