数学必修二点线面的位置关系

课前探究学习课堂讲练互动活页限时训练2．1.2空间中直线与直线之间的位置关系课前探究学习课堂讲练互动活页限时训练【课标要求】1．会判断空间两直线的位置关系．2．理解两异面直线的定义，会求两异面直线所成的角．3．能用公理4解决一些简单的相关问题．【核心扫描】1．理解空间中两直线的位置关系，公理4，等角定理及异面直线所成的角，并掌握依据定义、定理对空间图形进行推理论证、计算的方法．(重点)2．异面直线及其所成的角的求解，空间图形问题转化为平面图形问题的思想方法．(难点)课前探究学习课堂讲练互动活页限时训练自学导引1．空间两条直线的位置关系空间两条直线的位置关系有且只有三种位置关系共面直线相交直线：同一平面内，；平行直线：同一平面内，没有公共点；异面直线：不同，没有公共点.在任何一个平面内有且只有一个公共点课前探究学习课堂讲练互动活页限时训练想一想：若a⊂α，b⊂β，那么a与b一定是异面直线吗？提示不一定，两直线是异面直线，则不同在任何一个平面内．当a⊂α，b⊂β时，可能存在平面γ，使a⊂γ且b⊂γ，即a与b共面．课前探究学习课堂讲练互动活页限时训练2．异面直线(1)定义：的两条直线叫做异面直线．(2)画法：图形表示为如图所示(通常用一个或两个平面衬托)．不同在任何一个平面内课前探究学习课堂讲练互动活页限时训练3．平行公理(公理4)文字表述：平行于同一条直线的两条直线．这一性质叫做空间平行线的传递性．符号表述：a∥bb∥c⇒.4．等角定理空间中如果两个角的两边分别，那么这两个角相等或互补．互相平行a∥c对应平行课前探究学习课堂讲练互动活页限时训练5．异面直线所成的角(1)定义：已知两条异面直线a，b，经过空间任一点O作直线a′∥a，b′∥b，我们把a′与b′所成的(或)叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)．(2)异面直线所成的角θ的取值范围：．(3)当θ＝时，a与b互相垂直，记作a⊥b.锐角直角(0°，90°]90°课前探究学习课堂讲练互动活页限时训练想一想：在异面直线所成角的定义中，角的大小与点O的位置有关系吗？提示根据等角定理可知，a′与b′所成角的大小与点O的位置无关．但是为了简便，点O常取在两条异面直线中的一条上，特别是这一直线上的某些特殊点(如线段的端点、中点等)．课前探究学习课堂讲练互动活页限时训练名师点睛1．关于异面直线(1)对异面直线概念理解须注意的问题①“不同在任何一个平面内”，指这两条直线永不具备确定平面的条件，因此，异面直线既不相交，也不平行，要注意把握异面直线的不共面性．②不能把异面直线误解为：分别在不同平面内的两条直线为异面直线．也就是说，在两个不同平面内的直线，它们既可以是平行直线，也可以是相交直线．课前探究学习课堂讲练互动活页限时训练(2)异面直线的判定方法①定义法：由定义判断两直线不可能在同一平面内．②反证法：用此方法可以证明两直线是异面直线．③判定异面直线的常用结论：过平面外一点和平面内一点的直线与平面内不经过该点的直线是异面直线．课前探究学习课堂讲练互动活页限时训练2．求两异面直线所成的角需注意的问题(1)a与b所成角的大小与点O无关，为了简便，点O常取在两条异面直线中的一条上．例如取在直线b上，然后过点O作直线a′∥a，a′与b所成的角即为异面直线a与b所成的角，特别地，可以取其中一条直线与另一条直线所在平面的交点或表示直线的线段的端点或中点．(2)将两条异面直线所成的角转化为平面上的相交直线的夹角，实现了空间问题向平面问题的转化，使平面几何与立体几何建立了联系，促进了数学学科间知识的渗透．(3)两条直线的垂直，既包括相交垂直，也包括异面垂直．课前探究学习课堂讲练互动活页限时训练3．求两条异面直线所成的角的一般步骤(1)构造：根据异面直线所成的角的定义，用平移法作出异面直线所成的角．(2)证明：证明作出的角就是要求的角．(3)计算：求角度，常利用解三角形．