3.1.3空间向量的数量积运算(第一课时)

一、引入1.共线向量定理：(0)abbabab,，空间中任意两个向量共线()的充要条件是存在实数使得2.共线向量定理的推论：(1)若直线l过点A且与向量平行，则(2)三点P、A、B共线的充要条件有：aOPOAtaPl点在直线上tAPtABAPAB，（1）存在实数，使得即tOPOAtAB（2）存在实数，使得,(1)xyOPxOAyOBxy另：存在实数，，使得3.共面向量定理：).abppxayabxby如果两个向量、不共线,那么向量与、共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(，，使得(,)xyAPxAByAC（1）存在有序实数对，使得OOPOAxAByAC（2）对空间中任意一点，有4.P、A、B、C四点共面充要条件：(1)OOPxOAyOBzOCxyz另：对空间中任意一点，有1()3ABCOMABPOPOAOBOCPABCMPC：，、、、练习如图，、、是三个不共线的点，是空间中任意一点，是的中点若点满足，（1）求证：、、、四点共面；（2）求证：三点共线.1()33OPOAOBOCOPOAOBOC（1）证明：()()OPOAOBOPOCOP移项，得APPBPCPAPBPC，即PABC、、、四点共面OABCPM（2）证明：∵点M为AB的中点1()22OMOAOBOAOBOM，即11()(2)3332OPOAOBOCOMOCOPOMOC2()OPOMOCOP移项，得2MPPCMPC、、三点共线OABCPM1.数量积的定义：||||cosabab我们规定零向量与任一向量的数量积为零，即00a已知非零向量与，我们把数量叫作与的数量积（或内积），记作，即||||cosabababab注意：(1)数量积是两个向量之间的运算，要与“数乘”相区别；(2)两个向量的数量积是一个实数，不是向量，它的符号由cos的符号决定；(3)点乘符号“·”在向量运算中不是乘号，既不能省略，也不能用“×”代替.abab可，也记为其中，为、的夹角,二、基础知识讲解注意在两向量的夹角定义中：（1）两向量必须是同起点的；（2）范围0≤≤180.，则∠AOB=叫做向量与的夹角.OAaOBb，ab在空间中任取一点O，作ab：、，？问题1已知非零向量它们的夹角应如何确定θOabAB,ab也可记为,,,,,,OAOBOBOAOAOBOAOB思考：下面式子表示什么意思？它们之间有什么关系？,,,,OAOBOBOAOAOBOAOB问题2：平面向量的数量积的几何意义怎样？在空间还一样吗？数量积等于的长度与在的方向上的投影的乘积。aba||aba||cosbθBB1OAab2.数量积的主要性质：2_______.___________________.(3)cos,____________;(4)||____||||.()abababababaababab；反；(1)(2)若与同向,若与向,填或0ab||||ab||||ab2||a≤||||abab;()()();().abbaababababcacbc(1)(2)(3)3.数量积的运算规律：思考：等式是否成立？()()abcabc该等式左端是与c共线的向量，而右端是与a共线的向量，它们不一定相等.222220,00;;();)()||||;abababbcbacpqpqpqpqpq.（1）若则或（）（2）若(0),则（）（3）（）（4）(（）练习：判断下列说法的真假×××√例1.已知向量ab，向量c与,ab的夹角都是60，且||1,||2,||3abc，下列各式的值：（1）2()ab；（2）(2)(2)abbc；（3）||bc.三、例题分析例2．在空间四边形OABC中，8OA，6AB，4AC，5BC，45OAC，60OAB，求OA与BC的夹角的余弦值奎屯王新敞新疆ABCO解：∵BCACAB∴OABCOAACOAAB84cos13586cos1202416224162322cos,855||||OABCOABCOABC∴OA与BC的夹角的余弦值为3225．ADFCBE11.如图,已知空间四边形的每条边和对角线长都等于，点、分别是、的中点。计算：（1）；（2）；（3）；（4）ABCDEFABADEFBAEFBDEFDCEFAC四、针对性训练-''''''''(')''ABCDABCDEFACCDxyACxABBCCCAEAAxAByADAFADxAByAA2.已知正方体中，点、分别是面和面的中心，求下列，的值；（1）（2）（3）ABCDDCBAEF五、小结巩固掌握空间向量的数量积运算.六、布置作业作业:课本P98习题3.1A组4.练习:创新设计P60～61课后优化训练答案：1.2.2)sin()sin()(180sin)sin(aaAC3.用长度分别为2、3、4、5、6（单位：cm）的5根细木棒围成一个三角形（允许连接，但不允许折断），能够得到的三角形的最大面积为()A．285cmB．2610cmC．2355cmD．220cm