专项练习：--用二分法求方程的近似解

课时达标检测（二十二）用二分法求方程的近似解一、选择题1．下列关于函数f(x)，x∈[a，b]的命题中，正确的是()A．若x0∈[a，b]且满足f(x0)＝0，则x0是f(x)的一个零点B．若x0是f(x)在[a，b]上的零点，则可以用二分法求x0的近似值C．函数f(x)的零点是方程f(x)＝0的根，但f(x)＝0的根不一定是函数f(x)的零点D．用二分法求方程的根时，得到的都是近似解解析：选A使用“二分法”必须满足“二分法”的使用条件，B不正确；f(x)＝0的根也一定是函数f(x)的零点，C不正确；用二分法求方程的根时，得到的也可能是精确解，D不正确，只有A正确．2．设f(x)＝lgx＋x－3，用二分法求方程lgx＋x－3＝0在(2,3)内近似解的过程中得f(2.25)＜0，f(2.75)＞0，f(2.5)＜0，f(3)＞0，则方程的根落在区间()A．(2,2.25)B．(2.25,2.5)C．(2.5,2.75)D．(2.75,3)解析：选C因为f(2.25)＜0，f(2.75)＞0，由零点存在性定理知，在区间(2.25,2.75)内必有根，利用二分法得f(2.5)＜0，由零点存在性定理知，方程的根在区间(2.5,2.75)，选C.3．已知函数f(x)＝3x＋3x－8，用二分法求方程3x＋3x－8＝0在x∈(1,3)内近似解的过程中，取区间中点x0＝2，那么下一个有根区间为()A．(1,2)B．(2,3)C．(1,2)或(2,3)D．不能确定解析：选A∵f(1)＝－2＜0，f(2)＝7＞0，f(3)＝28＞0，∴f(x)在(1,2)内有解，故选A.4．若函数f(x)＝x3＋x2－2x－2的一个零点(正数)附近的函数值用二分法逐次计算，参考数据如下表：f(1)＝－2f(1.5)＝0.625f(1.25)≈－0.984f(1.375)≈－0.260f(1.4375)≈0.162f(1.40625)≈－0.054那么方程x3＋x2－2x－2＝0的一个近似解(精确度0.04)为()A．1.5B．1.25C．1.375D．1.4375解析：选D由参考数据知，f(1.40625)≈－0.054，f(1.4375)≈0.162，即f(1.40625)·f(1.4375)0，且1.4375－1.40625＝0.031250.04，所以方程的一个近似解可取为1.4375，故选D.5．已知曲线y＝110x与y＝x的交点的横坐标是x0，则x0的取值范围是()A.0，12B.12C.12，1D．(1,2)解析：选A设f(x)＝110x－x，则f(0)＝10，f12＝11012－12＝0.1－0.250，f(1)＝110－10，f(2)＝1102－20，显然有f(0)·f120.二、填空题6．某方程有一无理根在区间D＝(1,3)内，若用二分法求此根的近似值，将D等分________次后，所得近似值可精确到0.1.解析：由3－12n0.1，得2n－110，∴n－1≥4，即n≥5.答案：57．在26枚崭新的金币中，有一枚外表与真金币完全相同的假币(质量小一点)，现在只有一台天平，则应用二分法的思想，最多称________次就可以发现这枚假币．解析：将26枚金币平均分成两份，分别放在天平两端，则假币一定在质量小的那13枚金币里面；从这13枚金币中拿出1枚，然后将剩下的12枚金币平均分成两份，分别放在天平两端，若天平平衡，则假币一定是拿出的那一枚，若不平衡，则假币一定在质量小的那6枚金币里面；将这6枚金币平均分成两份，分别放在天平两端，则假币一定在质量小的那3枚金币里面；从这3枚金币中任拿出2枚，分别放在天平两端，若天平平衡，则剩下的那一枚即是假币，若不平衡，则质量小的那一枚即是假币．综上可知，最多称4次就可以发现这枚假币．答案：48．某同学在借助计算器求“方程lgx＝2－x的近似解(精确到0.1)”时，设f(x)＝lgx＋x－2，算得f(1)0，f(2)0；在以下过程中，他用“二分法”又取了4个x的值，计算了其函数值的正负，并得出判断：方程的近似解是x≈1.8.那么他再取的x的4个值依次是________________________________________________________________________．