人教八下数学课件-18.2.3正方形

18.2特殊的平行四边形18.2.3正方形第一课时第二课时人教版数学八年级下册正方形的性质第一课时返回除了矩形和菱形外，还有什么特殊的平行四边形呢？正方形怎样研究这类图形？想一想我们是怎样研究矩形和菱形的.导入新知1.理解正方形与平行四边形、矩形、菱形概念之间的联系和区别.2.能用正方形的定义、性质进行推理与计算.素养目标平行四边形情境一：观察体会探究新知知识点1正方形的定义探究新知探究新知探究新知矩形探究新知矩形探究新知矩形菱形探究新知矩形菱形平行四边形探究新知矩形菱形平行四边形探究新知矩形菱形平行四边形探究新知矩形菱形平行四边形探究新知矩形菱形平行四边形探究新知矩形菱形正方形平行四边形你能给正方形下一个定义吗？探究新知问题1：图中CD在平移时，这个图形始终是怎样的图形？问题2：当CD移动到CD位置，此时AD＝AB，四边形ABCD还是矩形吗？ABCDABCD正方形是特殊的矩形情景二：两组互相垂直的平行线围成矩形ABCD探究新知矩形正方形〃【思考】1.探究新知矩形一组邻边相等时变成怎样的图形呢?菱形∟∟∟∟正方形【思考】2.菱形有一个角是直角时变成怎样的图形呢?探究新知小结：矩形正方形邻边相等发现：一组邻边相等的矩形叫正方形.菱形一个角是直角正方形∟发现：一个角为直角的菱形叫正方形.如何来给正方形下定义？探究新知有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫正方形.请同学们拿出准备好的正方形纸片,折一折,观察并思考.正方形是不是轴对称图形?如果是,那么对称轴有几条?对称性：.对称轴：.轴对称图形4条ABCD探究新知知识点2正方形的性质总结：平行四边形、矩形、菱形、正方形的对称性平行四边形中心对称图形（对角线的交点）即是中心对称图形，又是轴对称图形（两条）即是中心对称图形，又是轴对称图形（两条）即是中心对称图形，又是轴对称图形（四条）探究新知矩形菱形正方形有一组邻边相等且有一个角是直角(1)(2)(3)(4)探究新知平行四边形平行四边形、矩形、菱形、正方形之间关系：矩形菱形正方形矩形菱形正方形平行四边形正方形是特殊的平行四边形,也是特殊的矩形,也是特殊的菱形.所以矩形、菱形有的性质,正方形都有.平行四边形、矩形、菱形、正方形之间关系：探究新知性质：1.正方形的四个角都是直角,四条边相等.2.正方形的对角线相等且互相垂直平分.已知：如图,四边形ABCD是正方形.求证：正方形ABCD四边都相等,四个角都是直角.ABCD证明：∵四边形ABCD是正方形.∴∠A=90°,AB=BC（正方形的定义）.又∵正方形是平行四边形.∴正方形是矩形（矩形的定义）,正方形是菱形(菱形的定义).∴∠A=∠B=∠C=∠D=90°,AB=BC=CD=AD.探究新知已知：如图,四边形ABCD是正方形.对角线AC、BD相交于点O.求证：AO=BO=CO=DO,AC⊥BD.ABCDO证明：∵正方形ABCD是矩形,∴AO=BO=CO=DO.∵正方形ABCD是菱形.∴AC⊥BD.探究新知例1求证:正方形的两条对角线把这个正方形分成四个全等的等腰直角三角形.ADCBO已知:如图,四边形ABCD是正方形,对角线AC、BD相交于点O.求证:△ABO、△BCO、△CDO、△DAO是全等的等腰直角三角形.证明:∵四边形ABCD是正方形,∴AC=BD,AC⊥BD,AO=BO=CO=DO.∴△ABO、△BCO、△CDO、△DAO都是等腰直角三角形,并且△ABO≌△BCO≌△CDO≌△DAO.素养考点1探究新知利用正方形的性质求线段相等1.已知正方形ABCD，若E为对角线上一点，连接EA、EC.EA=EC吗？说说你的理由.EABCD12？？巩固练习解：EA=EC.理由如下：∵四边形ABCD是正方形，∴AB=BC，∠1=∠2=45°，又∵BE=BE∴△ABE≌△CBE∴AE=CE.DABCE例2如图，在正方形ABCD中，ΔBEC是等边三角形，求证：∠EAD＝∠EDA＝15°.