中心极限定理的应用

毕业论文题目中心极限定理的应用学生姓名张世军学号1109014148所在院(系)数学与计算机科学学院专业班级数学与应用数学专业(统计类)11级2班指导教师程小静2015年5月25日陕西理工学院毕业论文第1页共12页中心极限定理的应用张世军（陕西理工学院数学与计算机科学学院数学与应用数学专业2011级数应2班，陕西汉中723000）指导教师：程小静[摘要]中心极限定理是概率论中讨论随机变量序列部分和的分布渐近于正态分布的一类重要定理。本文首先从中心极限定理的内容出发，给出几种常见的中心极限定理并对其进行了证明；其次讨论了中心极限定理在供应电力、器件价格、商场管理、烟卷制造业、社会生活、军事问题等这几个方面的实际应用；最后总结分析了中心极限定理在应用上的优缺点。[关键词]随机变量；中心极限定理；正态分布；概率论；近似计算CentralLimitTheoremofApplicationZhangShijun(Grade11,Class02,MajorMathematicsandAppliedMathematicsSpecialty，MathematicsandcomputerscienceDept.，ShaanxiUniversityofTechnology，Hanzhong723000，Shaanxi)Tutor:ChengXiaojingAbstract：Thecentrallimittheoremisanimportantlimittheoreminprobabilitytheorytodiscussasetofrandomvariablesandthedistributionofthenormaldistribution.Firstlystartingfromthecontentofthecentrallimittheorem,givenseveralcommoncentrallimittheoremsanditsproofs;Secondcentrallimittheoremisdiscussedintheelectricpowersupply,prices,marketmanagement,cigarettemanufacturing,sociallife,thepracticalapplicationofthisafewaspectssuchasmilitaryquestions;Summarizedandanalyzedtheadvantagesanddisadvantagesofcentrallimittheoremontheapplication.Keywords：Randomvariables;Centrallimittheorem;Normaldistribution;Probabilitytheory;Approximatecalculation陕西理工学院毕业论文第2页共12页1引言概率论中讨论随机变量序列部分和的分布渐近于正态分布的一类定理。概率论中最重要的一类定理，有广泛的实际应用背景。在自然界与生产中，一些现象受到许多相互独立的随机因素的影响，如果每个因素所产生的影响都很微小时，总的影响可以看作是服从正态分布的。中心极限定理就是从数学上证明了这一现象。最早的中心极限定理是讨论n重伯努利试验中，事件A出现的次数渐近于正态分布的问题。1716年前后，棣莫弗对n重伯努利试验中每次试验事件A出现的概率为12的情况进行了讨论，随后，P.-S.拉普拉斯和A.M.李亚普诺夫等进行了推广和改进。自P.莱维在1919～1925年系统地建立了特征函数理论起，中心极限定理的研究得到了很快的发展，先后产生了普遍极限定理和局部极限定理等。极限定理是概率论的重要内容，也是数理统计学的基石之一，其理论成果也比较完美。长期以来，对于极限定理的研究所形成的概率论分析方法，影响着概率论的发展。同时新的极限理论问题也在实际中不断产生。2常见的中心极限定理2.1中心极限定理的提法凡是在一定条件下断定随机变量之和的极限分布服从正态分布，在概率论中都称之为中心极限定理，具体一点，中心极限定理回答的是随机变量之和的极限分布在什么条件下是正态分布。直观上，如果一随机变量决定于大量（乃至多个）随机因素的总和，其中，每个随机因素的单独作用微不足道，而且各因素的作用相对均匀，那么它就服从正态分布，如：在许多情况下，一随机变量X可以表示为大量独立随机变量之和，12nX,这里，每个i上表示一种随机因素的效应，假如上式包含了决定X充分多的随机因素的效应（即n充分大），则1nii的分布就近似X的分布，中心极限定理就要说明，在什么条件下大量独立随机变量之和近似地服从正态分布，即在什么条件下，当n时，独立随机变量的和是服从正态分布的。2.2常见的中心极限定理中心极限定理自产生其内容已经非常丰富了，但其中最常见的定理如下2.2．1棣莫弗-拉普拉斯定理设n是n重伯努利试验中的事件A出现的次数，又A在每次试验中出现的概率为01pp,则对任意的0，有lim1nnPpn证明令1,0,i则12,,,n是n个相互独立的随机变量，且在第i试验中A出现在第i次试验中A不出现1in陕西理工学院毕业论文第3页共12页,1iiEpDpppq1,,in1nnii，于是11nniiiinnEnppnnn由切比雪夫不等式有12211ninniniiiiDPpPEnnn又由独立性知道有11nniiiiDDnpq从而有22210nnpqpqPpnnnn这也就证明了该定理.