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训练4：多变的三角形如图所示，有4个正三角形。问：能否再添加一个正三角形，使之变成14个正三角形呢？⑤培养良好的观察方法大多数同学缺乏生活经验和独立、系统的观察能力，在观察事物时，往往抓不住事物的本质，或者看得粗心、笼统，甚至观察的顺序杂乱无章。一个良好的观察者必须具备观察事物的技巧，掌握适当的观察方法。观察方法很多，这里介绍主要的几种：A．自然观察方法。就是对大自然中所存在的东西进行观察。如在田野或植物园里观察植物的生长情况；在森林和动物园里观察动物的活动情况等等。自然观察应注意选好观察点和观察对象，做好记录，并应进行多次原地或异地观察。B．实验观察法。就是通过做实验的方式进行观察。如解剖观察或化学实验观察等。C．长期观察法。就是在较长的时期内，对某种事物或现象进行系统观察。如气象观察、天文观察等等。进行这类观察时要耐心细致，观察点一经确定，不能随意变更。D．全面观察法。就是对某一事物的各个方面都进行观察，求得对该事物全面了解。训练5：重叠的面积一个边长为4厘米的正方形与一个直角三角形相重叠。直角三角形的顶点正好处在正方形的中心点上。问：两个图形重叠部分的面积是多少？E．定期观察法。就是在某一特定时间内对某事物或现象进行观察。F．重点观察法。就是按照某种特殊目的和要求对事物的某一点或几个方面做重点观察。G．直接观察法。这是一种观察者深入实际，亲自动手做实验取得第一手资料或直接经验的观察方法。H．间接观察法。这是一种利用别人观察成果，得出深刻结论的观察方法。I．对比观察法。把两个以上的事物有比较地对照进行观察。J．解剖观察方法。把观察对象分解成两个以上的部分进行观察。训练6：划分土地如图所示，有一块土地，要求将其均分为4块相同的地。如何划分？⑥掌握丰富的知识经验知识经验和良好的观察是辩证统一、互为因果的。一方面，良好的观察力是我们获得丰富知识和经验的前提条件；另一方面，丰富的知识和经验又是我们提高观察力的重要因素。一个人的观察总是与自己已有的知识经验联系在一起的。因此，在观察过程中，我们必须充分利用自己已有的知识和经验，这不仅有利于观察的顺利进行，同时也有利于观察力的不断提高。训练7：残缺的棋盘有一个64格的国际象棋棋盘和31个黑白分明的多米诺骨牌。问：如果切除棋盘左下角和右上角各一格，使棋盘剩下62格，能否用31个骨牌覆盖这个残缺的棋盘？⑦遵循感知的客观规律观察和观察力是在感知过程中提高的。因此，为了培养观察力，就必须遵循感知的一些规律。也就是说感知的一些规律也成为观察的基本规律。感知规律主要有以下七条：A．强度律;B．差异律;C．对比律；D．活动律；E．组合律；F．协同律G．养成持久的观察习惯A．强度律。对被感知的事物，必须达到一定的强度，才能感知得清晰。一般人对雷鸣电闪是容易感知的，因为它的感知强度很高，而对于昆虫的活动，如对蚂蚁行走的声音就难以觉察。因此，在实践中，要适当地提高感知对象的强度，并要注意那些强度很弱的对象。B．差异律。这是针对感知对象与它的背景的差异而言的。凡是观察对象与背景的差别越大，对象就被感知得越清晰；相反，凡是对象与背景的差别越小，对象就被感知得越不清晰。例如万绿丛中一点红，这点红就很容易被感知。鹤立鸡群，也是属于这类情形。但是在白幕上印白字，则几乎无法辨认。C．对比律。凡是两个显著不同甚至互相对立的事物，就容易被清楚地感知。因此，在观察中要善于用对比的方法，把具有对比意义的材料放在一起，甚至还可以制造对比环境。例如观察的高矮对比，色彩对比。D．活动律。活动的物体比静止的物体容易感知。魔术师用一只手做明显的动作吸引观众的注意力，而另一只手却在耍手法以达到他的目的。所以，在观察中要善于利用活动规律，达到观察目的。E．组合律。心理学的研究告诉我们，凡是空间上接近、时间上连续、形式上相同、颜色上一致的观察对象容易形成整体而为我们清晰地感知。