复变函数习题答案第2章习题详解

1第二章习题详解1．利用导数定义推出：1)1nnnzz'（n为正整数）解：zzzzznnznzzzzzzznnnnnznnzn22100121limlim'11210121nnnnznzzzznnnzlim2)211zz'解：2000111111zzzzzzzzzzzzzzzzzlimlimlim'2．下列函数何处可导？何处解析？1)iyxzf2解：设ivuzf，则2xu，yvxxu2，0yu，0xv，1yv都是连续函数。只有12x，即21x时才满足柯西—黎曼方程。iyxzf2在直线21x上可导，在复平面内处处不解析。2)3332yixzf解：设ivuzf，则32xu，33yv26xxu，0yu，0xv，29yyv都是连续函数。只有2296yx，即032yx时才满足柯西—黎曼方程。3332yixzf在直线032yx上可导，在复平面内处处不解析。3)yixxyzf22解：设ivuzf，则2xyu，yxv222yxu，xyyu2，xyxv2，2xyv都是连续函数。只有22xy且xyxy22，即0yx时才满足柯西—黎曼方程。iyxzf2在点00,处可导，在复平面内处处不解析。4)xshyixchyzfcossin解：设ivuzf，则xchyusin，xshyvcosxchyxucos，xshyyusin，xshyxvsin，xchyyvcos都是连续函数。完全满足柯西—黎曼方程。iyxzf2在复平面内处处可导，在复平面内处处解析。3．指出下列函数zf的解析性区域，并求出其导数。1)51z解：415zzf'，zf在复平面内处处解析。2)ziz23解：izzf232'，zf在复平面内处处解析。3)112z解：2212zzzf'，1z，zf在复平面内除点1z外处处解析。4)dczbaz（c，d中至少有一个不为0）解：22dczbcaddczbazcdczazf'当0c，则当cdz时，2dczbcadzf'，zf在复平面内除点cdz外处处解析。当0c时，则0d，dazf'，zf在复平面内处处解析。4．求下列函数的奇点：31)112zzz解：令012zz，解得0z，iz。故112zzzzf有0、i、i三个奇点。2)11222zzz解：令01122zz，解得1z，iz。故11222zzzzf有1、i、i三个奇点。5．复变函数的可导性与解析性有什么不同？判断函数的解析性有哪些方法？解：复变函数的可导性是函数在某一点的局部性质，而解析性是函数在一个区域内的整体性质。判断函数的解析性有两种法。一是用定义，利用函数的可导性判断解析性；二是用定理：函数yxivyxuzf,,在其定义域D内解析yxu,和yxv,在D内点iyxz可微，并且满足柯西—黎曼方程。6．判断下列命题的真假，若真，请给以证明；若假，请举例说明。1)如果zf在0z连续，那末0zf'存在；解：假命题。例如，yixzf2在复平面内任意一点0z都连续，但不满足柯西—黎曼方程，故zf'不存在。2)如果zf'存在，那末zf在0z解析；解：假命题。例如，yixxyzf22，zf在点00z可导，但yixzf2在0z点不解析。3)如果0z是zf的奇点，那末zf在0z不可导；解：假命题。例如，iyxzf33在复平面内处处不解析，因此处处是奇点，但zf在0yx上的点均可导。4)如果0z是zf和zg的一个奇点，那末0z也是zgzf和zgzf的奇点；解：假命题。例如，zzf与zzg在复平面内处处不解析，即复平面内任意一点0z都是zf与zg的奇点。但0zzzgzf在复平面内处处解析，即zgzf在复平面内没有奇点。5)如果yxu,和yxv,可导（指偏导数存在），那末ivuzf亦可导；解：假命题。例如，设yixzf2，则xyxu,，yzv2均可导，但不满足柯西—黎曼方程，因此zf不可导。6)设ivuzf在区域D内是解析的。如果u是实常数，那末zf在整个D内是常数；如果v是实4常数，那末zf在D内也是常数。解：真命题。下面证明：因为ivuzf在区域D内解析，即满足柯西—黎曼方程：yvxu，xvyu如果u是实常数，则0yvxu，0xvyu，即v为实常数，故zf在D内为常数。如果v是实常数，则0yvxu，0xvyu，即u为实常数，故zf在D内为常数。7．如果ivuzf是z的解析函数，证明：222zfzfyzfx'。证明：ivuzf22vuzf22222221222xvvxuuvuvuxvvxuuzfx22222221222yvvyuuvuvuyvvyuuzfyivuzf在点z处解析，yvxu，xvyu2222222211yvvyuuvuxvvxuuvuzfyzfx2222222211xuvxvuxvvxuuvuyvvyuuxvvxuuvu2222222222221xuvxvxuuvxvuxvvxvxuuvxuuvu2222222222221xvxuxuvxvuxvvxuuvuxvixuzf'222xvxuzf'222zfzfyzfx'58．设2323lxyxiynxmy为解析函数，试确定l、m、n的值。解：设ynxmyyxu23,，23lxyxyxv,，则nxyxu2，223nxmyyu，223lyxxv，lxyyv2yvxulxynxy22lnxvyu222233lyxnxmylmn333ln，1m，2323lxyxiynxmy为解析函数9．证明柯西—黎曼方程的极坐标形式是：vrru1，vrru1证明：直角坐标与极坐标的转换公式为sincosryrx，于是由复合函数求导得：sincosyuxuryyurxxurucossinryurxuyyuxxuusincosyvxvryyvrxxvrvcossinryvrxvyyvxxvvyvxu，xvyusincossincosxuyuyvxvrvcossincossinxuyurryvrxvvurxuryurvrsincosruxuyuvrcossin1即：vrru1，vrru1610．证明：如果函数ivuzf在区域D内解析，并满足下列条件之一，那末zf是常数。1)zf恒取实值；证明：zf恒取实值，即0yxv,。ivuzf是解析函数，所以0yvxu，0xvyu0yuxu即yxu,为常数，故zf是常数。2)zf在D内解析；证明：因为ivuzf在区域D内解析，所以yvxu，xvyu又为ivuzf在区域D内解析，所以yvxu，xvyu0yvxvyuxu，故zf是常数。3)zf在D内是一个常数；证明：设cvu22022022yvvyuuxvvxuu00yvvyuuxvvxuu0yvyuxvxu同时yvxu，xvyu成立。所以022xvxu0xvxu0yvxvyuxu即u，v均为常数，故zf是常数。4)zfarg在D内是一个常数；证明：设zfarg，则。○1如果2，则0u，从而0yuxu，又zf在D内解析，0yvxvyuxu，所以v为常数，故zf是常数。7○2如果22，则uvarctg，于是有00yvuyuvxvuxuv0yvyuxvxu同时yvxu，xvyu成立。所以022xvxu0xvxu0yvxvyuxu即u，v均为常数，故zf是常数。○3如果2，则uvarctg；如果2，则uvarctg，与○2的讨论一样，可得到zf是常数。5)cbvau，其中a，b与c为不全为零的实常数。证明：因为cbvau，且ba,与c为不全为零，所以a和b不能同时为零。假设0a，则有bvcau1，于是xvabxu，yvabyuivuzf在区域D内解析，yvxu，xvyu，0yvxvyuxu，所以v为常数，故zf是常数。11．下列关系是否正确？1)zzee解：设iyxz，则ziyxiyxiyxiyxzeeeeeeee2)zzcoscos解：zeeeeeezizizizizizizcoscos2121213)zzsinsin解：zeeieeieeizizizizizizizsinsin21212112．找出下列方程的全部解：1)0z