2019学年高中数学人教版选修1-1习题：第三章3.2导数的计算-Word版含答案

（人教版）精品数学教学资料第三章导数及其应用3.2导数的计算A级基础巩固一、选择题1．某物体运动方程为y＝4.9t2(其中y的单位为米，t的单位为秒)，则该物体在1秒末的瞬时速度为()A．4.9米/秒B．9.8米/秒C．49米/秒D．2.45米/秒解析：由题意知y′＝9.8t，则y′|t＝1＝9.8，故选B.答案：B2．f(x)＝x3，f′(x0)＝6，则x0等于()A.2B．－2C．±2D．±1解析：f′(x)＝3x2，由f′(x0)＝6，知3x20＝6，所以x0＝±2.答案：C3．若指数函数f(x)＝ax(a0，a≠1)满足f′(1)＝ln27，则f′(－1)＝()A．2B．ln3C.ln33D．－ln3解析：f′(x)＝axlna，则f′(1)＝alna＝ln27，解得a＝3，所以f′(x)＝3xln3.故f′(－1)＝3－1ln3＝ln33.答案：C4．曲线y＝ex在点(2，e2)处的切线与坐标轴所围成的三角形的面积为()A.94e2B．2e2C．e2D.e22解析：因为y＝ex，所以y′＝ex，所以y′|x＝2＝e2＝k，所以切线方程为y－e2＝e2(x－2)，即y＝e2x－e2.在切线方程中，令x＝0，得y＝－e2，令y＝0，得x＝1，所以S三角形＝12×|－e2|×1＝e22.答案：D5．若f0(x)＝sinx，f1(x)＝f′0(x)，f2(x)＝f′1(x)，…，fn＋1(x)＝f′n(x)，n∈N，则f2013(x)＝()A．sinxB．－sinxC．cosxD．－cosx解析：因为f1(x)＝(sinx)′＝cosx，f2(x)＝(cosx)′＝－sinx，f3(x)＝(－sinx)′＝－cosx，f4(x)＝(－cosx)′＝sinx，f5(x)＝(sinx)′＝cosx，所以循环周期为4，因此f2013(x)＝f1(x)＝cosx.答案：C二、填空题6．已知点P在曲线f(x)＝x4－x上，曲线在点P处的切线平行于直线3x－y＝0，则点P的坐标为________．解析：设点P的坐标为(x0，y0)，因为f′(x)＝4x3－1，所以4x30－1＝3，所以x0＝1.所以y0＝14－1＝0，所以即得P(1，0)．答案：(1，0)7．已知f(x)＝13x3＋3xf′(0)，则f′(1)＝________．解析：由于f′(0)是一常数，所以f′(x)＝x2＋3f′(0)，令x＝0，则f′(0)＝0，所以f′(1)＝12＋3f′(0)＝1.答案：18．曲线y＝xx－2在点(1，－1)处的切线方程为________．解析：因为y′＝x－2－x（x－2）2＝－2（x－2）2，所以曲线在点(1，－1)处的切线的斜率k＝－2（1－2）2＝－2，故所求切线方程为y＋1＝－2(x－1)，即2x＋y－1＝0.答案：2x＋y－1＝0三、解答题9．求下列函数的导数：(1)y＝(2x2＋3)(3x－1)；(2)y＝(x－2)2；(3)y＝x－sinx2cosx2.解：(1)法一：y′＝(2x2＋3)′(3x－1)＋(2x2＋3)(3x－1)′＝4x(3x－1)＋3(2x2＋3)＝18x2－4x＋9.法二：因为y＝(2x2＋3)(3x－1)＝6x3－2x2＋9x－3，所以y′＝(6x3－2x2＋9x－3)′＝18x2－4x＋9.(2)因为y＝(x－2)2＝x－4x＋4，所以y′＝x′－(4x)′＋4′＝1－4×12x－12＝1－2x－12.(3)因为y＝x－sinx2cosx2＝x－12sinx，所以y′＝x′－12sinx′＝1－12cosx.10．设函数f(x)＝13x3－a2x2＋bx＋c，其中a0，曲线y＝f(x)在点P(0，f(0))处的切线方程为y＝1，确定b，c的值．解：由题意得f(0)＝c，f′(x)＝x2－ax＋b，由切点P(0，f(0))既在曲线f(x)＝13x3－a2x2＋bx＋c上又在切线y＝1上知f′（0）＝0，f（0）＝1，即02－a×0＋b＝0，13×03－a2×02＋b×0＋c＝1，故b＝0，c＝1.B级能力提升1．已知点P在曲线y＝4ex＋1上，α为曲线在点P处的切线的倾斜角，则α的取值范围是()A．[0，π4)B．[π4，π2)C．(π2，3π4]D．[3π4，π)解析：y′＝－4ex（ex＋1）2＝－4exe2x＋2ex＋1，设t＝ex∈(0，＋∞)，则y′＝－4tt2＋2t＋1＝－4t＋1t＋2，因为t＋1t≥2，所以y′∈[－1，0)，α∈3π4，π.答案：D2．点P是曲线y＝ex上任意一点，则点P到直线y＝x的最小距离为________．解析：根据题意设平行于直线y＝x的直线与曲线y＝ex相切于点(x0，y0)，该切点即为与y＝x距离最近的点，如图，则在点(x0，y0)处的切线斜率为1，即＝1.因为y′＝(ex)′＝ex，所以ex0＝1，得x0＝0，代入y＝ex，得y0＝1，即P(0，1)．利用点到直线的距离公式得距离为22.答案：223．设函数f(x)＝ax－bx，曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为7x－4y－12＝0.(1)求f(x)的解析式；(2)证明：曲线y＝f(x)上任意一点处的切线与直线x＝0和直线y＝x所围成的三角形的面积为定值，并求此定值．(1)解：f′(x)＝a＋bx2.因为点(2，f(2))在切线7x－4y－12＝0上，所以f(2)＝2×7－124＝12.又曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为7x－4y－12＝0，所以f′（2）＝74，f（2）＝12，⇒a＋b4＝74，2a－b2＝12，⇒a＝1，b＝3.所以f(x)的解析式为f(x)＝x－3x.(2)证明：设x0，x0－3x0为曲线y＝f(x)上任意一点，则切线斜率k＝1＋3x20，切线方程为y－x0－3x0＝1＋3x20(x－x0)，令x＝0，得y＝－6x0.由y－x0－3x0＝1＋3x20（x－x0），y＝x得x＝2x0，y＝2x0.所以曲线y＝f(x)上任意一点处的切线与直线x＝0和直线y＝x所围成的三角形的面积S＝12|2x0||－6x0|＝6，为定值．