知识讲解-离散型随机变量的均值与方差(理)(基础)

第1页共15页离散型随机变量的均值与方差【学习目标】1.理解取有限个值的离散型随机变量的均值或期望的概念，会根据离散型随机变量的分布列求出均值或期望，并能解决一些实际问题；2.理解取有限个值的离散型随机变量的方差、标准差的概念，会根据离散型随机变量的分布列求出方差或标准差，并能解决一些实际问题；【要点梳理】要点一、离散型随机变量的期望1.定义：一般地，若离散型随机变量的概率分布为1x2x…ix…P1p2p…ip…则称E11px22px…nnpx…为的均值或数学期望，简称期望．要点诠释：（1）均值（期望）是随机变量的一个重要特征数，它反映或刻画的是随机变量取值的平均水平．（2）一般地，在有限取值离散型随机变量的概率分布中，令1p2p…np，则有1p2p…npn1，E1(x2x…nxn1)，所以的数学期望又称为平均数、均值。（3）随机变量的均值与随机变量本身具有相同的单位．2．性质：①()EEE；②若ba(a、b是常数)，是随机变量，则也是随机变量，有baEbaE)(；baEbaE)(的推导过程如下：：的分布列为1x2x…ix…bax1bax2…iaxb…P1P2P…iP…于是E11)(pbax22)(pbax…()iiaxbp…＝11(pxa22px…iixp…)1(pb2p…ip…)＝baE第2页共15页∴baEbaE)(。要点二：离散型随机变量的方差与标准差1.一组数据的方差的概念：已知一组数据1x，2x，…，nx，它们的平均值为x，那么各数据与x的差的平方的平均数[12nS21)(xx＋22)(xx＋…＋])(2xxn叫做这组数据的方差。2.离散型随机变量的方差：一般地，若离散型随机变量的概率分布为1x2x…ix…P1p2p…ip…则称D＝121)(pEx＋222)(pEx＋…＋2()nixEp＋…称为随机变量的方差，式中的E是随机变量的期望．D的算术平方根D叫做随机变量的标准差，记作．要点诠释：⑴随机变量的方差的定义与一组数据的方差的定义式是相同的；⑵随机变量的方差、标准差也是随机变量ξ的特征数，它们都反映了随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度；方差（标准差）越小，随机变量的取值就越稳定（越靠近平均值）．⑶标准差与随机变量本身有相同的单位，所以在实际问题中应用更广泛。3.期望和方差的关系：22()()DEE4.方差的性质：若ba(a、b是常数)，是随机变量，则也是随机变量，2()DDabaD；要点三：常见分布的期望与方差1、二点分布：若离散型随机变量服从参数为p的二点分布，则期望Ep方差(1).Dpp第3页共15页证明：∵(0)Pq,(1)Pp,01p,1pq∴01Eqpp22(0)(1)(1).Dpqpppp2、二项分布：若离散型随机变量服从参数为,np的二项分布，即~(),BnP，则期望EnP方差(1-)Dnpp期望公式证明：∵knkknknkknqpCppCkP)1()(，∴001112220012......nnnkknknnnnnnnECpqCpqCpqkCpqnCpq，又∵11)]!1()1[()!1()!1()!(!!knknnCknknnknknkkC，∴E(np0011nnCpq＋2111nnqpC＋…＋)1()1(111knkknqpC＋…＋)0111qpCnnnnpqpnpn1)(．3、几何分布：独立重复试验中，若事件A在每一次试验中发生的概率都为p，事件A第一次发生时所做的试验次数是随机变量，且1()(1)kPkpp，0,1,2,3,,,kn，称离散型随机变量服从几何分布，记作：~()()PkkPg，。若离散型随机变量服从几何分布，且~()()PkkPg，，则期望1.Ep方差21-pDp要点诠释：随机变量是否服从二项分布或者几何分布，要从取值和相应概率两个角度去验证。4、超几何分布：若离散型随机变量服从参数为,,NMn的超几何分布，则第4页共15页期望()nMEN要点四：离散型随机变量的期望与方差的求法及应用1、求离散型随机变量的期望、方差、标准差的基本步骤：①理解的意义，写出可能取的全部值；②求取各个值的概率，写出分布列；1x2x…ix…P1p2p…ip…③根据分布列，由期望、方差的定义求出E、D、：1122nnExpxpxp2221122nnDxEpxEpxEpD.注意：常见分布列的期望和方差，不必写出分布列，直接用公式计算即可．2.离散型随机变量的期望与方差的实际意义及应用①离散型随机变量的期望，反映了随机变量取值的平均水平；②随机变量的方差与标准差都反映了随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度。方差越大数据波动越大。③对于两个随机变量1和2，当需要了解他们的平均水平时，可比较1E和2E的大小。④1E和2E相等或很接近，当需要进一步了解他们的稳定性或者集中程度时，比较1D和2D，方差值大时，则表明ξ比较离散，反之，则表明ξ比较集中．品种的优劣、仪器的好坏、预报的准确与否、武器的性能等很多指标都与这两个特征数（数学期望、方差）有关．【典型例题】类型一、离散型随机变量的期望例1．某射手射击所得环数ξ的分布列如下：ξ78910Px0.10.3y已知ξ的期望Eξ＝8.9，则y的值为________．【思路点拨】分布列中含有字母x、y,应先根据分布列的性质，求出x、y的值，再利用期望的定义求解；【解析】x＋0.1＋0.3＋y＝1，即x＋y＝0.6.①第5页共15页又7x＋0.8＋2.7＋10y＝8.9，化简得7x＋10y＝5.4.