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专题突破一几何的证明与计算专题突破一┃几何的证明与计算专题突破一┃几何的证明与计算考向互动探究探究一常规的证明与计算例1[2011·杭州]在梯形ABCD中，AB∥CD，∠ABC＝90°，AB＝2BC＝2CD，对角线AC与BD相交于点O，线段OA，OB的中点分别为E，F.图Z1－1专题突破一┃几何的证明与计算（1）求证：△FOE≌△DOC；（2）求sin∠OEF的值；（3）若直线EF与线段AD，BC分别相交于点G，H，求AB＋CDGH的值.专题突破一┃几何的证明与计算【例题分析】专题突破一┃几何的证明与计算【方法提炼】专题突破一┃几何的证明与计算解：(1)证明：∵E，F分别为线段OA，OB的中点，∴EF∥AB，AB＝2EF.∵AB＝2CD，∴EF＝CD.∵AB∥CD，∴EF∥CD，∴∠OEF＝∠OCD，∠OFE＝∠ODC，∴△FOE≌△DOC.专题突破一┃几何的证明与计算(2)∵∠ABC＝90°，∴AC＝AB2＋BC2＝（2BC）2＋BC2＝5BC，sin∠CAB＝BCAC＝55.∵EF∥AB，∴∠OEF＝∠CAB，∴sin∠OEF＝sin∠CAB＝55.专题突破一┃几何的证明与计算(3)∵△FOE≌△DOC，∴OE＝OC.又∵AE＝OE，∴AE＝OE＝OC，∴CECA＝23.∵EF∥AB，∴△CEH∽△CAB，∴EHAB＝CECA＝23，∴EH＝CECA·AB＝23AB＝43CD.专题突破一┃几何的证明与计算∵EF＝CD，∴EH＝43EF，FH＝13EF＝13CD，同理GE＝13CD，∴GH＝53CD，∴AB＋CDGH＝2CD＋CD53CD＝95.专题突破一┃几何的证明与计算探究二探究图形的变式拓展例2[2014·衢州]提出问题：（1）如图Z1－2①，在正方形ABCD中，点E，H分别在BC，AB上.若AE⊥DH于点O，求证：AE＝DH.类比探究：（2）如图Z1－2②，在正方形ABCD中，点H，E，G，F分别在AB，BC，CD，DA上.若EF⊥HG于点O，探究线段EF与HG的数量关系，并说明理由.专题突破一┃几何的证明与计算综合运用：（3）在（2）条件下，HF∥GE，如图Z1－2③所示.已知BE＝EC＝2，OE＝2OF，求图中阴影部分的面积.图Z1－2专题突破一┃几何的证明与计算【例题分析】专题突破一┃几何的证明与计算【解题方法点析】专题突破一┃几何的证明与计算解：(1)证明：如图①，在正方形ABCD中，AB＝AD，∠B＝∠DAH＝90°，∴∠1＋∠3＝90°.∵AE⊥DH，∴∠1＋∠2＝90°，∴∠2＝∠3.∴△BAE≌△ADH(AAS)，∴AE＝DH.(2)EF＝GH.理由如下：如图②，作DH′∥GH，AE′∥FE分别交AB，BC于点H′，E′.∵AF∥EE′，∴四边形AE′EF是平行四边形，∴EF＝AE′.同理，HG＝DH′.由(1)可知，DH′＝AE′，∴EF＝GH.专题突破一┃几何的证明与计算(3)延长FH，CB交于点P，如图③.∵AD∥BC，HF∥GE，∴∠AFH＝∠P，∠GEC＝∠P.又∵∠A＝∠C＝90°，∴△AFH∽△CEG，∴AFCE＝HFEG＝OFOE＝OF2OF＝12.∵BE＝EC＝2，∴AF＝1，∴BQ＝AF＝1，QE＝1.设OF＝x，∵HF∥GE，∴OHOG＝OFOE＝12.专题突破一┃几何的证明与计算又∵HG＝EF，∴OH＝OF＝x，OG＝OE＝2x.在Rt△EFQ中，QF2＋QE2＝EF2，即42＋12＝(3x)2，解得x＝173.S阴影＝12x2＋12(2x)2＝52x2＝52(173)2＝8518.专题突破一┃几何的证明与计算探究三探求图形中的定值与最值例3[2014·上城一模]如图Z1－3，在平面直角坐标系中，直线y＝－x＋2与x轴，y轴分别交于点A，B，动点P（a，b）在第一象限内，过点P向x轴，y轴所作的垂线PM，PN（垂足为M，N）分别与直线AB相交于点E，F，当点P（a，b）运动时，矩形PMON的面积为定值1.（1）求∠OAB的度数；图Z1－3专题突破一┃几何的证明与计算（2）求证：△AOF∽△BEO；（3）当点E，F都在线段AB上时，由三条线段AE，EF，BF组成一个三角形，记此三角形的外接圆面积为S1，△OEF的面积为S2.试探究：S1＋S2是否存在最小值？若存在，请求出该最小值；若不存在，请说明理由.专题突破一┃几何的证明与计算【例题分析】（1）如何求A，B两点的坐标？（2）求证两个三角形相似有哪些方法？本题可选择什么方法来证？（3）求最值问题往往可转化为二次函数问题解决，思考如何选取合适的自变量，考虑到是直角坐标系问题并结合条件，我们可设哪些点的坐标？专题突破一┃几何的证明与计算【方法提炼】此类问题往往与动态问题相联系，借助函数与方程的数学思想方法，研究几何元素间的数量关系，求几何图形中的函数表达式，根据相似形列出含有变量的等式，然后转化为函数表达式的形式.而自变量的取值范围一般由图形存在的极端情况来确定最大或最小值.专题突破一┃几何的证明与计算解：(1)当x＝0时，y＝2；当y＝0时，x＝2，∴OA＝OB＝2，而∠AOB＝90°，∴∠OAB＝45°.专题突破一┃几何的证明与计算(2)证明：过点F作FD⊥x轴于点D，则AF＝2FD＝2b.同理BE＝2a，∴AF·BE＝2a·2b＝2ab＝2.∵OA·OB＝2×2＝2，∴AF·BE＝OA·OB，即OABE＝AFOB.又∵∠OAB＝∠OBA，∴△AOF∽△BEO.专题突破一┃几何的证明与计算(3)∵点E，F在直线y＝－x＋2上，∴E(a，2－a)，F(2－b，b)．∵BF2＝2(2－b)2＝2b2－42b＋4，AE2＝2(2－a)2＝2a2－42a＋4，EF2＝2(2－a－b)2＝2[a2＋b2＋2ab－22(a＋b)＋2]，又ab＝1，∴EF2＝2(a2＋b2)－42(a＋b)＋8＝BF2＋AE2，∴S1＝π(EF2)2＝π2(a＋b－2)2.专题突破一┃几何的证明与计算过点O作OG⊥AB于点G，则OG＝1，∴S2＝12EF·OG＝22(a＋b－2)．∴S1＋S2＝π2(a＋b－2)2＋22(a＋b－2)＝π2t2＋22t＝π2(t＋22π)2－14π(设t＝a＋b－2)．专题突破一┃几何的证明与计算∵二次函数在t0时，S1＋S2随t的增大而增大，∴当t取最小值时，S1＋S2最小．而t＝a＋b－2＝(a－b)2＋2ab－2≥2－2，即a＝b时，t取最小值2－2.∴S1＋S2的最小值＝(3－22)π＋2－1.