求三角形面积的海伦公式

求三角形面积的海伦公式若ABC的三边长分别为a，b，c，则()()()()4()()(),ABCSabcabcabcabcppapbpc其中p是ABC的半周长，即()2pabc。（证明一）设边c上的高为h。由于ADDBc，而在ADC和DBC中，根据勾股定理有2222222222;.ADACCDADbhDBCBCDDBahABCabchD于是有2222,bhahc即2222.ahcbh两边平方，化简得22222.2cbhbca两边平方，化简得222222(4)bcahbc222222(11)22.4ABCbcahbccSc仔细化简一下，得222224222242244222242222244(4(1)4222)222.14141()()()()4ABCbbcabaabacbbcSccabcabcabcacaabacbbccbc（证明二）211sin1cos22ABCSabCabC(1)在ABC中，由余弦定理得222cos.2abcCab代入(1)式，化简得2222222222222222111()sin1cos1222(2)114()()4()().44ABCabcSabCabCababababcababc化简得1()()()()4.ABCSabcabcabcabc