证明：∵ΔBEC是等边三角形，∴BE=CE=BC,∠EBC=∠ECB=60°，∵四边形ABCD是正方形，∴AB=BC=CD,∠ABC=∠DCB=90°，∴AB=BE=CE=CD,∠ABE=∠DCE=30°，∴△ABE，△DCE是等腰三角形，∴∠BAE=∠BEA=∠CDE=∠CED=75°，∴∠EAD=∠EDA=90°-75°=15°.探究新知素养考点2利用正方形的性质求角度2.已知：如图，在正方形ABCD中，F为CD延长线上一点，CE⊥AF于E，交AD于M，求证：∠MFD＝45°证明：∵CE⊥AF，∴∠ADC＝∠AEM＝90°又∵∠CMD＝∠AME，∴∠1＝∠2又∵CD＝AD，∠ADF＝∠MDC∴Rt△CDM≌Rt△ADF(ASA)∴DM=DF.∴∠DMF=∠DFM∵∠ADF=90°，∴∠MFD=45°.巩固练习例3如图四边形ABCD和DEFG都是正方形，试说明AE=CG.解：∵四边形ABCD是正方形∴AD=CD又∵四边形DEFG也是正方形∴DE=DG又∵正方形的每个内角为90°∴∠ADE＋∠EDC＝∠CDG＋∠EDC，∴∠ADE＝∠CDG∴△AED≌△CGD.∴AE=CGABCDEFG素养考点3利用正方形的性质求线段相等探究新知3.已知：如图，点E是正方形ABCD的边CD上一点，点F是CB的延长线上一点，且DE=BF．求证：（1）AE=AF；（2）EA⊥AF．123巩固练习证明：（1）∵ABCD是正方形∴AD=AB，∠ADE=∠ABF=90°在△ABF与△ADE中，AD=AB,∠ADE=∠ABF=90°，DE=BF∴△ABF≌△ADE（SAS）∴AE=AF,∠1=∠3（2）∵∠2+∠3=90°∴∠1+∠2=90°，∴EA⊥FA（2018•吉林）如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在BC，CD上，且BE=CF，求证：△ABE≌△BCF．巩固练习连接中考证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AB=BC，∠ABE=∠BCF=90°，在△ABE和△BCF中，∴△ABE≌△BCF．AB=BC∠ABE=∠BCFBE=CFADBCEF1.正方形具有而矩形不一定具有的性质是()A.四个角相等B.对角线互相垂直平分C.对角互补D.对角线相等2.正方形具有而菱形不一定具有的性质（）A.四条边相等B.对角线互相垂直平分C.对角线平分一组对角D.对角线相等BD课堂检测基础巩固题3．在正方形ABC中,∠ADB=,∠DAC=,∠BOC=.4.在正方形ABCD中，E是对角线AC上一点，且AE=AB，则∠EBC的度数是.ADBCOADBCOE45°90°22.5°第3题图第4题图45°课堂检测基础巩固题5.如图，四边形ABCD是正方形，对角线AC与BD相交于点O，AO＝2，求正方形的周长与面积．∵四边形ABCD是正方形，∴AC⊥BD，OA＝OD＝2.在Rt△AOD中，由勾股定理，得∴正方形的周长为4AD＝，面积为AD2＝8.课堂检测基础巩固题82解:ADBCO如图，在正方形ABCD中，P为BD上一点，PE⊥BC于E，PF⊥DC于F.试说明：AP=EF.ABCDPEF解:连接PC，AC.又∵PE⊥BC，PF⊥DC,∵四边形ABCD是正方形,∴∠FCE=90°，AC垂直平分BD,∴四边形PECF是矩形,∴PC=EF.∴AP=PC.∴AP=EF.课堂检测能力提升题四边形ABCD是正方形，以正方形ABCD的一边作等边△ADE，求∠BEC的大小．解：当等边△ADE在正方形ABCD外部时，如图①，AB＝AE，∠BAE＝90°＋60°＝150°.∴∠AEB＝15°.∴∠BEC＝60°－15°－15°＝30°；课堂检测拓广探索题同理可得∠DEC＝15°.当等边△ADE在正方形ABCD内部时，如图②，AB＝AE，∠BAE＝90°－60°＝30°，∴∠AEB＝75°.同理可得∠DEC＝75°.∴∠BEC＝360°－75°－75°－60°＝150°.综上所述，∠BEC的大小为30°或150°.课堂检测拓广探索题1.四个角都是直角2.四条边都相等3.