②由①②联立解得x＝0.2，y＝0.4.【总结升华】求期望的关键是求出分布列，只要随机变量的分布列求出，就可以套用期望的公式求解，举一反三：【变式1】某一离散型随机变量ξ的概率分布如下，且E（ξ）=1.5，则a－b为（）．ξ0123P0.1ab0.1A．－0.1B．0C．0.1D．0.2【答案】B由分布列的性质知：0.1+a+b+0.1=1，∴a+b=0.8．又E（ξ）=0×0.1+1×a+2×b+3×0.1=1.5，即a+2b=1.2．解得a=0.4，b=0.4，∴a－b=0．【变式2】随机变量ξ的分布列为ξ024P0.40.30.3，则E(5ξ＋4)等于()A．13B．11C．2.2D．2.3【答案】A由已知得：E(ξ)＝0×0.4＋2×0.3＋4×0.3＝1.8，∴E(5ξ＋4)＝5E(ξ)＋4＝5×1.8＋4＝13.【变式3】节日期间，某种鲜花进货价是每束2.5元，销售价每束5元；节后卖不出去的鲜花以每束1.6元价格处理．根据前五年销售情况预测，节日期间这种鲜花的需求量服从如下表所示的分布，若进这种鲜花500束，则期望利润是ξ200300400500P0.200.350.300.15A.706元B．690元C．754元D．720元【答案】A节日期间预售的量：Eξ＝200×0.2＋300×0.35＋400×0.3＋500×0.15＝40＋105＋120＋75＝340(束)，则期望的利润：η＝5ξ＋1.6(500－ξ)－500×2.5＝3.4ξ－450，∴Eη＝3.4Eξ－450＝3.4×340－450＝706.∴期望利润为706元．【变式4】设离散型随机变量的可能取值为1，2，3，4，且()Pkakb（1,2,3,4k），3E，则ab；【答案】0.1；由分布列的概率和为1，有()(2)(3)(4)1abababab，第6页共15页又3E，即1()2(2)3(3)4(4)3abababab，解得0.1a，0b，故0.1ab。例2.某同学参加科普知识竞赛，需回答三个问题，竞赛规则规定：每题回答正确得100分，回答不正确得－100分．假设这名同学回答正确的概率均为0.8，且各题回答正确与否相互之间没有影响．（1）求这名同学回答这三个问题的总得分X的概率分布和数学期望；（2）求这名同学总得分不为负分（即X≥0）的概率．【思路点拨】本题显然为独立重复试验的问题，因此求各个情况的概率直接用公式即可。（1）求X的可能取值，即求得分，答对0道题得－300分，答对1道题得100－200=－100分，答对2道题得2×100－100=100分，答对3道题得300分；（2）总分不为负分包括100分和300分两种情况．【解析】（1）X的可能取值为－300，－100，100，300．P（X=－300）=0.23=0.008。P（X=－100）=13C×0.22×0.8=0.096，P（X=100）=23C×0.2×0.82=0.384，P（X=300）=0.83=0.512．所以X的概率分布为X－300－100100300P0.0080.0960.3840.512∴E（X）=(－300)×0.008+(－100)×0.096+100×0.384+300×0.512=180．（2）这名同学总得分不为负分的概率为P（X≥0）=P（X=100）+P（X=300）=0.384+0.512=0.896．【总结升华】求离散型随机变量均值的关键在于列出概率分布表．举一反三：【变式1】篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分，罚不中得0分，已知他命中的概率为0.7，求他罚球一次得分的期望奎屯王新敞新疆【答案】因为3.0)0(,7.0)1(PP，所以7.03.007.01E奎屯王新敞新疆【变式2】一盒中装有零件12个，其中有9个正品，3个次品，从中任取一个，如果每次取出次品就不再放回去，再取一个零件，直到取得正品为止．求在取得正品之前已取出次品数的期望．【答案】设取得正品之前已取出的次品数为，显然所有可能取的值为0，1，2，3第7页共15页当0时，即第一次取得正品，试验停止，则93(0)124p当1时，即第一次取出次品，第二次取得正品，试验停止，则(1)p449119123当2时，即第一、二次取出次品，第三次取得正品，试验停止，则(2)p2209109112123当3时，即第一、二、三次取出次品，第四次取得正品，试验停止，则(3)p220199101112123∴分布列为0123p3494492201220∴39913012344422022010E【变式3】某城市出租汽车的起步价为10元，行驶路程不超出4km时租车费为10元，若行驶路程超出4km，则按每超出lkm加收2元计费(超出不足lkm的部分按lkm计)．从这个城市的民航机场到某宾馆的路程为15km．某司机经常驾车在机场与此宾馆之间接送旅客，由于行车路线的不同以及途中停车时间要转换成行车路程(这个城市规定，每停车5分钟按lkm路程计费)，这个司机一次接送旅客的行车路程ξ是一个随机变量．设他所收租车费为η奎屯王新敞新疆(Ⅰ)求租车费η关于行车路程ξ的关系式；(Ⅱ)若随机变量ξ的分布列为ξ15161718P0.10.50.30.1求所收租车费η的数学期望．(Ⅲ)已知某旅客实付租车费38元，而出租汽车实际行驶了15km，问出租车在途中因故停车累计最多几分钟?【答案】(Ⅰ)依题意得η=2(ξ-4)十10，即η=2ξ+2；(Ⅱ)E4.161.0183.0175.0161.015第8页共15页∵η=2ξ+2∴E2Eξ+2=34.8（元）故所收租车费η的数学期望为34.8元．(Ⅲ)由38=