解析：第一次用二分法计算得区间(1.5,2)，第二次得区间(1.75,2)，第三次得区间(1.75,1.875)，第四次得区间(1.75,1.8125)．答案：1.5,1.75,1.875,1.8125三、解答题9．从上海到美国旧金山的海底电缆有15个接点，现某接点发生故障，需及时修理，为了尽快找出故障的发生点，一般最多需要检查多少个接点？解：先检查中间的1个接点，若正常，则可断定故障在其另一侧的7个接点中；然后检查这一段中间的1个接点，若仍正常，则可断定故障在其另一侧的3个接点中；最后只需检查这3个接点中间的1个，即可找出故障所在．故一般最多只需检查3个接点．10．证明方程6－3x＝2x在区间(1,2)内有唯一一个实数解，并求出这个实数解(精确度为0.1)．解：设函数f(x)＝2x＋3x－6.∵f(1)＝－10，f(2)＝40，又∵f(x)是R上的增函数，所以函数f(x)＝2x＋3x－6在区间(1,2)内有唯一的零点，则方程6－3x＝2x在区间(1,2)内有唯一一个实数解．设该解为x0，则x0∈[1,2]，取x1＝1.5，f(1.5)≈1.330，f(1)·f(1.5)0，∴x0∈[1,1.5]．取x2＝1.25，f(1.25)≈0.1280，f(1)·f(1.25)0，∴x0∈[1,1.25]．取x3＝1.125，f(1.125)≈－0.440.f(1.125)·f(1.25)0.∴x0∈[1.125,1.25]．取x4＝1.1875，f(1.1875)≈－0.160，f(1.1875)·f(1.25)0，∴x0∈[1.1875,1.25]．∵1.25－1.1875＝0.06250.1，∴可取x0＝1.2，∴满足要求的方程的实数解为1.2.11．判断函数f(x)＝2x3－1的零点个数，并用二分法求零点的近似值(精确度0.1)．解：f(0)＝－10，f(1)＝10，即f(0)·f(1)0，f(x)在(0,1)内有零点，又∵f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数，∴f(x)只有一个零点x0∈(0,1)．取区间(0,1)的中点x1＝0.5，f(0.5)＝－0.750，∴f(0.5)·f(1)0，即x0∈(0.5,1)．取区间(0.5,1)的中点x2＝0.75，f(0.75)＝－0.156250，∴f(0.75)·f(1)0，即x0∈(0.75,1)．取区间(0.75,1)的中点x3＝0.875，f(0.875)≈0.340.∴f(0.75)·f(0.875)0，即x0∈(0.75,0.875)．取区间(0.75,0.875)的中点x4＝0.8125，f(0.8125)≈0.0730.∴f(0.75)·f(0.8125)0，即x0∈(0.75,0.8125)，而|0.8125－0.75|0.1.所以，f(x)的零点的近似值可取为0.75.12．现有12个小球，从外观上看完全相同，除了1个小球质量不合标准外，其余的小球质量均相同．用一架天平，限称三次，把这个“坏球”找出来，并说明此球是偏轻还是偏重．如何称？解：第一次，天平左右各4球，有两种情况：(1)若平，则“坏球”在剩下的4球中．第二次，取剩下的4球中的3球为一边，取3个好球为另一边，放在天平上．①若仍平，则“坏球”为剩下的4球中未取到的那个球，将此球与1个好球放上天平一看，即知“坏球”是偏轻还是偏重；②若不平，则“坏球”在一边3球之中，且知是轻还是重．任取其中2球放在天平上，无论平还是不平，均可确定“坏球”；(2)若不平，则“坏球”在天平上的8球中，不妨设右边较重．从右边4球中取出3球，置于一容器内，然后从左边4球中取3球移入右边，再从外面好球中取3个补入左边．看天平，有三种可能．①若平，则“坏球”是容器内3球之一且偏重；②若左边重，“坏球”已从一边换到另一边．因此，“坏球”只能是从左边移入右边的3球之一，并且偏轻；③若右边重，据此知“坏球”未变动位置，而未被移动过的球只有两个(左右各一)，“坏球”是其中之一(暂不知是轻还是重)．显然对于以上三种情况的任一种，再用一次天平，即可找出“坏球”，且知其是轻还是重．