对角线相等且互相垂直平分正方形的性质性质定义有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形.课堂小结正方形的判定第二课时返回宁宁在商场看中了一块正方形纱巾，但不知是否是正方形，只见售货员阿姨拉起纱巾的一组对角，另一组对角能完全重合，看宁宁还在犹豫，又拉起纱巾的另一组对角，剩下的那组对角也能完全重合.阿姨认为这样就能证明纱巾是正方形，把纱巾给了宁宁，你认为宁宁手上的纱巾一定是正方形吗？导入新知2.能应用正方形定义、判定等知识，解决简单的证明题和计算题.1.理解并掌握正方形的判定方法.素养目标做一做：把可以活动的菱形框架的一个角变为直角，观察这时菱形框架的形状.量量看是不是正方形.正方形【讨论】满足怎样条件的菱形是正方形？正方形一个角是直角或对角线相等探究新知知识点1正方形的判定已知：如图,在菱形ABCD中,AC,DB是它的两条对角线,AC=DB.求证：四边形ABCD是正方形.ABCDO求证：对角线相等的菱形是正方形.探究新知∵四边形ABCD是菱形,∴AB=BC=CD=AD,AC⊥DB.∵AC=DB,∴AO=BO=CO=DO,∴△AOD,△AOB,△COD,△BOC是等腰直角三角形，∴∠DAB=∠ABC=∠BCD=∠ADC=90°,∴四边形ABCD是正方形.证明：做一做：准备一张矩形的纸片，按照下图折叠,然后展开，折叠部分得到一个正方形，可量一量验证验证.正方形【讨论】满足怎样条件的矩形是正方形？矩形正方形一组邻边相等或对角线互相垂直探究新知矩形已知：如图,在矩形ABCD中,AC,DB是它的两条对角线,AC⊥DB.求证：矩形ABCD是正方形.证明：∵四边形ABCD是矩形,∴AO=CO=BO=DO，∠ADC=90°.∵AC⊥DB,∴AD=AB=BC=CD,∴矩形ABCD是正方形.求证：对角线互相垂直的矩形是正方形.探究新知ABCDO正方形矩形有一组邻边相等菱形正方形常见的判定方法先证是矩形再证是菱形或先证是菱形再证是矩形探究新知平行四边形5种判定方法一个角是直角且一组邻边相等平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定小结探究新知例1已知：如图，△ABC中，∠C=90°，CD平分∠ACB，DE⊥BC于E，DF⊥AC于F．求证：四边形CFDE是正方形．FEDACB∵∠C=90°，DE⊥BC于E，DF⊥AC于F∴∠DEC=90°，∠DFC=90°，∴四边形CFDE有三个直角，它是矩形又∵CD平分∠ACB∴DE=DF∴四边形CFDE是正方形探究新知素养考点1由矩形到正方形的识别证明：∵DE⊥AC，DF⊥BC，∴∠DEC=∠DFC=90°.又∵∠C=90°，∴四边形ADFC是矩形.过点D作DG⊥AB，垂足为G.∵AD是∠CAB的平分线DE⊥AC，DG⊥AB，同理得DG=DF，∴四边形EDFC是正方形.1.如图，在直角三角形中，∠C=90°，∠A、∠B的平分线交于点D.DE⊥AC，DF⊥BC.求证:四边形CEDF为正方形.ABCDEFG巩固练习证明：∴DE=DG.∴ED=DF，证明：∵四边形ABCD为正方形,∴OB=OC,∠ABO=∠BCO=45°,∠BOC=90°=∠COH+∠BOH.∵EG⊥FH,∴∠COH=∠BOE,∴OE=OH.BACDOEHGF例2如图，EG,FH过正方形ABCD的对角线的交点O,且EG⊥FH.求证：四边形EFGH是正方形.探究新知素养考点2由菱形到正方形的识别∴OE=OF=OG=OH.∵EO+GO=FO+HO,即EG=HF,∴∠BOE+∠BOH=90°,∴△CHO≌△BEO,同理可证：OE=OF=OG,又∵EG⊥FH,∴四边形EFGH为菱形.∴四边形EFGH为正方形.2.在正方形ABCD中，点E、F、M、N分别在各边上，且AE=BF=CM=DN．四边形EFMN是正方形吗?为什么?∵四边形ABCD是正方形，∴AB=BC=CD=DA，∠A=∠B=∠C=∠D=90°.∵AE=BF=CM=DN，∴AN=BE=CF=DM.巩固练习解：四边形EFMN是正方形.理由如下：AE=BF=CM=DN,∠