因此，在实际观察中，要把零散的材料或事物，按空间接近、时间连续、形式相同或颜色一致的形式组合起来进行观察，从而找出各自的特点。例如在一堆乱物件中选大小相差不远，颜色相近的若干件，排列起来比较，就可看出彼此的差异。组合律，要求在观察中根据事物的特点进行适当的组合、编排，形成系统，分门别类。F．协同律。指在观察过程中，有效地发动各种感知器官，分工合作，协同活动，这样可以提高观察的效果。也指同时运用强度、差异、对比等规律去观察对象。17世纪捷克著名教育家夸美纽斯就曾要求人们尽可能地运用视、听、味、嗅、触等感官进行感知。我们学习要做到“五到”，就是眼到、耳到、口到、手到和心到，目的是要通过多种感知的渠道，提高观察的效力。G．养成持久的观察习惯。贝弗里奇说：“培养那种以积极的探究态度观注事物的习惯，有助于观察力的发展。在研究工作中养成良好的观察习惯比拥有大量的学术知识更重要，这种说法并不过分。”一个人有了持久的观察习惯，他能克服观察过程中所遇到的各种障碍和困难，把观察进行到底。而观察力就正是在这种“锲而不舍”的过程中得到锻炼和提高。训练8：书虫啃书书架上并排放着一套线装古书，分为第一卷和第二卷。假设这两卷书的书页厚度都是3厘米，封皮、封底的厚度都是2毫米。问：假如有一只书虫从第一卷的第一页开始啃书，直至啃到第二卷书的最后一页，那么，这只书虫一共啃了多长的距离？提示：按古书的装帧设计，是向右翻页的。游戏:最后一个取正方形或长方形或菱形或圆形的纸片一张,两人轮流往纸上放置硬币,硬币大小一样,,硬币之间不能重叠,也不能有一部分放在纸张外面,不能移动已经放置的硬币.能够放置最后一枚硬币者获胜.问:有何良策?15点游戏1-9九张扑克牌放在桌子上,两个人轮流取牌,谁手上的任意三张牌之和为15就获胜.492357816猜帽问题一天中午,三个男青年正在公园的草地上聊天,忽然争论起来,争论的是三人中谁最聪明,但无人肯服输,这时来了一个老人,老人说,不要再争了,我这里有五顶帽子,三顶黑色的,两顶白色的,你们闭上眼睛,我给你们每人戴上一顶,如谁能最先猜出自己帽子的颜色,谁就最聪明.三人经过商量后同意了,闭上了眼睛,老人便给三人都戴上了顶黑帽子,并把白帽子放进了自己口袋,此时便让三人把眼睛睁开了,三人面面相觑,过后不久,一青年突然跳了起来,他向老人说出自己戴的是黑帽子.请问他是如何知道的.限制条件:1.三人相隔至少五米,无法看到对方眼中的反影2.三人不能用任何事物触及自己的帽子3.三人之间不能有任何语言或行动上的交流A看到B、C都是黑帽子，自己有可能是白色，有可能是黑色。如果自己戴的是白色的，B，C戴的黑帽子。B&C看到的都是一白一黑。B想如果自己戴的白帽子，那么C肯定能立即说出C是黑帽子（因为他看到两个白帽子），所以我肯定是黑帽子。这样B就能得出结论。但现在B的不出结论，说明B，C，看到的并不是一白一黑，同样是两个黑的。所以三个人都是看到的两个黑的，所以可以猜出自己是黑帽子。海盗分宝石５个海盗抢到了１００颗宝石，每一颗都一样的大小和价值连城。他们决定这么分：第一步，抽签决定自己的号码（１、２、３、４、５）；第二步，首先，由１号提出分配方案，然后５个人进行表决，当且仅当超过半数的人同意时，按照他的提案进行分配，否则他将被扔入大海喂鲨鱼；第三步，１号死后，再由２号提出分配方案，然后４人进行表决，当且仅当超过半数的人同意时，按照他的提案进行分配，否则他将被扔入大海喂鲨鱼；第四步，以此类推。条件：每个海盗都是很聪明的人，都能很理智的判断得失，从而做出选择。问题：最后的分配结果如何？提示：海盗的判断原则：１．保命；２．尽量多得宝石；３．尽量多杀人。参考答案：推理的关键是找对思路。其实任何推理的源泉都在于简化。所以推理过程是这样的：从后向前推，如果１－３号强盗都喂了鲨鱼，只剩４号和５号的话，５号一定投反对票让４号喂鲨鱼，以独吞全部金币。所以，４号惟有支持３号才能保命。３号知道这一点，就会提（１００，０，０）的分配方案，对４号、５号一毛不拔而将全部金币归为已有，因为他知道４号一无所获但还是会投赞成票，再加上自己一票，他的方案即可通过。