(4)结论：若求出的角是锐角或直角，则它就是所求异面直线所成的角；若求出的角是钝角，则它的补角就是所求异面直线所成的角．课前探究学习课堂讲练互动活页限时训练题型一空间中直线位置关系的判断【例1】如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，判断下列直线的位置关系：(1)直线A1B与直线D1C的位置关系是________；(2)直线A1B与直线B1C的位置关系是________；(3)直线D1D与直线D1C的位置关系是________；(4)直线AB与直线B1C的位置关系是________．课前探究学习课堂讲练互动活页限时训练[思路探索]本题考查对空间中直线位置关系的理解．首先看两直线是否有交点从而判断是否相交，然后判断没有交点的两直线是否共面，如果不共面，则两直线异面．课前探究学习课堂讲练互动活页限时训练解析直线D1D与直线D1C相交于D1点，所以(3)应该填“相交”；直线A1B与直线D1C在平面A1BCD1中，且没有交点，则两直线平行，所以(1)应该填“平行”；点A1、B、B1在一个平面A1BB1内，而C不在平面A1BB1内，则直线A1B与直线B1C异面；同理，直线AB与直线B1C异面，所以(2)(4)应该填“异面”．答案(1)平行(2)异面(3)相交(4)异面课前探究学习课堂讲练互动活页限时训练规律方法判断直线平行、相交可用平面几何中的定义来处理，判定异面直线往往根据连接平面内一点与平面外一点的直线和这个平面内不经过此点的直线是异面直线来判断．课前探究学习课堂讲练互动活页限时训练【变式1】已知a，b，c是三条直线，如果a与b是异面直线，b与c是异面直线，那么a与c有怎样的位置关系？并画图说明．解直线a与直线c的位置关系可以是平行、相交、异面．如图(1)(2)(3)．课前探究学习课堂讲练互动活页限时训练题型二公理4及等角定理的应用【例2】已知棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别是棱CD、AD的中点．(1)求证：四边形MNA1C1是梯形；(2)求证：∠DNM＝∠D1A1C1.[思路探索]通过公理4转化为证明平面内两直线平行且不等；(2)可用等角定理证明．课前探究学习课堂讲练互动活页限时训练解(1)如图，连接AC，在△ACD中，∵M，N分别是CD、AD的中点，∴MN是三角形的中位线，∴MN∥AC，MN＝12AC.由正方体的性质得：AC∥A1C1，AC＝A1C1.∴MN∥A1C1，且MN＝12A1C1，即MN≠A1C1，∴四边形MNA1C1是梯形．课前探究学习课堂讲练互动活页限时训练(2)由(1)可知MN∥A1C1，又因为ND∥A1D1，∴∠DNM与∠D1A1C1相等或互补．而∠DNM与∠D1A1C1均是直角三角形的锐角，∴∠DNM＝∠D1A1C1.课前探究学习课堂讲练互动活页限时训练规律方法(1)空间两条直线平行的证明：①定义法：即证明两条直线在同一个平面内且两直线没有公共点；②利用公理4：找到一条直线，使所证的直线都与这条直线平行．(2)等角定理的结论是相等或互补，在实际应用时，一般再借助于图形判断是相等、还是互补、还是两种情形都有可能．课前探究学习课堂讲练互动活页限时训练【变式2】如图所示，在三棱锥A-BCD中，E，F，G分别是棱AB，AC，AD上的点，且满足AEAB＝AFAC＝AGAD.求证：△EFG∽△BCD.课前探究学习课堂讲练互动活页限时训练证明在△ABC中，∵AEAB＝AFAC，∴EF∥BC且EFBC＝AEAB.同理，EG∥BD且EGBD＝AEAB.又∵∠FEG与∠CBD的对应两边方向相同，∴∠FEG＝∠CBD，∵EFBC＝EGBD，∴△EFG∽△BCD.课前探究学习课堂讲练互动活页限时训练题型三求异面直线所成的角【例3】如图，在正方体AC1中，E，F分别是A1B1，B1C1的中点，求异面直线DB1与EF所成角的大小．