平行四边形存在性问题

中考复习小专题——平行四边形存在性问题苑陵中学赵晓红存在性问题是指判断满足某种条件的事物是否存在的问题，这类问题多以压轴题形式出现，其包涵知识覆盖面较广，综合性较强，题意构思非常精巧，解题方法灵活，对学生分析问题和解决问题的能力要求较高，是近几年中考的“热点”，更是难点。存在性问题类型很多，今天这节课只研究——平行四边形存在性问题平行四边形存在性问题分两类型第一类型：一个动点平行四边形存在性问题第二类型：两个动点平行四边形存在性问题抛砖引玉1.点A、B、C是平面内不在同一条直线上的三点,点D是平面内任意一点,若A、B、C、D四点恰好构成一个平行四边形,则在平面内符合这样条件的点D有()A1个B2个C3个D4个ACBDDDC第一类型：一个动点平行四边形存在性问题2.如图,在平面直角坐标系中,点A坐标(-1,0),B(3,0),C(0,2),点D是平面内任意一点,若A、B、C、D四点恰好构成一个平行四边形,则在平面内符合这样条件的点D的坐标为AOC(0,2)B(3,0)DDDE(2,-2)(4,2)(-4,2)(-1,0)例1.如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC的边长为2cm，点A、C分别在y轴的负半轴和x轴的正半轴上，抛物线y=ax2+bx+c经过点A和B，且12a+5c=0（1）求抛物线的解析式；（2）如果点P由点A沿AB边以2cm/ｓ的速度向点B移动，同时点Q由点B开始沿BC边以1cm/ｓ的速度向点C移动，那么：①移动开始后第t秒时，设S=PQ2（cm2），试写出S与t之间的函数关系式，并写出t的取值范围；②当S取最小值时，在抛物线上是否存在点R，使得以P、B、Q、R为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点R的坐标；若不存在，请说明理由。②当取得最小值时，St45∴，，，PQ()()852265RRR点P、B、Q都是定点，只有点R一个动点位置不确定分两种情况：第一类型：一个动点平行四边形存在性问题∴BPQR28525解:假设在抛物线上存在点R，使得以P、B、Q、R为顶点的四边形是平行四边形，分两种情况：(1)当PB为一条边，使四边形PBRQ为平行四边形时∴，∴，，22512512565R()经检验，在抛物线上，R()12565RR显然，□PBQR的点R不在抛物线上.∵BQtPR45∴245145∴，，经检验，不在抛物线上RR()()8514585145综上所述，当最小时，抛物线上存在点，，使得以、、、SRPBQR()12565(2)当PB为一条对角线，使四边形PRBQ为平行四边形时为顶点的四边形是平行四边形。例2如图，在平面直角坐标系中，抛物线A（-1,0），B（3,0）C（0，-1）三点。（1）求该抛物线的表达式；（2）点Q在y轴上，在抛物线上是否存在一点P，使Q、P、A、B为顶点的四边形是平行四边形。若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由。ABOyx（-1,0）（3,0）点A、B是定点，点Q、P两个动点分两种情况：AB为一条边AB为一条对角线QP第二类型：两个动点平行四边形存在性问题PABOyxQQP（-1,0）（3,0）解:假设在抛物线上存在点P，使得以A、B、Q、P为顶点的四边形是平行四边形，分两种情况：(1)当AB为一条边时由题意可知PQ=4，所以P点横坐标X=±4ABOyx(2)当AB为一条对角线时QP由题意可知AO=BE=1所以OE=3-1=2（-1,0）（3,0）所以P点横坐标X=2E(1)求m值及二次函数的关系式.(2)D为直线AB与二次函数图象对称轴的交点,P线段AB上的一个动点(点P与A、B不重合),过P作x轴的垂线与二次函数的图象交于E点,在线段AB上是否存在一点P,使四边形DCEP是平行四边形?若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由。例3.如图,已知二次函数图象的顶点坐标为C(1,0),直线y=x+m与该二次函数的图象交于A、B两点,其中A点的坐标为(3,4),B点在y轴上BODCEPA(2)点C、D是定点，点P、E两个动点(1)m=1y=x+1y=x-2x+12设P点坐标（X，x+1），则点E坐标（X，）由PE=DC得x-2x+12（x+1）-（）=2x-2x+12二次函数的图象与X轴交于A、B两点,如图所示，与y轴交于C点.直线x=m(m＞1)与X轴交于点D.（1）求A、B、C三点的坐标。（2）在直线x=m(m＞1)上取一点P（点P在第一象限），要使以PDB为顶点的三角形与以B为顶点的三角形相似，求P点得坐标（用含m的代数式表示）（3）在（2）成立的条件下，问抛物线的图象上是否存在一点Q,使四边形ABPQ是平行四边形?若存在，请求出此时m的值；若不存在，请说明理由。y=2x-22y=2x-22AOyxCABO练习