不过，２号推知到３号的方案，就会提出（９８，０，１，１）的方案，即放弃３号，而给予４号和５号各一枚金币。由于该方案对于４号和５号来说比在３号分配时更为有利，他们将支持他而不希望他出局而由３号来分配。这样，２号将拿走９８枚金币。不过，２号的方案会被１号所洞悉，１号并将提出（９７，０，１，２，０）或（９７，０，１，０，２）的方案，即放弃２号，而给３号一枚金币，同时给４号（或５号）２枚金币。由于１号的这一方案对于３号和４号（或５号）来说，相比２号分配时更优，他们将投１号的赞成票，再加上１号自己的票，１号的方案可获通过，９７枚金币可轻松落入囊中。这无疑是１号能够获取最大收益的方案了！可以看出，这个推理过程就先考虑简化的极端情况，从而顺藤摸瓜，得出最后的结果。另外，这其实是经济学中的博弈问题，１号提出的方案就是这种情况下的纳什均衡。一道推理题目同时涉及了经济学的基本原理，可见这道考题的老辣了。(程亮)纳什均衡纳什均衡，Nashequilibrium,又称为非合作博弈均衡，是博弈论的一个重要术语，以约翰·纳什命名。约翰·纳什1948年作为年轻数学博士生进入普林斯顿大学。其研究成果见于题为《非合作博弈》（1950）的博士论文。该博士论文导致了《n人博弈中的均衡点》（1950）和题为《非合作博弈》（1951）两篇论文的发表假设有n个局中人参与博弈，给定其他人策略的条件下，每个局中人选择自己的最优策略（个人最优策略可能依赖于也可能不依赖于他人的战略），从而使自己效用最大化。所有局中人策略构成一个策略组合（StrategyProfile）。纳什均衡指的是这样一种战略组合，这种策略组合由所有参与人最优策略组成。即在给定别人策略的情况下，没有人有足够理由打破这种均衡。囚徒困境（1950年，数学家塔克任斯坦福大学客座教授，在给一些心理学家作讲演时，讲到两个囚犯的故事。）假设有两个小偷A和B联合犯事、私入民宅被警察抓住。警方将两人分别置于不同的两个房间内进行审讯，对每一个犯罪嫌疑人，警方给出的政策是：如果一个犯罪嫌疑人坦白了罪行，交出了赃物，于是证据确凿，两人都被判有罪。如果另一个犯罪嫌疑人也作了坦白，则两人各被判刑8年；如果另一个犯罪嫌人没有坦白而是抵赖，则以妨碍公务罪（因已有证据表明其有罪）再加刑2年，而坦白者有功被减刑8年，立即释放。如果两人都抵赖，则警方因证据不足不能判两人的偷窃罪，但可以私入民宅的罪名将两人各判入狱1年。表2.2给出了这个博弈的支付矩阵。博弈的支付矩阵博弈矩阵B坦白B抵赖A坦白-8，-80，-10A抵赖-10，0-1，-1这两个人都会有这样一个盘算过程：假如他坦白，我抵赖，得坐10年监狱，坦白最多才8年；他要是抵赖，我就可以被释放，而他会坐10年牢。综合以上几种情况考虑，不管他坦白与否，对我而言都是坦白了划算。两个人都会动这样的脑筋，最终，两个人都选择了坦白，结果都被判8年刑期。这样两人都选择坦白的策略以及因此被判8年的结局被称为“纳什均衡”，也叫非合作均衡。从“纳什均衡”的普遍意义中我们可以深刻领悟司空见惯的经济、社会、政治、国防、管理和日常生活中的博弈现象。我们将例举出许多类似于“囚徒的两难处境”这样的例子。如价格战、军奋竞赛、污染等等。污染假如市场经济中存在着污染，但政府并没有管制的环境，企业为了追求利润的最大化，宁愿以牺牲环境为代价，也绝不会主动增加环保设备投资。按照看不见的手的原理，所有企业都会从利己的目的出发，采取不顾环境的策略，从而进入“纳什均衡”状态。如果一个企业从利他的目的出发，投资治理污染，而其他企业仍然不顾环境污染，那么这个企业的生产成本就会增加，价格就要提高，它的产品就没有竞争力，甚至企业还要破产。这是一个“看不见的手的有效的完全竞争机制”失败的例证。直到20世纪90年代中期，中国乡镇企业的盲目发展造成严重污染的情况就是如此。只有在政府加强污染管制时，企业才会采取低污染的策略组合。企业在这种情况下，获得与高污染同样的利润，但环境将更好。农夫做了