审题指导课前探究学习课堂讲练互动活页限时训练[规范解答]法一如图(1)，连接A1C1，B1D1，并设它们相交于点O，取DD1的中点G，连接OG，则OG∥B1D，EF∥A1C1.(4分)∴∠GOA1为异面直线DB1与EF所成的角或其补角．∴GA1＝GC1，O为A1C1的中点(8分)∴GO⊥A1C1.∴异面直线DB1与EF所成的角为90°.(12分)图(1)课前探究学习课堂讲练互动活页限时训练法二如图(2)，连接A1D，取A1D的中点H，连接HE，则HE∥DB1，且HE＝12DB1.于是∠HEF为异面直线DB1与EF所成的角或补角．(4分)连接HF，设AA1＝1，则EF＝22，HE＝32，(6分)取A1D1的中点I，连接IF，IH，则HI⊥IF，图(2)课前探究学习课堂讲练互动活页限时训练∴HF2＝HI2＋IF2＝54，∴HF2＝EF2＋HE2，(10分)∴∠HEF＝90°，∴异面直线DB1与EF所成的角为90°.(12分)课前探究学习课堂讲练互动活页限时训练法三如图(3)，在原正方体的右侧补上一个全等的正方体，连接B1Q，则B1Q∥EF.(4分)于是∠DB1Q为异面直线DB1与EF所成的角或其补角．(8分)通过计算，不难得到：B1D2＋B1Q2＝DQ2，从而异面直线DB1与EF所成的角为90°.(12分)图(3)课前探究学习课堂讲练互动活页限时训练【题后反思】构造异面直线所成的角的方法有：(1)过其中一条直线上的已知点(往往是特殊点)作另一条直线的平行线，使异面直线所成的角转化为相交直线所成的角(或其补角)．(2)当异面直线依附于某几何体，且直接对异面直线平移有困难时，可利用该几何体的特殊点，将两条异面直线分别平移相交于该点；(3)当两条异面直线互相垂直时，欲求它们所成的角，实际上是要通过证明来计算．课前探究学习课堂讲练互动活页限时训练【变式3】如图，在空间四边形ABCD中，AB＝CD，AB与CD成30°角，E，F分别为BC，AD的中点，求EF和AB所成的角．课前探究学习课堂讲练互动活页限时训练解在题图中，取BD的中点G，连接EG，FG，∵E，F分别为BC，AD的中点，∴EG綉12CD，GF綉12AB.∴EG与GF所成的角即为AB与CD所成的角．∵AB＝CD，∴△EFG为等腰三角形．又AB，CD成30°角，∴∠EGF＝30°或150°.∵∠GFE就是EF与AB所成的角，∴EF与AB成75°角或15°角．课前探究学习课堂讲练互动活页限时训练误区警示忽视异面直线所成角的范围而出错【示例】若线段AB⊥BC，BC⊥CD，DE⊥AE，且AB＝BC＝CD，异面直线AB与CD成60°角，求异面直线AD与BC所成的角．课前探究学习课堂讲练互动活页限时训练[错解]作DE綉CB，连接AE、BE(如图(1))．∵BC＝CD，BC⊥CD，∴四边形BCDE为正方形．∴BE＝BC＝AB.∵AB⊥BC，AB＝BC，AB与CD成60°的角，∴∠ABE＝60°，∴△ABE是正三角形，∴AE＝BE＝DE.又∵DE⊥AE，∴△ADE是等腰直角三角形，即∠ADE＝45°，AD与BC成45°角．错误的原因是漏掉了如图(2)所示的情况，补齐即可．图(1)课前探究学习课堂讲练互动活页限时训练[正解](1)如图(1)(略)．(2)对于图(2)的情形可作DE綉CB，连接AE、BE.∵BC＝CD，BC⊥CD，∴四边形BCDE是正方形．图(2)课前探究学习课堂讲练互动活页限时训练又∵AB⊥BC，AB＝BC，AB与CD成60°的角．∴AB＝BE，∠ABE＝120°，又∵DE⊥AE，设AB＝1，则AE＝3，则在Rt△ADE中，∠ADE＝60°，即AD与BC成60°的角．综合上面两种情况可知，AD与BC成60°或45°的角．课前探究学习课堂讲练互动活页限时训练根据异面直线所成角的定义知其角的范围为0°＜θ≤90°，异面直线所成的角应当是平移后两条相交直线所成的两对对顶角中较小的那一对对顶角．但当我们已知两条直线所成的角而去推断两条相交直线所成的角时，依据等角定理两者可能相等或者互补，所以我们应当考虑两种情况．课前探究学习课堂讲练互动活页限时训练单击此处进入活页限时训练