该定理是最早的中心极限定理大约在1733年，棣莫弗对12p证明了上述定理，后来拉普拉斯把它推广到p是任意一个小于1的正数上去。该定理表明:正态分布是二项分布的极限分布，当n充分大时，我们可以利用该定理的结论来计算二项分布的概率。该定理主要适用二个方面1近似计算服从二项分布的随机变量在某范围内取值的概率2已知服从二项分布的随机变量在某范围内取值的概率，估计该范围(或该范围的最大值).2.2.2李雅普诺夫中心极限定理设12,,是独立随机变量序列，2,1,2,,kkkkEaDk记221,nnkkB若存在0，使有2210,kknEanB，则对任意的x有22111lim2xnkktknnPaXedtB证明设k是连续型随机变量，密度函数为1,2,,kpxk则有2211knnkkknxaBxapxdxB陕西理工学院毕业论文第4页共12页2211knnkkkxaBnnxapxdxBB22111nkkknxapxdxB221110,nkkknEanB同理，可验证离散型的情形，可证得此定理。这个定理是李雅普诺夫在1900年提出的。它表明，在定理条件下，随机变量11nnkkknZaB，当n很大时，近似地服从正态分布21,nknkNaB，也就是说，无论各个随机变1,2,,kkn服从什么分布，只要满足定理条件，那么它们的和1nkka，当k很大时，就近似地服从正态分布，这就是为什么正态随机变量在概率论中占有重要地位的一个基本原因。在很多问题中，所考虑的随机变量可以表示成很多个独立的随机变量之和。例如在任一指定时刻，一个城市的耗电量是大量用户的耗电量的总和;一个物理实验的测量误差是由许多观察不到的、可加的微小误差所合成的，它们往往近似地服从正态分布。2.2．3林德贝格-勒维中心极限定理若1，2是一列独立同分布的随机变量，且22,,1,2,kkEaDk则有2121lim2nxtkknpXedtn证明设ka的特征函数为t,则11nknkkknanann的特征函数为ntn又因为0kEna，2kDna,所以00,20陕西理工学院毕业论文第5页共12页于是特征函数t有展开式222221001220tttttt从而对任意固定的t,有22221,2nnttttennnn而22te是0,1N分布的特征函数，由定理：分布函数列nFx弱收敛于分布函数Fx的充要条件是相应的特征函数列nx收敛于Fx的特征函数t，可知该定理成立，得以求证.这个中心极限定理是由林德贝格和勒维分别独立的在1920年获得的，定理告诉我们，对于独立同分布的随机变量序列，其共同分布可以是离散分布，也可以是连续分布，可以是正态分布，也可以是非正态分布，只要其共同分布的方差存在，且不为零，就可以使用该定理的结论。定理的结论告诉我们:只有当n充分大时，nY才近似服从标准正态分布0,1N，而当n较小时，此种近似不能保证。也就是说，在n充分大时，可用0,1N近似计算与nY有关事件的概率，而n较小时，此种计算的近似程度是得不到保障的。当0,1nYN时，则有21,,nkkNnn2,,nN该定理主要适用于1.求随机变量之和nS落在某区间的概率；2.已知随机变量之和nS取值的概率，求随机变量的个数n.2.3中心极限定理的异同处与优越性上述三个中心极限定理都是研究可列个相互独立的随机变量和的分布函数，在一定条件下，当n充分大时，转化为正态分布，它们的区别仅仅是各自的条件有所差异。除了中心极限定理外，切比雪夫大数定律也可以用于近似计算。设2,0iiEXDX,则有切比雪夫大树定理可知，任意给定的0,有11lim1ninkPXn而由林德贝格-勒维中心极限定理可知，有111limlim21ninkinnkXnnnnPXPnn陕西理工学院毕业论文第6页共12页由此可见，在所设条件下，中心极限定理比大数定律在上述近似计算中更为精确。因此，中心极限定理具有一定的优越性。第3章中心极限定理的应用通过研究发现，中心极限定理的意义重大，应用也相当广泛，这里举例来说明。3.1中心极限定理在供应电力方面的应用例某车间有200台车床，每台车床由于种种原因出现停车，设每台车床开工的概率为0.6，每台车床开工时耗电1千瓦，并设每台车床开工或停是相互独立的。求至少应供应该车间多少电力才能以99.9%的概率保证这个车间不会因供电不足而产生影响？解设为某时刻开工的车床数，则200,0.6B120np,148npp,需供电N千瓦。由拉普拉斯中心极限定理知120120120048480.99489NNPN，查表得知1203.1,141.48NN所以，至少应供应这个车间141千瓦电力才能以99.9%的概率保证该车间不会应供电不足产生影响。3.2中心极限定理在器件价格上的应用例某种器件使用寿命（单位：小时）服从正态分布，其平均使用寿命为20小时，具体使用时是当一器件损坏后立即更换另一个新的器件，如此继续下去，已知每个器件进价为a。试求在年计划中应为此器件做多少预算才可能有95%的把握一年够用（假定一年有